Exponentielle de matrices-156 PDF

exp(0) = 1 et exp exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a ? b) = exp(a

ab = exp(b ln(a)). Page 2. . ln(e)=1

Basic properties of the logarithm and exponential functions

log(Xb) = b*log(X). • log(1) = 0. • exp(X+Y) = exp(X)*exp(Y). • exp(X-Y) = exp(X)/exp(Y). • exp(-X) = 1/exp(X). • exp(0) = 1. • log(exp(X)) = exp(log(X)) =

Les Exponentielles

On la note exp et on note également f(x) = exp(x)=ex. On va `a présent étudier la fonction exp. ... Théor`eme 1 : Pour tous a et b réels on a :.

Variables in the Equation B S.E. Wald df Sig. Exp(B) 95% C.I.for EXP

2022 11

FONCTION EXPONENTIELLE

Mais sa croissance est très rapide ainsi exp(21) dépasse le milliard. b) c) avec exp x + y. ( )= expx exp y expx ? 0 f (x) = exp(x + y).

formulaire.pdf

ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(. ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey.

Exponentielle de matrices

exp(U+V ) est le produit de Cauchy de exp(U) et de exp(V ) donc on a le commute comme polynôme en B

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle notée exp (x) = ex est la fonction qui à tout nombre e ax + b. a e ax + b. • La fonction exponentielle et la fonction ...

Exponentielle de matrices-156

(iii) Si A et B commutent on a : exp(A + B) = exp(A) exp(B). Pour résoudre l'équation Y (t) = AY (t)+B(t)

[PDF] Exponentielle de matrices

Comme tout commute comme polynôme en B on a donc A = exp(Q(B)+Q(B)) = exp((Q+Q)(B)) et Q + Q ? R[X] B est réelle donc on a bien le résultat 4 3 Autre

[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques

Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ? telle que et On note cette fonction exp Conséquence : Avec la calculatrice

[PDF] b) = exp(a) exp(b) exp

x ln(exp(x)) = x et x > 0 exp(ln(x)) = x • exp(1) = e • a b exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a ? b) =

[PDF] Exponentielle de matrices-156

et exp(tA) = texp(A) (iii) Si A et B commutent on a : exp(A + B) = exp(A) exp(B) (iv) Pour toute matrice Aona: exp(?A) exp(A) = Id = exp(A) exp(?A)

[PDF] Fonction Exponentielle - Labomath

Pour tous réels a et b exp(a + b) = exp(a) exp(b) La fonction exponentielle transforme les sommes en produits KB 1 sur 7

[PDF] Exponentielle de matrices

Si A B ? Mn(K) commutent alors exp(A + B) = exp A · exp B Remarque On retrouve dans ce cas qu'en particulier exp A et exp B commutent ce qui était

[PDF] Exponentielle dune matrice Chapitre 32 - cpge paradise

18 fév 2023 · Sachant que det(exp(B)) = exp(Tr(B)) nous nous intéresseront donc à l'exponentielle de matrices de traces nulles Trouvons donc toutes les

[PDF] formulairepdf

ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey

[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp

On peut définir la fonction exp d'une autre manière : Conséquence de la définition 2 et définition 4 Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R

[PDF] EXPONENTIELLE DE MATRICES APPLICATIONS On note K = R

expB = exp(A + B) – expA est inversible d'inverse exp(?A) d'o`u exp (Mn(K)) ? GLn(K) – exp(tA) = t(expA) d'o`u exp(S(n)) ? S(n) – expA = expA – exp(A?)

Exponentielle de matrices-156

1 Introduction

C"est une leçon d"algèbre, donc, ne pas trop insister sur les équations différentielles, mais en même temps, on ne peut pas non plus ne pas en parler. Avoir cette petite figure en tête vous apportera une vision juste de l"enjeu du problème :i 01 Figure1 - Groupe du cercle unité et son espace tangent en1

1.1 Définition et propriétés de base

SoitKle corps des réels ou des complexes. On définit : exp :Mn(K)! Mn(K); A7!exp(A) =1X k=01k!Ak: Si on posen= 1, on retrouve la fonction exponentielle bien connue1surR et surC.

Proposition[1, Proposition VI-2.1]

(i)La série qui définit l"exponentielle converge normalement sur tout com- pact deMn(C). L"exponentielle est une fonction continue (ne pas ou- blier de parler de l"utilisation des normes subordonnées, qui sont sous-

multiplicatives).1. L"exemple du casn= 1doit rester un modèle intuitif pour ne pas répondre d"énor-

mité aux questions du jury. 1 (ii)PourAquelconque etPinversible, on a :exp(PAP1) =Pexp(A)P1 etexp(tA) =texp(A). (iii)SiAetBcommutent, on a :exp(A+B) = exp(A)exp(B). (iv)Pour toute matriceA, on a :exp(A)exp(A) = Id = exp(A)exp(A).

