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Théorie des

Professeur à l"Université de Neuchâtel (Suisse) 2 e

édition

Échantillonage et estimation en

populations finiesP001-480-9782100793556.indd 12/28/19 8:20 PM fi

La première version de ce livre a été publiée en 2001, l'année où j'ai quitté l'Ecole

Nationale de la Statistique et de l'Analyse de l'Information à Rennes pour enseigner à l'Université de Neuchâtel. Cette version était issue de plusieurs supports des cours de théorie des sondages que j'avais enseignés à Rennes. A l'ENSAI, la collaboration avec Jean-Claude Deville a été particulièrement stimulante.

La rédaction de cette nouvelle édition a été laborieuse et s'est faite par à-coups. Je

remercie toutes les personnes qui ont examiné les versions préliminaires et qui m'ont fait part de leurs remarques. Merci particulièrement à Monique Graf et Alexandre Oettli pour leurs relectures de certains chapitres et à Alexandrine Améziane pour sa correction méticuleuse de l'orthographe des épreuves.

Les presque vingt années que j'ai passées à Neuchâtel ont été émaillées de mul-

tiples péripéties. Je suis particulièrement reconnaissant à Philippe Eichenberger et Jean-Pierre Renfer qui ont successivement dirigé la Section des Méthodes Statistiques de l'Ofce Fédéral de la Statistique. Leur conance et leur professionnalisme ont

contribué à nouer un échange fécond entre l'Institut de Statistique de l'Université et

l'Ofce Fédéral de la Statistique. Je suis aussi très redevable aux doctorants que j'ai eu le plaisir d'encadrer jusqu'ici. Chaque thèse est une aventure qui apprend autant au superviseur qu'au doctorant. Merci donc à Alina Matei, Lionel Qualité, Desislava Nedyalkova, Erika Antal, Matti Langel, Toky Randrianasolo, Éric Graf, Caren Hasler, Matthieu Wilhelm, Mihaela Guinand-Anastasiade et Audrey-Anne Vallée qui m'ont fait conance et que j'ai eu le plaisir d'encadrer pendant quelques années.

Yves Tillé, Neuchâtel 2019

iii

© Dunod, 2001, 2019

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-079355-6

P001-480-9782100793556.indd 22/28/19 8:21 PM

fi

La première version de ce livre a été publiée en 2001, l'année où j'ai quitté l'Ecole

Nationale de la Statistique et de l'Analyse de l'Information à Rennes pour enseigner à l'Université de Neuchâtel. Cette version était issue de plusieurs supports des cours de théorie des sondages que j'avais enseignés à Rennes. A l'ENSAI, la collaboration avec Jean-Claude Deville a été particulièrement stimulante.

La rédaction de cette nouvelle édition a été laborieuse et s'est faite par à-coups. Je

remercie toutes les personnes qui ont examiné les versions préliminaires et qui m'ont fait part de leurs remarques. Merci particulièrement à Monique Graf et Alexandre Oettli pour leurs relectures de certains chapitres et à Alexandrine Améziane pour sa correction méticuleuse de l'orthographe des épreuves.

Les presque vingt années que j'ai passées à Neuchâtel ont été émaillées de mul-

tiples péripéties. Je suis particulièrement reconnaissant à Philippe Eichenberger et Jean-Pierre Renfer qui ont successivement dirigé la Section des Méthodes Statistiques de l'Ofce Fédéral de la Statistique. Leur conance et leur professionnalisme ont

contribué à nouer un échange fécond entre l'Institut de Statistique de l'Université et

l'Ofce Fédéral de la Statistique. Je suis aussi très redevable aux doctorants que j'ai eu le plaisir d'encadrer jusqu'ici. Chaque thèse est une aventure qui apprend autant au superviseur qu'au doctorant. Merci donc à Alina Matei, Lionel Qualité, Desislava Nedyalkova, Erika Antal, Matti Langel, Toky Randrianasolo, Éric Graf, Caren Hasler, Matthieu Wilhelm, Mihaela Guinand-Anastasiade et Audrey-Anne Vallée qui m'ont fait conance et que j'ai eu le plaisir d'encadrer pendant quelques années.

