Fonction Exponentielle
D'où expa x expx expa
exp(0) = 1 et exp exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a ? b) = exp(a
ab = exp(b ln(a)). Page 2. . ln(e)=1
Basic properties of the logarithm and exponential functions
log(Xb) = b*log(X). • log(1) = 0. • exp(X+Y) = exp(X)*exp(Y). • exp(X-Y) = exp(X)/exp(Y). • exp(-X) = 1/exp(X). • exp(0) = 1. • log(exp(X)) = exp(log(X)) =
Les Exponentielles
On la note exp et on note également f(x) = exp(x)=ex. On va `a présent étudier la fonction exp. ... Théor`eme 1 : Pour tous a et b réels on a :.
FONCTION EXPONENTIELLE
Mais sa croissance est très rapide ainsi exp(21) dépasse le milliard. b) c) avec exp x + y. ( )= expx exp y expx ? 0 f (x) = exp(x + y).
formulaire.pdf
ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(. ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey.
Exponentielle de matrices
exp(U+V ) est le produit de Cauchy de exp(U) et de exp(V ) donc on a le commute comme polynôme en B
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle notée exp (x) = ex est la fonction qui à tout nombre e ax + b. a e ax + b. • La fonction exponentielle et la fonction ...
Exponentielle de matrices-156
(iii) Si A et B commutent on a : exp(A + B) = exp(A) exp(B). Pour résoudre l'équation Y (t) = AY (t)+B(t)
[PDF] Exponentielle de matrices
Comme tout commute comme polynôme en B on a donc A = exp(Q(B)+Q(B)) = exp((Q+Q)(B)) et Q + Q ? R[X] B est réelle donc on a bien le résultat 4 3 Autre
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques
Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ? telle que et On note cette fonction exp Conséquence : Avec la calculatrice
[PDF] b) = exp(a) exp(b) exp
x ln(exp(x)) = x et x > 0 exp(ln(x)) = x • exp(1) = e • a b exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a ? b) =
[PDF] Exponentielle de matrices-156
et exp(tA) = texp(A) (iii) Si A et B commutent on a : exp(A + B) = exp(A) exp(B) (iv) Pour toute matrice Aona: exp(?A) exp(A) = Id = exp(A) exp(?A)
[PDF] Fonction Exponentielle - Labomath
Pour tous réels a et b exp(a + b) = exp(a) exp(b) La fonction exponentielle transforme les sommes en produits KB 1 sur 7
[PDF] Exponentielle de matrices
Si A B ? Mn(K) commutent alors exp(A + B) = exp A · exp B Remarque On retrouve dans ce cas qu'en particulier exp A et exp B commutent ce qui était
[PDF] Exponentielle dune matrice Chapitre 32 - cpge paradise
18 fév 2023 · Sachant que det(exp(B)) = exp(Tr(B)) nous nous intéresseront donc à l'exponentielle de matrices de traces nulles Trouvons donc toutes les
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ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp
On peut définir la fonction exp d'une autre manière : Conséquence de la définition 2 et définition 4 Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R
[PDF] EXPONENTIELLE DE MATRICES APPLICATIONS On note K = R
expB = exp(A + B) – expA est inversible d'inverse exp(?A) d'o`u exp (Mn(K)) ? GLn(K) – exp(tA) = t(expA) d'o`u exp(S(n)) ? S(n) – expA = expA – exp(A?)
FONCTION EXPONENTIELLE
I. Définition
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que etDémonstration de l'unicité (exigible BAC) :
L'existence est admise
- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ.Soit la fonction h définie sur ℝ par .
Pour tout réel x, on a :
La fonction h est donc constante.
Comme , on a pour tout réel x :.
La fonction f ne peut donc pas s'annuler.
- Supposons qu'il existe une fonction g telle que et .Comme f ne s'annule pas, on pose .
k est donc une fonction constante.Or donc pour tout x : .
Et donc . L'unicité de f est donc vérifiée. Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que et .On note cette fonction exp.
Conséquence :
Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : f'=f f(0)=1 h(x)=f(x)f(-x) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)-f'(-x) =f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) =f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0 h(0)=f(0)f(0)=1 f(x)f(-x)=1 g'=g g(0)=1 k(x)= g(x) f(x) k'(x)= g'(x)f(x)-g(x)f'(x) f(x) 2 g(x)f(x)-g(x)f(x) f(x) 2 =0 k(0)= g(0) f(0) 1 1 =1 k(x)=1 f(x)=g(x) f'=f f(0)=1 exp(0)=1 2 Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard.II. Etude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ et Démonstration : Conséquence immédiate de sa définition2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais.Or, par définition, donc pour tout x, .
Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.3) Limites en l'infini
Propriété : et
- Propriété démontrée au paragraphe III. -4) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x 0 expx '=expx exp(0)=1 expx>0 expx '=expx>0 lim x→-∞ expx=0 lim x→+∞ expx=+∞ expx expx 3III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Démonstration :
Comme , on pose avec y un nombre réel.
Pour tout x, on a .
Donc la fonction f est constante.
Comme , on en déduit que .
Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) b) c) avec expx+y =expxexpy expx≠0 f(x)= exp(x+y) expx f'(x)= exp(x+y)expx-exp(x+y)expx expx 2 =0 f(0)= exp(y) exp(0) =expy exp(x+y) expx =expy exp-x 1 expx expx-y expx expy expnx =expx n n∈! 4Démonstration :
a) b) c) La démonstration s'effectue par récurrence.L'initialisation est triviale.
La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition :2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e.Notation nouvelle :
On note pour tout x réel,
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique .Ses premières décimales sont :
e 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est t ranscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers. Le nombre par exempl e, est irrationnel mais n'est pas transcendant puisqu'il est solution de l'équation . Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom ma is peut être car e est la première lettre du mot exponentiel. expxexp-x =expx-x =exp(0)=1 expx-y =expx+(-y) =expxexp-y =expx 1 expy expx expy expn+1 x =expnx+x =expnx expx=expx n expx=expx n+1 exp1=e expx=exp(x×1)=exp(1) x =e x expx=e x 2 x 2 =2 5 Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : Rappelons que par exemple 5! se l it "factorielle 5" et e st égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) et b) et c) , , , , avec . d) et Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.Démonstration de d) (exigible BAC) :
- Soit la fonction g définie par . Pour x positif, car la fonction exponentielle est croissante.Donc la fonction g est croissante sur .
On dresse ainsi le tableau de variations :
x 00 +
1Comme , on a pour tout x, .
Et donc , soit .
D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que carDériver une fonction exponentielle :
Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
e=1+ 1 1! 1 2! 1 3! e 0 =1 e 1 =e e x >0 (e x )'=e x e x+y =e x e y e x-y e x e y e -x 1 e x e x n =e nx n∈! lim x→-∞ e x =0 lim x→+∞ e x g(x)=equotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] comment déterminer le domaine de définition d'une fonction
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