[PDF] Compléments sur les suites réelles

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Complements sur les suites reellesChapitre 1

1 Rappels sur les suites reelles 2

1.1 Denitions d'une suite reelle . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Theoremes de convergence . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Relations de comparaison des suites reelles 5

2.1 Negligeabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3 Suites recurrentes d'ordre112

3.1 Construction graphique . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2 Existence et encadrement des termes de la suite . .

13

3.3 Variations de la suite . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.4 Convergence de la suite . . . . . . . . . . . . . . .

17

4 Suites implicites 21

4.1 Du typef(un) =an. . . . . . . . . . . . . . . . .21

4.2 Du typefn(un) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Competences attendues.

3Conna^tre les dierents theoremes de convergence sur les suites et savoir les appliquer correctement.

3Savoir montrer qu'une suite est negligeable devant une autre.

3Savoir trouver un equivalent a l'aide des operations usuelles ou des equivalents classiques.

3Determiner la limite d'une suite a l'aide des equivalents.

3Savoir etudier une suite recurrente d'ordre 1 (construction graphique, existence, variations, convergence...).

3Savoir etudier une suite implicite (existence, variations...).

Anthony Mansuy

Professeur de Mathematiques en deuxieme annee de CPGE liere ECE au Lycee Clemenceau (Reims)

Page personnelle :http://anthony-mansuy.fr

E-mail :mansuy.anthony@hotmail.fr

ECE2Lycee Clemenceau, Reims

1 Rappels sur les suites reelles

1.1 Denitions d'une suite reelle

Denition.Une suite reelle est une fonctionudenie sur les entiers naturels et a valeurs reelles : u:N!R n7!u(n): La suiteuest egalement notee (un), ouun=u(n) designe le terme d'indicende la suite.Attention.

On fera bien attention a ne pas confondre :

•un: le terme d'indicende la suite (un),

•(un) : la suite dont le terme d'indicenestun.Comme une suite est une fonction denie sur un ensemble discret (les entiers naturels) et non sur un ensemble

continu (un intervalle par exemple), il n'y a pas de notions de continuite, de derivabilite... En revanche, les

notions de variations, de limite (lorsquentend vers +1), de representation graphique ont toujours un sens

pour les suites.

Dans l'etude des suites, on s'interesse donc toujours aux m^emes notions : existence de la suite, variations, limite

(lorsquentend vers +1) et eventuellement, equivalent de la suite (lorsquentend vers +1, voir la deuxieme

partie de ce chapitre).

Il existe plusieurs manieres de denir une suite :

•Suites denies explicitement :Une suite explicite est une suite (un) dont on a directement l'expression

deunen fonction den. Par exemple, la suite (un) denie par :8n2N,un=1n+ 1. L'inter^et d'avoir une suite sous forme explicite est double : {On peut calculer facilement le terme d'indicende la suite. {On peut determiner directement la limite de la suite a l'aide de son expression.

Cependant, les suites peuvent ^etre denies autrement et il n'est pas toujours possible de les mettre sous

forme explicite. •Suites denies par recurrence :Une suite recurrente d'ordrep1 est une suite (un) dont on donne

lesppremiers termes et un procede (une relation de recurrence) permettant de calculerun+pa partir des

ptermes precedentsun+p1;un+p2;:::;un+1;un.

Par exemple :

{La suite (un) denie paru0= 4 et8n2N,un+1=p5 +unest une suite recurrente d'ordre 1. {La suite (un) denie paru0= 1,u1= 3 et8n2N,un+2=un+ ln(un+1) est une suite recurrente d'ordre 2. Nous etudierons les suites recurrentes d'ordre 1 dans la troisieme partie de ce chapitre.

•Suites denies implicitement :Une suite implicite est une suite (un) dont chaque termeunest l'unique

solution d'une certaine equation dependant den. L'existence et l'unicite des solutions de ces equations

sont assurees par le theoreme de la bijection, mais on ne connait pas leurs valeurs en general.