En particulier,exp(A)est inversible.

(v)Pour une matrice diagonale, on a : exp 0 B @a 10 0an1 C A=0 B @e a10 0ean1 C

A(a1;:::;an2C):

(vi)Si une matriceNest nilpotente, alorsexp(N)Idest nilpotente. (vii)Le spectre deexp(A)estfe; 2Spec(A)g. (viii)PourAquelconque,fexp(tA); t2Rgest un sous-groupe deGLn(K).

1.2 Différentielle

L"exponentielle est différentiable en la matrice nulle0et sa différentielle est l"identitéIddeMn(C); c"est un difféomorphisme local sur un voisinage de0. Plus précisément, on peut définir son inverse sur la boule ouverte centrée enInde rayon1de n"importe quelle norme subordonnéejj jj: sijjHjj<1, on pose : exp

1(In+H) = log(In+H) =X

k1(1)k1Hkk Ceci peut se montrer par des arguments de calcul formel : si l"on prend les définitions delogetexpavec les séries ci-dessus, alorslog(exp(X)) =X est valable pour une indéterminéeX, puisque l"égalité est valable surR. Attention, siAest une fonction dérivable de la variable réellet, alors exp(A)0n"est en général pas égal àA0exp(A). En revanche, cela est vrai si lesA(t)commutent tous entre eux, ce qui va impliquer queA0commute avec A.

1.3 Un exemple de calcul

Calculerexp0x

x0 [2, I.6.1] 2

1.4 Non injectivité

Pour la non injectivité, [1, VI-2.5], il suffit de voir que exp 02 20 = I n= exp(0n): L"injectivité est remplacée par le fait queexp(tA) = exp(tB)pour toutt réel (et même juste dans un voisinage de0), impliqueA=B. C"est finalement ce que l"on appelle lalinéarisation.

2 Exponentielle et décomposition de Dunford

2.1 Décomposition de Dunford multiplicative

On rappelle qu"une matriceUest diteunipotentesiUInest nilpotente, ou, de façon équivalente, si son spectre est réduit àf1g.

PropositionSurK=C.

1. L "exponentielleen voieune matrice di agonalisable,resp. diagonale, sur une matrice diagonalisable, resp. diagonale. 2. Récipro quement,s iexp(A)est diagonalisable, resp. diagonale, alorsA est diagonalisable, resp. diagonale. 3. L "exponentiellese restrein ten une bijection de l"ensem bledes matrices nilpotentes vers l"ensemble des matrices unipotentes. Son inverse est donnée par la fonction logarithme : log(I n+N) =N12 N2+13

N3++ (1)n1n1Nn1;

oùNest nilpotente (et donc,U= In+Nest unipotente). Le point 1 est évident, le point 3 découle de la fonction logarithme ci- dessus qui devient un simple polynôme dans cette situation. IdéePour le point 2, on peut écrire la décomposition de DunfordA=D+ N, puis écrireexp(A) = exp(D) + exp(D)exp(N)In. Par unicité de la décomposition de Dunford, il vientexp(D)exp(N)In= 0et donc exp(N) = In, ce qui impliqueN(In+N0) = 0, avecN0nilpotente, donc N= 0. Ce qui prouve queAest diagonalisable. Le cas diagonale en découle sans trop de soucis (on utilise le fait que l"exponentielle du spectre est le spectre de l"exponentielle).

Les choses sont détaillées de façon plus élémentaire dans la référence suivante :

3 ExempleRésoudre l"équation matricielleexp(A) = In, [1, VI, 2.3]. On voit alors que l"exponentielle peut transformer la décomposition de Dun- ford additive en une décomposition de Dunford multiplicative

2. Cette dé-

composition se trouve souvent être plus pertinente quand on travaille sur des sous-groupes deGLn(C).

2.2 Calcul pratique de l"exponentielle

On peut calculer de l"exponentielle à l"aide de Dunford [Algébrie, Exercice I.6.4]. En effet, siA=D+Nest la décomposition de Dunford et sisont les projecteurs spectraux, oùdécrit le spectre deA, alors exp(D) =X e Aspect algorithmique : Si on sait décomposerAen produitQ

P, avec

P = (X)n, alors, on a une décomposition en éléments simples 1 A=X R P =P RQ A; avecQ:=Q

6=P. Et il vient alors l"identité de Bezout :

X R Q= 1:

Une machine calcule alors très facilement:=RQ.

exp(N)se calcule à partir desexp(N)=eexp(NI), avec (NI)nilpotent.

