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EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS.

On noteK=RouCet on munitMn(K) d"une norme d"alg`ebre? ?.

L"application exponentielle apparaˆıt dans l"´etude et la r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires,

par exemple (E) :dYdt =AYo`uY(t) =? ?y 1(t) y n(t)? ??KnetA= (ai,j)? Mn(K). On cherche une solution de (E) sous la formeY(t) =eλtV(o`uλ?KetV?Kn). Cette fonction

est alors solution de (E) si et seulement siλeλtV=eλtAVi.e.AV=λVet on est donc amen´e `a

cherches les valeurs propres de la matriceA. LorsqueAest diagonalisable, soitV1,...,Vnune base de

vecteurs propres deKnetλ1,...,λnles valeurs propres associ´ees; on obtientnsolutions lin´eairement

Y(t) =α1eλ1tV1+···+αneλntVn.

LorsqueAn"est pas diagonalisable, on a alors besoin (en g´en´eral) de la notion d"exponentielle de

matrice. Une fois cette notion introduite, on peut se demander quelles propri´et´es de l"exponentielle

complexe sont conserv´ees par cette nouvelle application. On se demande aussi quels sont les liens entre

les propri´et´es de l"application exponentielle et la structure des sous-groupes deMn(K).

1.D´efinition et g´en´eralit´es

D´efinition 1.1.On appelleexponentielledeA?Mn(K), la somme de la s´erie normalement conver- gente expA=? n≥0A nn!. Remarque 1.2.L"applicationMn(K)→ Mn(K),A?→expAest continue. Exemple 1.3.exp(diag(λ1,...,λn)) = diag?eλ1,...,eλn?; en particulier, exp0 = In.

Proposition 1.4.SoitA,B? Mn(K)etP?GLn(K).

- siAB=BAalorsexpA.expB= exp(A+B) -expAest inversible d"inverseexp(-A)d"o`uexp(Mn(K))?GLn(K) -exp(tA) =t(expA)d"o`uexp(S(n))? S(n) -expA=expA -exp(A?) = (expA)?d"o`ueH(n)? H(n) -exp(P-1AP) =P-1exp(A)Pi.e. deux matrices semblables ont des exponentielles semblables - Il existePA?K[X]tel queexpA=PA(A); en particulierAetexpAcommutent.

D´emonstration.On pose

n=? n? i=0A ii!? n? j=0B jj!) -n? k=0(A+B)kk! orAB=BAdonc pour toutk (A+B)kk!=? i+j=kC ikk!AiBj=? i+j=kA ii!B jj! 1

2 EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS.

d"o`u n=? n? i=0A ii!? n? j=0B jj!) -n? k=0? i+j=kA ii!B jj!=? i+j=kA ii!B jj! et il s"ensuit i+j=k?A?ii!?B?jj!=? n? i=0?A?ii!? n? j=0?B?jj!) -n? k=0(?A?+?B?)kk! et ce dernier terme tend vers 0 quandntend vers l"infini. Pour (ii), il suffit de remarquer queA commute avec-Adonc expAexp(-A) = exp(A-A) = exp0 = In.

Les (iii),(iv),(v),(vi) se d´eduisent de la continuit´e des applicationsA?→tA,A?→A,A?→A?,

A?→P-1AP. Enfin, on a

doncK[A] est ferm´e et il s"ensuit que expA?K[A].? Contre-exemple 1.5.SiAB?=BAalors on n"a plus (i); consid´erons par exempleA=?0 0

θ0?

et

B=?0-θ

0 0? (o`uθ?R) alorsA2=B2= 0 d"o`u expA= I2+A=?1 0

θ1?

et expB= I2+B=?1 0

θ1?

donc expAexpB=?1-θ

θ1-θ2?

alors que (A+B)2n=θ2n?0-1 1 0? 2n =θ2n?-1 0 0-1? n =?(-θ2)n0

0 (-θ2)n?

et (A+B)2n+1=?(-θ2)n0

0 (-θ2)n??0-1

1 0? =?0 (-θ2)n+1 (-θ2)n+10? d"o`u exp(A+B) =+∞? p=01(2p)!? (-θ2)p0

0 (-θ2)p?

p=01(2p+ 1)!?