Par exemple :

{La suite (un) dont le terme generalunest l'unique solution de l'equationx+ ln(x) =n. {La suite (un) dont le terme generalunest l'unique solution de l'equationxn+ 1 =nx. Nous etudierons les suites implicites dans la quatrieme partie de ce chapitre. 2

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•Suites denies par une integrale :Une suite integrale est une suite (un) dont chaque termeun s'exprime avec une integrale.

Par exemple, la suite (un) denie par :8n2N,un=Z

1 0 xnexdx.

Ce type de suites sera etudie au chapitre 10.

1.2 Theoremes de convergence

Lorsqu'on suppose que(un)est convergenteSi la suite (un) admet une limite`2R[ f1galors pour toute fonction strictement croissante'

deNdansN, la suite (u'(n)) tend vers la m^eme limite`.Propriete 1(Limite des sous-suites d'une suite convergente)Exemple.Si (un) converge vers 3, alors limn!+1u4n+1= 3, limn!+1un2= 3...On considere deux suitesconvergentes(un) et (vn) et deux nombres reelsmetM.

(1) Si unMa partir d'un certain rangn0, alors limn!+1unM. (2) Si unma partir d'un certain rangn0, alors limn!+1unm. (3)

Si unvna partir d'un certain rangn0, alors limn!+1unlimn!+1vn.Theoreme 2(Passage a la limite dans les inegalites larges)Attention.

Ce theoreme n'est pas valable si les inegalites sont strictes. Par exemple,

8n2N;1n

>0XX=)limn!+11n >0:

Il faut retenir que le passage a la limite dans les inegalites transforme les inegalites (strictes et larges) en

inegalites larges :

8n2N;1n

>0 =) 8n2N;1n

0 =)limn!+11n

0:Lorsqu'on veut prouver la convergence de(un)Si (u2n) et (u2n+1) convergentvers la m^eme limite`, alors la suite (un) converge vers`.Propriete 3

Preuve.

3

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Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que : u nvnwna partir d'un certain rangn0.

Si (un) et (wn) convergent vers une m^eme limite`, alors (vn) converge aussi vers`.Theoreme 4(d'encadrement)Soient (un) et (vn) deux suites reelles telles que :

u nvna partir d'un certain rangn0. (1)

Si lim

n!+1un= +1, alors (vn) est divergente et limn!+1vn= +1. (2)

Si lim

n!+1vn=1, alors (un) est divergente et limn!+1un=1.Theoreme 5(Technique de majoration ou de minoration)(1)T outesuite croissanteetmajoree(par uneconstanteM) estconvergente.

Toute suitecroissanteetnon majoreediverge vers +1. (2) T outesuite est decroissanteetminoree(par uneconstantem) estconvergente. Toute suitedecroissanteetnon minoreediverge vers1.Theoreme 6(des suites monotones)Attention. •Le majorantMet le minorantmsont des constantes, elles ne doivent donc pas dependre den!

•La suite ne tend pas forcement vers le majorantMou le minorantm. Ce theoreme prouve l'existence

d'une limite`, mais sans donner sa valeur !4

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Denition.Deux suites (un) et (vn) sont ditesadjacenteslorsqu'elles verient les trois hypotheses suivantes :

(1) (un) est croissante, (2) (vn) est decroissante, (3) limn!+1(vnun) = 0:Soient (un) et (vn) deuxsuites adjacentestelles que (un) est croissante et (vn) est decroissante.

Alors, (un) et (vn)convergent vers une m^eme limite`2Ret on a :

8n2N; un`vn:Theoreme 7(des suites adjacentes)2 Relations de comparaison des suites reelles

Dans toute cette partie, on suppose que les suites considerees ne s'annulent pas (de sorte que le quotient de

deux suites est toujours bien deni).

2.1 Negligeabilite

Denition.On dit que (un) estnegligeabledevant (vn) et on noteun=o(vn), s'il existe une suite ("n) telle que

lim n!+1"n= 0 et pour toutn2N,un="nvn. Ceci est equivalent a limn!+1u nv n= 0. Autrement dit : u n=o(vn),limn!+1u nv n= 0:Exemple.n=o(n2) car limn!+1nn

2= limn!+11n

= 0.