2.3 Surjectivité de l"exponentielle

Proposition[1, Exercice VI-B13]

L"exponentielle réalise une surjection deMn(C)surGLn(C). RemarqueLe fait queexpest surjectif (et continue) prouve queGLn(C) est connexe. Mais on peut prendre le problème à l"envers : la connexité de GL n(C)permet de voir que l"exponentielle complexe est surjective (voir par

exemple [3, Exercice IX-C1]).2. Toute matrice inversibleAse décompose de façon unique enA=DU, avecD

diagonalisable,Uunipotente etDU=UD. 4 CorollaireL"exponentielle réalise une surjection deMn(R)sur l"ensemble des carrés deGLn(R). idée: Dans le sens inverse, c"est évident. Dans l"autre sens,exp(X) =A, avecA=B2,B2GLn(R). La preuve de la proposition précédente montre même qu"il existe un polynôme complexePtel queexp(P(B)) =B, et

X=P(B) +P(B)fait l"affaire3.

3 Décomposition polaire et homéomorphismes

L"exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire. Effective- ment, la linéarisation est plus automatique puisque

Proposition[1, Proposition VI-2.5.1]

L"exponentielle est bijective (c"est même un homéomorphisme) de l"espace des matrices symétriquesSnsur l"ensemble des matrices symétriques définies positivesS++n.

4 Applications

4.1 racine n-ième

On trouve une racinen-ième d"une matriceAdeGLn(C)en calculant d"abord une matriceBtelle queexp(B) =A, puis, en posantC= exp(Bn Penser en particulier à la racine carrée dans la décomposition polaire.

4.2 Equations différentielles

La solution de l"équation différentielleY0(t) =AY(t), avecY(0) =Y0est donnée parY= exp(tA)Y0. Pour résoudre l"équationY0(t) =AY(t)+B(t), on se ramène à(exp(tA)Y(t))0= exp(tA)B(t), et on intègre.

Voir [4].

4.3 Le groupeO(p;q)

DéfinitionSoitpetqdeux entiers naturels. On noteO(p;q)le sous-groupe deGLp+q(R)formé des isométries de la forme quadratique standard surRp+q

de signature(p;q), c"est-à-dire :x21++x2px2p+1 x2p+q.3. Admirez l"ingénieuse utilisation des polynômes d"endomorphismes! Les matricesY

etYne commutent pas en général, maisP(B)etP(B)commutent. 5 Proposition[1, Proposition VI-A2] Soitp;q6= 0. Il existe un homéomor- phisme :

O(p;q)=O(p)O(q)Rpq:

Idée: On attaqueO(p;q)par la décomposition polaire car la partie sy- métrique se linéarise (injectivité deexpsur les matrices symétriques). Les difficiles équations deO(p;q)se trouvent être linéarisées. Corollaire[1, Corollaire VI-A5] Soitpetqdeux entiers naturels non nuls. (i)Le groupe topologiqueO(p;q)admet quatre composantes connexes, (ii)le sous-groupeH:=fIn;g;h;ghgest un sous-groupe deO(p;q), iso- morphe àZ=2Z2, (iii)l"application, deO(p;q)vers le groupe multiplicatiff1;1g2, qui en- voieA C B D verssgn(det(A));sgn(det(D))est bien définie, et est un morphisme continu et surjectif de groupes, (iv)la composante connexe de l"identité est : SO

0(p;q) =A C

B D

2SO(p;q) :A2GL+p(R)

A C B D

2O(p;q) :A2GL+p(R);D2GL+q(R)

(v)on a :O(p;q)'SO0(p;q)o(Z=2Z)2.

4.4 Sous-groupes à un paramètre deGLn(C)

Proposition[3, Proposition IX-A.5.1]

Soit':R!GLn(K)un morphisme continu. Il existe une matriceX2 M n(K)telle que

8t2R; '(t) = exp(tX):

4.5 Espaces tangents aux groupes de Lie

Un groupe de Lie est ici un sous-groupe deGLn(C)ayant une structure de sous-variété deMn(C). On voit dans cette proposition une généralisation complète de la situation de la figure 1. On voit aussi que l"exponentielle fournit des cartes pour les structures de variétés des groupes de Lie. Proposition[3, Corollaire IX-A.6.2] PourGun groupe de Lie fermé dans GL n(K)etTeGl"espace tangent àGene= In, on a : T eG=fX2 Mn(K);8t2R;exp(tX)2Gg: 6 ExemplesTe(SLn)est l"espace des matrices de trace nulle, etTe(SOn)est l"espace des matrices anti-symétriques. Entre autres, cette proposition implique facilement queTe(G)\Te(G0) = T e(G\G0), alors qu"en général on n"a que l"inclusion inverse. L"égalité provient justement du fait que l"exponentielle fournit une carte commune àGet àG0. Il n"est pas mauvais de savoir que l"espace tangent à un groupe de Lie possède une structure d"algèbre de Lie : disons dans ce cadre qu"elle est stable par l"application(X;Y)7![X;Y] :=XYY Xappelée crochet de Lie. La preuve de ce résultat s"appuie fortement sur les propriétés de l"exponentielle, mais les preuves sont un peu difficiles à maîtriser. Il faut tout de même bien comprendre l"enjeu de toutes ces techniques : la linéarisation, qui permet par exemple de montrer que l"on a un difféomor- phisme à l"aide de considération de dimensions. Voir par exemple la preuve de

Proposition[3, Proposition IX-2.1]

On a un isomorphisme dePSL2(C)surSO3(C).