Yves Tillé, Neuchâtel 2019

iii

© Dunod, 2019

www.dunod.com ISBN 978-2-10-079355-6Illustration de couverture : © BDRMGBR - Fotolia.com

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fi Cet ouvrage reprend un matériel pédagogique que j'ai commencé à mettre au point en 1994. Tous les chapitres ont en effet servi de support à un enseignement, un cours, une formation, un atelier ou un séminaire. En regroupant ce matériel, j'espère présenter un ensemble de résultats cohérents et modernes sur l'échantillonnage, l'esti- mation et le traitement des non-réponses, autrement dit sur la totalité des opérations statistiques d'une enquête par sondage classique. En réalisant ce livre, mon but n'est pas de fournir un aperçu exhaustif de la théorie des sondages, mais plutôt de montrer que la théorie de l'échantillonnage est une discipline vivante, ayant un champ d'application très large. Si, dans plusieurs cha-

pitres, des démonstrations ont été écartées, j'ai toujours veillé à renvoyer le lecteur

vers des références bibliographiques. L'abondance de publications très récentes at- teste d'ailleurs de la fécondité des années 90 en la matière. Tous les développements présentés dans ce livre se basent sur l'approche dite " basée sur le plan de sondage ». Il existe en théorie des sondages un autre point de vue fondé sur une modélisation de

la population. J'ai laissé intentionnellement cette approche de côté, non par désinté-

rêt, mais pour proposer une démarche que je juge cohérente et déontologiquement acceptable pour le statisticien public. Je voudrais remercier toutes les personnes qui, d'une manière ou d'une autre, m'ont aidé à réaliser ce livre : Laurence Broze qui m'a coné mon premier cours de Yves Berger avec qui j'ai partagé un bureau à l'Université libre de Bruxelles (ULB) pendant plusieurs années et qui m'a fait part d'une multitude de remarques perti- nentes. Mes remerciements vont aussi à Antonio Canedo qui m'a appris à utiliser LaTeX, à Lydia Zaïd qui a corrigé à plusieurs reprises le manuscrit et à Jean Dumais pour ses nombreux commentaires constructifs.

J'ai rédigé l'essentiel de ce livre à l'École Nationale de la Statistique et de l'Analyse

de l'Information (ENSAI). La chaleureuse ambiance qui a régné au sein du Départe- ment de Statistique m'a procuré un soutien important. Je remercie particulièrement mes collègues Fabienne Gaude, Camelia Goga et Sylvie Rousseau qui ont méticuleu- sement relu le manuscrit et Germaine Razé qui a assuré le travail de reproduction des épreuves. Plusieurs exercices sont dus à Pascal Ardilly, Jean-Claude Deville et Laurent Wilms. Je tiens à les remercier de m'avoir autorisé à les reproduire. Ma gratitude va tout particulièrement à Jean-Claude Deville pour notre fructueuse collaboration au sein du Laboratoire de Statistique d'Enquête (LSE) du Centre de Recherche en v

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fi Cet ouvrage reprend un matériel pédagogique que j'ai commencé à mettre au point en 1994. Tous les chapitres ont en effet servi de support à un enseignement, un cours, une formation, un atelier ou un séminaire. En regroupant ce matériel, j'espère présenter un ensemble de résultats cohérents et modernes sur l'échantillonnage, l'esti- mation et le traitement des non-réponses, autrement dit sur la totalité des opérations statistiques d'une enquête par sondage classique. En réalisant ce livre, mon but n'est pas de fournir un aperçu exhaustif de la théorie des sondages, mais plutôt de montrer que la théorie de l'échantillonnage est une discipline vivante, ayant un champ d'application très large. Si, dans plusieurs cha-

pitres, des démonstrations ont été écartées, j'ai toujours veillé à renvoyer le lecteur

vers des références bibliographiques. L'abondance de publications très récentes at- teste d'ailleurs de la fécondité des années 90 en la matière. Tous les développements présentés dans ce livre se basent sur l'approche dite " basée sur le plan de sondage ». Il existe en théorie des sondages un autre point de vue fondé sur une modélisation de

la population. J'ai laissé intentionnellement cette approche de côté, non par désinté-

rêt, mais pour proposer une démarche que je juge cohérente et déontologiquement acceptable pour le statisticien public. Je voudrais remercier toutes les personnes qui, d'une manière ou d'une autre, m'ont aidé à réaliser ce livre : Laurence Broze qui m'a coné mon premier cours de Yves Berger avec qui j'ai partagé un bureau à l'Université libre de Bruxelles (ULB) pendant plusieurs années et qui m'a fait part d'une multitude de remarques perti- nentes. Mes remerciements vont aussi à Antonio Canedo qui m'a appris à utiliser LaTeX, à Lydia Zaïd qui a corrigé à plusieurs reprises le manuscrit et à Jean Dumais pour ses nombreux commentaires constructifs.