Remarques.

1. Si un=o(vn), on dit aussi que (vn) estpreponderantesur (un). Cette denition donne un cadre rigoureux a la notion de "terme preponderant" dans une somme. 2.

On a : un=o(1),limn!+1u

n1 = 0,limn!+1un= 0.Attention.

La notationo(wn) ne designe pas une suite particuliere mais toute suite possedant la propriete d'^etre

negligeable devant (wn). Ainsi,un=o(wn) n'est pas une vraie egalite. Siun=o(wn) etvn=o(wn), on n'a pas necessairementun=vn... Par exemple, ln(n) =o(n) etpn=o(n) et pourtant ln(n)6=pn.Soient (un), (vn) et (wn) trois suites. (1) Si un=o(wn) etvn=o(wn), alors :8(;)2R2,un+vn=o(wn). (2)

Si un=o(vn), alorsunwn=o(vnwn).

(3) Si un=o(vn) etvn=o(wn), alorsun=o(wn).Propriete 8(Regles de calculs sur les petits-o)5

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Preuve.

Soit;;q2Ravec; >0 etq >1. On a :

ln(n)=o(n); n=o(qn); qn=o(n!); n! =o(nn):Theoreme 9(Croissances comparees)Remarque.En notantunvnau lieu deun=o(vn), on a donc lorsquentend vers +1:

ln(n)nqnn!nn:

Exercice.Montrer que :ln(n)n

3=o1n 2 2.2

Equivalence

Denition.On dit que (un) estequivalentea (vn) et on noteunvn, s'il existe une suite (n) telle que limn!+1n= 1

et pour toutn2N,un=nvn. Ceci est equivalent a limn!+1u nv n= 1. Autrement dit : u nvn,limn!+1u nv n= 1:Exemple.en+n2encar limn!+1e n+n2e n= limn!+1

1 +n2e

n = 1 (par croissances comparees). 6

ECE2Lycee Clemenceau, ReimsAttention.

Ne pas confondre le symbolequi s'applique a des suites avec le symbole,qui s'applique a des equations

et signie qu'elles ont les m^emes solutions. Les deux notions n'ont strictement rien a voir !Remarques.

1.

Si unvn, alorsvnun. En eet :

On dira donc simplement que (un) et (vn) sont equivalentes. 2. Si unvnetvnwn, alorsunwn. En eet :Soit (un) une suite telle que limn!+1un= 0. Alors : eun1un;ln(1 +un)un;(1 +un)1unpour6= 0:Propriete 10(Equivalents usuels)Preuve. 7

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Exercice.Determiner des equivalents simples des termes suivants : •e1=n1 •ln 11n 3 r1 + 1n

21Soient (un) et (vn) deux suites. On a :

u nvn,un=vn+o(vn)Propriete 11(Caracterisation de l'equivalence par les petits-o)Preuve. Remarque.La reciproque indique qu'on peut negliger les termes negligeables dans une somme : u n+o(un)un:Soient (un), (vn), (wn) et (tn) quatre suites telles queunwnetvntn. Alors on a : •unvnwntn; unv nwnt n;•pour toutk2Nxe,uknwkn; •si (un) et (wn) sont a termes strictement positifs, pour tout2Rxe,unwn.Propriete 12(Operations sur les equivalents)Preuve. 8

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Attention.

Ce sont les seules operations autorisees pour les equivalents. Ainsi : •On ne simplie jamais une constante dans un equivalent : par exemple,un2unouunun2 •n'est pas compatible avec la somme : par exemple,n+ 1n+ 2 etn n, mais 12. •n'est pas compatible avec la composition par la fonction exponentielle : par exemple,n+ 1n, maisen+1enpuisqueen+1e n=e91. •n'est pas compatible avec la composition par la fonction logarithme : par exemple, 1+1n 1+1nquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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