Fonction Exponentielle
D'où expa x expx expa
exp(0) = 1 et exp exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a ? b) = exp(a
ab = exp(b ln(a)). Page 2. . ln(e)=1
Basic properties of the logarithm and exponential functions
log(Xb) = b*log(X). • log(1) = 0. • exp(X+Y) = exp(X)*exp(Y). • exp(X-Y) = exp(X)/exp(Y). • exp(-X) = 1/exp(X). • exp(0) = 1. • log(exp(X)) = exp(log(X)) =
Les Exponentielles
On la note exp et on note également f(x) = exp(x)=ex. On va `a présent étudier la fonction exp. ... Théor`eme 1 : Pour tous a et b réels on a :.
FONCTION EXPONENTIELLE
Mais sa croissance est très rapide ainsi exp(21) dépasse le milliard. b) c) avec exp x + y. ( )= expx exp y expx ? 0 f (x) = exp(x + y).
formulaire.pdf
ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(. ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey.
Exponentielle de matrices
exp(U+V ) est le produit de Cauchy de exp(U) et de exp(V ) donc on a le commute comme polynôme en B
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle notée exp (x) = ex est la fonction qui à tout nombre e ax + b. a e ax + b. • La fonction exponentielle et la fonction ...
Exponentielle de matrices-156
(iii) Si A et B commutent on a : exp(A + B) = exp(A) exp(B). Pour résoudre l'équation Y (t) = AY (t)+B(t)
[PDF] Exponentielle de matrices
Comme tout commute comme polynôme en B on a donc A = exp(Q(B)+Q(B)) = exp((Q+Q)(B)) et Q + Q ? R[X] B est réelle donc on a bien le résultat 4 3 Autre
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques
Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ? telle que et On note cette fonction exp Conséquence : Avec la calculatrice
[PDF] b) = exp(a) exp(b) exp
x ln(exp(x)) = x et x > 0 exp(ln(x)) = x • exp(1) = e • a b exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a ? b) =
[PDF] Exponentielle de matrices-156
et exp(tA) = texp(A) (iii) Si A et B commutent on a : exp(A + B) = exp(A) exp(B) (iv) Pour toute matrice Aona: exp(?A) exp(A) = Id = exp(A) exp(?A)
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Pour tous réels a et b exp(a + b) = exp(a) exp(b) La fonction exponentielle transforme les sommes en produits KB 1 sur 7
[PDF] Exponentielle de matrices
Si A B ? Mn(K) commutent alors exp(A + B) = exp A · exp B Remarque On retrouve dans ce cas qu'en particulier exp A et exp B commutent ce qui était
[PDF] Exponentielle dune matrice Chapitre 32 - cpge paradise
18 fév 2023 · Sachant que det(exp(B)) = exp(Tr(B)) nous nous intéresseront donc à l'exponentielle de matrices de traces nulles Trouvons donc toutes les
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ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp
On peut définir la fonction exp d'une autre manière : Conséquence de la définition 2 et définition 4 Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R
[PDF] EXPONENTIELLE DE MATRICES APPLICATIONS On note K = R
expB = exp(A + B) – expA est inversible d'inverse exp(?A) d'o`u exp (Mn(K)) ? GLn(K) – exp(tA) = t(expA) d'o`u exp(S(n)) ? S(n) – expA = expA – exp(A?)
Ann´ee 2006-2007TermSTG2
Chap 5 :Les Exponentielles
I. La fonction exp
Dans cette partie on s"int´eresse `a une fonction un peu particuli`ere : la fonction exponentielle.
1) D´efinition
Remarque :On rappelle que la fonction ln n"est d´efinie que sur ]0;+∞[ mais n"importe quel nombre
r´eel est le logarithme d"un nombre positif. D´efinition 1 :On appellefonction exponentiellela fonctionfd´efinie surRparf(x) est l"unique ant´ec´edentydexpar la fonction ln c"est-`a-dire ln?y?=x. On la note exp et on note ´egalementf(x) = exp(x) = ex. Remarque :La notation exest en lien avec les puissance ainsi que le nombre??e??d´efini dans le cours sur la fonction logarithme. e xse lit??e puissancex??. Proposition 1 :Pour tout nombre strictement positifyet tout r´eelxon a : •y= ex´equivaut `a ln(y) =x; •ln?ex?=x; •eln(y)=y; •ex>0 .2) ´etude de la fonction
On va `a pr´esent ´etudier la fonction exp.
Proposition 2 :La fonction exp est d´erivable surRet exp?(x) = exp(x) ou encore (ex)?= ex.Puisque (e
x)?= exet que pour toutxr´eel exest strictement positif :Page 1/3
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Proposition 3 :La fonction exp est strictement croissante surR.On a le tableau de variation suivant :
x-∞+∞ f?(x)+ f(x) On peut alors tracer la courbe repr´esentativeCfdef.O-→i
-→j1234 -11 2 3-1-2-3-4-5 e CfII. Propri´et´es alg´ebriques
1) Comparaison
Proposition 4 :On a
e a= ebest ´equivalent `aa=b; e aPage 2/3
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De ce r´esultat d´ecoule plusieures formules :Proposition 5 :Pour tousaetbr´eels on a :
1 ea= e-a; e a eb= ea-b; e n×a= (ea)npour tout entiern; e 12×a=⎷ea.
Remarque :Il faut bien faire attention `a ne pas confondre ces formulesavec les formules correspon- dantes pour le logarithme.En fait ici ce sont les formules??inverses??.
III. Fonctions exponentielles de basea
Dans cette partie on consid`ere un nombreastrictement positif.D´efinition 2 :On appellefonction exponentielle de baseala fonction d´efinie pour tout r´eelxpar
x→axo`uax= ex×ln(a). Remarque :Ces fonctions sont des cas plus g´en´eraux de ex. Notamment la fonction exponentielle de base le nombre e est la fonction exponentielle du premier paragraphe.On a aussi 1
x= ex×ln(1)= ex×0= e0= 1 pour toutxr´eel.Proposition 6 :La fonctionf:x→axest d´erivable surRet pour tout r´eelx:f?(x) = ln(a)×ax.
Ainsi on peut connaitre le signe def?en fonction dea:Proposition 7 :La fonctionx→axest
•strictement d´ecroissante surRsi 0< a <1; O 1231 2-1-2
y= 0,7x •strictement croissante surRsia >1. O 1231 2-1-2
y= 3xPage 3/3
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