0 (-θ2)p+1

(-θ2)p+10? i.e. exp(A+B) =?cosθ-sinθ sinθcosθ?

Remarque 1.6.On montre que

AB=BA?? ?t?R,exp(t(A+B)) = exp(tA)exp(tB).

En effet, c"est clair siAB=BAet on consid`ere

f(t) = exp(t(A+B)) etg(t) = exp(tA)exp(tB).

Puisque ces s´eries sont normalement convergente, le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme

implique que pour toutt?R, on a dfdt (t) = (A+B)exp(t(A+B)) etd2fdt

2(t) = (A+B)2exp(t(A+B))

d"o`u d2fdt 2(t)? t=0= (A+B)2or dgdt (t) =Aexp(tA)exp(tB) + exp(tA)Bexp(tB)

EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS. 3

et d2gdt

2(t) =A2exp(tA)exp(tB) + 2(Aexp(tA)Bexp(tB)) + exp(tA)B2exp(tB)

d"o`u d2gdt 2(t)? t=0=A2+ 2AB+B2. Or, par hypoth`ese,f(t) =g(t) pour toutt?Rdonc d 2fdt 2(t)? t=0=d2gdt 2(t)? t=0 i.e.(A+B)2=A2+ 2AB+B2doncBA=AB. Remarque 1.7.Il n"existe pas de polynˆomeP?K[X] tel que expA=P(A) pour toutA? Mn(K). En effet, sinon notons leP(X) =a0+a1X+···+apXpalors pour toutA? Mn(K), on aP(A) = expA;

en particulier, siD= diag(λ,0,···,0) alors expD= diag(eλ,0,···,0) doncPest un polynˆome

v´erifiant en particulierP(λ) =eλpour toutλ?R, c"est absurde.

Proposition 1.8.SoitA? Mn(K)alors

(i) exp(Sp(A)) = Sp(expA) (ii) det(expA) = exp(TrA) (iii)siχAest scind´e alors

Adiagonalisable??expAdiagonalisable

D´emonstration.PuisqueAest trigonalisable surC, il existeP?GLn(C) telle que P -1AP=? 1?

0λn?

donc expAest semblable `a exp(P-1AP) =? ?e

λ1?

0eλn?

d"o`u exp(Sp(A)) = Sp(expA). De plus, on a det(expA) = det(P-1(expA)P) = det(P-1AP) =eλ1···eλn= exp(Tr (A)). Enfin, siAest diagonalisable alors expAest diagonalisable. R´eciproquement, notonsA=D+Nla d´ecomposition de Dunford deAalors, puisqueDN=ND, on a expA= expDexpNd"o`u expN= exp(-D)expAest diagonalisable comme produit de deux matrices diagonalisables. Or on a expN= In+N+N22 +···+Nn-1(n-1)!. La matrice expN´etant `a la fois unipotente et diagonalisable, on a expN= Ind"o`u N+N22 +···+Nn-1(n-1)!= 0

Ainsi le polynˆome

Q(X) =X+X22

+···+Xn-1(n-1)! est annulateur pourNdonc divisible par son polynˆome minimal. Or le polynˆome minimal deNest

Application 1.9.SiA? Mn(C) alors

expA= In??Adiagonalisable et Sp(A)?2iπZ

4 EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS.

D´emonstration.Si expA= Inalors expAest diagonalisables doncAest diagonalisablei.e.on a P -1AP=? 10

0λn?

avecPinversible d"o`u I n= expA=P? ?e

λ10

0eλn?

?P-1 donc ?e

λ10

0eλn?

?= In i.e.eλ1=···=eλn= 1 donc lesλjsont dans 2iπZ. La r´eciproque est claire.?

2.R´egularit´e de l"application exponentielle

Proposition 2.1.L"exponentielleexp :Mn(K)→GLn(K)est de classeC∞, v´erified(exp)0= idet r´ealise un diff´eomorphisme d"un voisinage de0dansMn(K)sur un voisinage deIndansGLn(K).