J'ai rédigé l'essentiel de ce livre à l'École Nationale de la Statistique et de l'Analyse

de l'Information (ENSAI). La chaleureuse ambiance qui a régné au sein du Départe- ment de Statistique m'a procuré un soutien important. Je remercie particulièrement mes collègues Fabienne Gaude, Camelia Goga et Sylvie Rousseau qui ont méticuleu- sement relu le manuscrit et Germaine Razé qui a assuré le travail de reproduction des épreuves. Plusieurs exercices sont dus à Pascal Ardilly, Jean-Claude Deville et Laurent Wilms. Je tiens à les remercier de m'avoir autorisé à les reproduire. Ma gratitude va tout particulièrement à Jean-Claude Deville pour notre fructueuse collaboration au sein du Laboratoire de Statistique d'Enquête (LSE) du Centre de Recherche en v

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vi Économie et en Statistique (CREST). Les chapitres concernant l"échantillonnage par scission et les plans équilibrés reprennent par ailleurs des travaux de recherche que nous avons réalisés ensemble.

Yves Tillé, Bruz 2001

1 Une histoire des idées en théorie des sondages1

1.1 Introduction.................................. 1

1.2 La statistique énumérative du 19

e siècle .................. 2

1.3 Polémiques sur l'utilisation de données partielles . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Développement d'une théorie des sondages . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Les élections américaines de 1936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 La théorie statistique des sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Modélisation de la population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Tentativedesynthèse............................. 9

1.9 Informationauxiliaire ............................ 10

1.10 Références et développement récents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Population, échantillon et estimation13

2.1 Population................................... 13

2.2 Échantillon................................... 14

2.3 Probabilitésd'inclusion............................ 16

2.4 Estimationd'unparamètre.......................... 18

2.5 Estimationd'untotal............................. 19

2.6 Estimationd'unemoyenne.......................... 20

2.7 Variance de l'estimateur du total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Plansavecremise............................... 24

3 Plans simples et systématiques29

3.1 Plans simples sans remise de taille xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Plan de sondage et probabilités d'inclusion . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 L'estimateur par expansion et sa variance . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3 Remarque sur la matrice de variance-covariance . . . . . . . . . 34

3.2 PlandeBernoulli ............................... 35

3.2.1 Plan et probabilités d'inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.2 Estimation............................... 37

3.3 Échantillonnage aléatoire simple avec remise . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Comparaison des plans avec remise et sans remise . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Plans avec remise et conservation des unités distinctes . . . . . . . . . 42

3.5.1 Taille de l'échantillon et plan de sondage . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.2 Probabilités d'inclusion et estimation . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.3 Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

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vi Économie et en Statistique (CREST). Les chapitres concernant l"échantillonnage par scission et les plans équilibrés reprennent par ailleurs des travaux de recherche que nous avons réalisés ensemble.

Yves Tillé, Bruz 2001

1 Une histoire des idées en théorie des sondages1

1.1 Introduction.................................. 1

1.2 La statistique énumérative du 19

e siècle .................. 2

1.3 Polémiques sur l'utilisation de données partielles . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Développement d'une théorie des sondages . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Les élections américaines de 1936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 La théorie statistique des sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Modélisation de la population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Tentativedesynthèse............................. 9

1.9 Informationauxiliaire ............................ 10

1.10 Références et développement récents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Population, échantillon et estimation13

2.1 Population................................... 13

2.2 Échantillon................................... 14

2.3 Probabilitésd'inclusion............................ 16

2.4 Estimationd'unparamètre.......................... 18

2.5 Estimationd'untotal............................. 19

2.6 Estimationd'unemoyenne.......................... 20

2.7 Variance de l'estimateur du total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Plansavecremise............................... 24