4.6 Théorème de Cartan

Le théorème de Cartan peut être signalé, mais il n"est pas conseillé de le mettre en développement. C"est un théorème profond qui montre que dans le cadre des sous-groupes deGLn(C), une propriété faible (être fermé) implique une propriété forte (être une sous-variété). Théorème de Cartan[3, Théorème IX-A.6.4] SoitGun sous-groupe fermé deGLn(K),K=RouC. AlorsGest un groupe de Lie. Il est bon d"avoir un petite idée de comment l"exponentielle intervient dans la preuve : Idée-clefPar analyse-synthèse, siGétait un groupe de Lie de dimensionm, alors, pour trouver le difféomorphisme local qui assure la définition de sous- variété, on penserait à l"exponentielle, et pour le sous-espace de dimension m, à l"algèbre de LieTe(G). Or, on aTe(G) =fX;exp(tX)2G;8t2Rg. Le fait queGest fermé prouve queTe(G)est bien un sous-espace. A la bonne heure! Mais la difficulté est ensuite de montrer qu"un voisinage de

0dansMn(C)sur lequel l"exponentielle est un difféomorphisme, fournit un

difféomorphisme local deTe(G)sur le voisinage correspondant deG. Et cette difficulté provient, en gros, du fait queexp(X+Y)6= exp(X)exp(Y). Qu"à cela ne tienne, on remplace l"exponentielle par une application semblable, mais plus adaptée au problème : on choisit un supplémentaireVdu sous- espaceTe(G)dansMn(C), puis, on considère (plutôt que la fonctionexp) 7 g(A) = exp(X)exp(Y), avecA=X+Ydans la décomposition en somme directeMn(C) =Te(G)V.

Développements

Détailler l"équationexp(A) = In(il faut s"attendre ce que l"on nous de- mande la généralisationexp(A) =Ddiagonale!) La surjectivité de l"exponentielle complexe (il faut s"attendre à une discus- sion sur le cas réel). La première proposition sur l"étude deO(p;q).

5 Le 6 minutes

Définition analytique de l"exponentielle et premières propriétés (insister sur la convergence normale) Faire la figure 1. Parler du passage de la droite (espace vectoriel) au cercle (le groupe), parler de la non injectivité

4, et de sa compensation8Rt;exp(tA) =

exp(tB),A=B. Comment passer du cercle à la droite : la linéarisation. Dunford :expréalise une bijection (un homéomorphisme aussi) des nilpo- tents vers les unipotents. Il reste à s"occuper du cas diagonalisable, qui lui, se ramène à étudier le casn= 1. Parler deAdiagona(lisab)le ssiexp(A) diagon(alisab)le. Parler de la surjectivité. Décomposition polaire : exp réalise une bijection (un homéomorphisme aussi) des symétriques, resp. hermitiennes, vers les symétriques, resp. hermi- tiennes, définie positives. Il reste à s"occuper du cas des orthogonaux, resp. unitaires, mais la relationA=OSpermet souvent de se sortir de la situation.

Parler de l"étude deO(p;q).

L"espace tangent en l"identité à un sous-groupe permet par le principe de translation de comprendre tous les espaces tangents en chaque élément du groupe. Il s"exprime en termes d"exponentielle. L"exponentielle permet alors de construire des cartes pour les sous-groupes fermés deGLn, dont le théorème de Cartan dit qu"ils ont une structure de sous-variété deMn(C).

Revenir élégamment sur la figure qui illustre bien la tangence.4. déjà coupable pourn= 1, surC, de tous les+2kdans les formules de trigo.

Références

[1] Philipp eCaldero et Jérôme Germoni. Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries. Calvage et Mounet, 2017. [2] Philipp eCaldero. Carnet de Voyage en Algébrie. Notes de cours par

Chrystel Bouvier et Elisabeth Bruyère, 2015.

[3] Philipp eCaldero et Jérôme Germoni. Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries-tome 2. Calvage et Mounet, 2018. [4] Joseph Grifone. Algèbre linéaire. Editions Cépaduès, 2015. 9quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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