D´emonstration.Pour montrer que l"exponentielle est de classeCkpour toutk, il suffit d"it´erer le

th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme (il y a convergence normale des s´eries d´eriv´ees `a tout

ordre). De plus, pour toutH? Mn(K), on a expH=+∞? k=0H kk!= In+H+O(?H?2)

doncd(exp)0= In. D"apr`es le th´eor`eme d"inversion locale, l"exponentielle est unC∞-diff´eomorphisme

d"un voisinage de 0 dansMn(K) sur un voisinage de IndansGLn(K).? Application 2.2.GLn(K) n"a pas de sous-groupe arbitrairement petiti.e.il existe un voisinageV de I ndansGLn(K) tel que{In}est le seul sous-groupeGinclu dansV. D´emonstration.SoitUun voinage convexe born´e de 0 dansMn(K) etVun voisinage de Indans GL n(K) tel que l"exponentielle r´ealise un diff´eomorphisme deUsurV, on pose alorsU?=12 Uet V ?= expU?. SoitB? V?avecB?= Inalors il existeA? U?non nulle telle que expA=Bet il s"ensuit que, pour toutk≥0, on a exp(kA) =Bk. CommeUest born´e etU?=12

U, il existek≥1 tel que

kA? U?et (k+1)A /? U?; puisqueAetkAsont dansU?=12

U, on a (k+1)A?12

U+12

U ? Upuisque

Uest convexe. PuisqueBk+1= exp((k+ 1)A) et puisque l"exponentielle est injective surU, le fait que (k+1)A /? U?impliqueBk+1/? V?= expU?. En particulierV?ne contient pas de sous-groupe non trivial deGLn(K).? Application 2.3.Pour tout morphisme continu de groupes additifs?:R→ Mn(K), il existe une unique matriceA?Mn(K) telle que?(t) = exp(tA) pour toutt?R; en particulier,?est de classe C D´emonstration.On suppose?non constant (sinonA= 0 convient). SoitUune boule ouverte de

centre 0 dansMn(K) telle que l"exponentielle r´ealise un diff´eomorphisme de 2Usur son image. La

continuit´e de?implique qu"il existe un intervalleIcentr´e en 0 tel que?(I)?expU. Puisque?n"est

pas constante, siA?expUavecA?= Inalors il existec?Itel que?(c) =A. Alors il existeB? Utelle queA= expB. SoitB?? Utelle que?(c2 ) = expB?alors, puisque?est un morphisme de groupes, on a?(c) = exp(2B?) et l"injectivit´e de l"exponentielle dans 2UdonneB= 2B?d"o`u?(c2 ) = exp(B2

En r´eit´erant le proc´ed´e, il vient

?p≥0, ?(c2 p) = exp(B2 p).

EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS. 5

Le fait que?est un morphisme de groupes donne alors ?p≥0,?k?Z, ?(kc2 p) = exp(kB2 p).

La densit´e des nombres de la

k2 pdansRet la continuit´e de?et exp donnent finalement ?t?R, ?(tc) = exp(tB) d"o`u, en posantC=Bc ?t?R, ?(t) = exp(tC).

L"exponentielle ´etantC∞au voisinage de 0, l"applicationt?→exp(tA) est de classeC∞pourtpetit

mais le fait que?soit un morphisme de groupes assure le caract`ere global.?

Proposition 2.4.Pour tousX,H? Mn(K), on a

d(exp)X(H) = expX? k≥01(k+ 1)!(-adX)k(H) o`uadX:Mn(K)→ Mn(K),H?→XH-HX. D´emonstration.On commence par montrer que pour tousX,H? Mn(K), on a exp(X).H.exp(-X) = exp(adX).H En effet, soitf(t) = exp(tX).H.exp(-tX) pourt?R, alors f ?(t) =Xexp(tX).H.exp(-tX)-exp(tX).H.exp(-tX).X=Xf(t)-f(t)X= adX(f(t)). Doncfest solution de l"´equation diff´erentielleY?=AYavecA= adX? L(Mn(K)) donc f(t) = exp(tadX).f(0) = exp(tadX).H.

En particulier, on a bien

exp(X).H.exp(-X) =f(1) = exp(adX).H.