3 Plans simples et systématiques29

3.1 Plans simples sans remise de taille xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Plan de sondage et probabilités d'inclusion . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 L'estimateur par expansion et sa variance . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3 Remarque sur la matrice de variance-covariance . . . . . . . . . 34

3.2 PlandeBernoulli ............................... 35

3.2.1 Plan et probabilités d'inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.2 Estimation............................... 37

3.3 Échantillonnage aléatoire simple avec remise . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Comparaison des plans avec remise et sans remise . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Plans avec remise et conservation des unités distinctes . . . . . . . . . 42

3.5.1 Taille de l'échantillon et plan de sondage . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.2 Probabilités d'inclusion et estimation . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.3 Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

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viiiTable des matières

3.6 Letirageavecremiseinversé ........................ 49

3.7 Estimation d"autres fonctions d"intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7.1 Estimation d"un effectif ou d"une proportion . . . . . . . . . . . 51

3.7.2 Estimation d"un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.8 Détermination de la taille d"un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.9 Implémentation des plans simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.9.1 Objectifsetprincipes......................... 55

3.9.2 TiragedeBernoulli.......................... 56

3.9.3 Tirage successif des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9.4 Méthode du tri aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9.5 Méthode de sélection-rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.9.6 Méthodeduréservoir ........................ 60

3.9.7 Implémentation du plan simple avec remise . . . . . . . . . . . 61

3.10 Sondage systématique à probabilités égales . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.11 Entropie pour les plans simples et systématiques . . . . . . . . . . . . . 64

3.11.1 Plan de Bernoulli et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.11.2 Entropie et plan simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.11.3Remarquesgénérales......................... 66

4 Strati1cation69

4.1 Populationetstrates ............................. 69

4.2 Échantillon, probabilités d"inclusion, estimation . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Planssimplesstratifiés............................ 72

4.4 Plan stratifié avec allocation proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Plan stratifié optimal pour le total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6 Remarques sur l"optimalité en stratification . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 Allocationpuissance ............................. 80

4.8 Optimalitéetcoût............................... 81

4.9 Taille d"échantillon minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.10Constructiondesstrates ........................... 82

4.10.1Remarquesgénérales......................... 82

4.10.2 Découpage d"une variable quantitative en strates . . . . . . . . 83

4.11 Stratification avec des objectifs multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Plans à probabilités inégales89

5.1 Variable auxiliaire et probabilités d"inclusion . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Calcul des probabilités d"inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3 Remarquesgénérales............................. 91

5.4 Tirage avec remise à probabilités inégales ou multinomial . . . . . . . . 92

5.5 Non validité de la généralisation du tirage successif sans remise . . . . 95

5.6 Sondage systématique à probabilités inégales . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.7 Tirage systématique de Deville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.8 PlandePoisson ................................ 99

5.9 Plan de taille fixe à entropie maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.10 Procédure réjective de Rao-Sampford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Table des matièresix

5.12.2 Plan à support minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.12.3 Décomposition en plans simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.13Choixdelaméthode .............................119

5.14 Approximation de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Plans équilibrés129

6.1 Introduction..................................129

6.2 Plans équilibrés, définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.3 Échantillonnage équilibré et programmation linéaire . . . . . . . . . . . 132

6.4 Échantillonnage équilibré par tirage systématique . . . . . . . . . . . . 133

6.5 Méthode de Deville, Grosbras et Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.6 Méthodeducube...............................136

6.6.1 Représentation d"un plan de sondage sous forme de cube . . . 136

6.6.2 Sous-espace des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.6.3 Représentation du problème d"arrondi . . . . . . . . . . . . . . 139

6.6.4 Principe de la méthode du cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.6.5 Laphasedevol............................142

6.6.6 Atterrissage par la programmation linéaire . . . . . . . . . . . . 145

6.6.7 Choix de la fonction de coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.6.8 Atterrissage par suppression de variables . . . . . . . . . . . . . 147

6.6.9 Qualité de l"équilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.7 Approximation de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.8 Estimationdelavariance...........................152

6.9 Cas particuliers de l"échantillonnage équilibré . . . . . . . . . . . . . . 154

6.10 Aspects pratiques de l"échantillonnage équilibré . . . . . . . . . . . . . 154

7 Plans par grappes et à deux degrés157

7.1 Planspargrappes...............................157

7.1.1 Notation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.1.2 Tirage des grappes à probabilités égales . . . . . . . . . . . . . . 161

7.1.3 Tirage proportionnel aux tailles des grappes . . . . . . . . . . . 162

7.2 Plansàdeuxdegrés..............................163

7.2.1 Population, unités primaires et secondaires . . . . . . . . . . . . 164

7.2.2 L"estimateur par expansion et sa variance . . . . . . . . . . . . . 166

7.2.3 Tirage à probabilités égales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2.4 Sondage à deux degrés autopondéré . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3 Plansàplusieursdegrés ...........................174

7.4 Sélection des unités primaires avec remise . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.5 Plansàdeuxphases .............................178

7.5.1 Planetestimation...........................178

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viiiTable des matières

3.6 Letirageavecremiseinversé ........................ 49

3.7 Estimation d"autres fonctions d"intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7.1 Estimation d"un effectif ou d"une proportion . . . . . . . . . . . 51

3.7.2 Estimation d"un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.8 Détermination de la taille d"un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.9 Implémentation des plans simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.9.1 Objectifsetprincipes......................... 55

3.9.2 TiragedeBernoulli.......................... 56

3.9.3 Tirage successif des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9.4 Méthode du tri aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9.5 Méthode de sélection-rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.9.6 Méthodeduréservoir ........................ 60

3.9.7 Implémentation du plan simple avec remise . . . . . . . . . . . 61

3.10 Sondage systématique à probabilités égales . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.11 Entropie pour les plans simples et systématiques . . . . . . . . . . . . . 64

3.11.1 Plan de Bernoulli et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.11.2 Entropie et plan simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.11.3Remarquesgénérales......................... 66

4 Strati1cation69

4.1 Populationetstrates ............................. 69

4.2 Échantillon, probabilités d"inclusion, estimation . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Planssimplesstratifiés............................ 72

4.4 Plan stratifié avec allocation proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Plan stratifié optimal pour le total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6 Remarques sur l"optimalité en stratification . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 Allocationpuissance ............................. 80

4.8 Optimalitéetcoût............................... 81

4.9 Taille d"échantillon minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.10Constructiondesstrates ........................... 82

4.10.1Remarquesgénérales......................... 82

4.10.2 Découpage d"une variable quantitative en strates . . . . . . . . 83

4.11 Stratification avec des objectifs multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Plans à probabilités inégales89

5.1 Variable auxiliaire et probabilités d"inclusion . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Calcul des probabilités d"inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3 Remarquesgénérales............................. 91

5.4 Tirage avec remise à probabilités inégales ou multinomial . . . . . . . . 92

5.5 Non validité de la généralisation du tirage successif sans remise . . . . 95

5.6 Sondage systématique à probabilités inégales . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.7 Tirage systématique de Deville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.8 PlandePoisson ................................ 99

5.9 Plan de taille fixe à entropie maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.10 Procédure réjective de Rao-Sampford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.11Échantillonnageordonné...........................108Table des matièresix

5.12.2 Plan à support minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.12.3 Décomposition en plans simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.13Choixdelaméthode .............................119

5.14 Approximation de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Plans équilibrés129

6.1 Introduction..................................129

6.2 Plans équilibrés, définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.3 Échantillonnage équilibré et programmation linéaire . . . . . . . . . . . 132

6.4 Échantillonnage équilibré par tirage systématique . . . . . . . . . . . . 133

6.5 Méthode de Deville, Grosbras et Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.6 Méthodeducube...............................136

6.6.1 Représentation d"un plan de sondage sous forme de cube . . . 136

6.6.2 Sous-espace des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.6.3 Représentation du problème d"arrondi . . . . . . . . . . . . . . 139

6.6.4 Principe de la méthode du cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.6.5 Laphasedevol............................142

6.6.6 Atterrissage par la programmation linéaire . . . . . . . . . . . . 145

6.6.7 Choix de la fonction de coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.6.8 Atterrissage par suppression de variables . . . . . . . . . . . . . 147

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