Soitt?Retg(t) =∂∂u

(exp(-tX)exp(t(X+uH)))? u=0alors g ?(t) = exp(-tadX).H.

En effet, l"application exponentielle est de classeC∞donc il en est de mˆeme de l"application

R

2→ Mn(K),(t,u)?→exp(-tX)exp(t(X+uH))

et le th´eor`eme de Schwarz donne g ?(t) =∂∂t ∂∂u (exp(-tX)exp(t(X+uH)))? u=0? =∂∂u ∂∂t (exp(-tX)exp(t(X+uH)))?? u=0 donc g ?(t) =∂∂u (-Xexp(-tX)exp(t(X+uH)) + exp(-tX)(X+uH)exp(t(X+uH)))? u=0 =∂∂u (uexp(-tX).H.exp(t(X+uH)))? u=0 = exp(-tX).H.exp(tX) d"o`u d"apr`es le d´ebut de la preuve g ?(t) = exp(-tX).H.exp(tX) = exp(-tadX).H.

On a donc pour toutt?R

g ?(t) =? k=0(-tadX)kk!? .H etg(0) = 0, on en d´eduit que g(t) =? k=0t k+1(-adX)k(k+ 1)!? .H.

6 EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS.

Pourt= 1, on obtient

g(1) =? k=0(-adX)k(k+ 1)!? .H mais par ailleurs g(1) =∂∂u (exp(-X)exp(X+uH))? u=0= exp(-X)∂∂u exp(X+uH)? u=0= exp(-X)d(exp)X.H d"o`u d(exp)X.H= expX+∞? k=0(-adX)k(k+ 1)!.H. Remarque 2.5.SiX:R→ Mn(K),t?→X(t), on n"a pas toujours ddt (expX(t)) =X?(t)expX(t) car ddt (expX(t)) =d(exp)X(t).X?(t) = expX(t).? X ?(t)-12 ?X(t)X?(t)-X?(t)X(t)?+···?

En particulier, siX(t) etX?(t) commutent alors on a le r´esultat souhait´e. Cependant, siX(t) =?1t

0 0? alorsX(t)n=X(t) pour toutn≥1 donc expX(t) =? n≥0X(t)nn!= I2+ (e-1)X(t) =?e(e-1)t 0 0? donc ddt (expX(t)) =?0e-1 0 0? alors queX?(t)expX(t) est la matrice nulle. D´efinition 2.6.SiA?B(In,1)?GLn(K), on appellelogarithmedeAla somme de la s´erie norma- lement convergente logA=? n≥1(-1)n+1(A-In)nn Remarque 2.7.L"applicationB(In,1)→ Mn(K),A?→logAest continue.

Proposition 2.8.?A?B(In,1),exp(logA) =A

D´emonstration.SoitA? Mn(K) telle que?A?<1 ett?[0,1], on pose f(t) = exp(log(In+tA)) etX(t) = log(In+tA). Le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme donne queXest de classeC1et v´erifie ddt

X(t) =ddt

n≥1(-1)n+1tnAnn =A? n≥0(-1)n(tA)n=A(In+tA)-1.

Pourp≥1 fix´e,p?

n=0(-1)n(tA)netp? n=1(-1)n+1tnAnn commutent donc, par continuit´e de l"application (M,N)?→MN-MN, on en d´eduit queddt

X(t) commute avecX(t). Il s"ensuit que

ddt f(t) =ddt (X(t))expX(t) i.e.f?(t) =A(In+tA)-1f(t) donc (I n+tA)f?(t) =Af(t).

EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS. 7

On proc´edant de mˆeme et d´erivant `a nouveau, on a Af ?(t) + (In+tA)f??(t) =Af?(t)i.e.(In+tA)f??(t) = 0 or (I n+tA) est inversible doncf??(t) = 0, d"o`uf?(t) =f?(0) =Apuisf(t) =f(0) +tAdonc f(t) = In+tA. En prenantt= 1, on obtient bien le r´esultat annonc´e.?

Application 2.9.SoitA,B?Mn(K), alors

- expA= limk→+∞? I n+Ak k - si (Ak)kest une suite deMn(K) qui tend versAalors expA= limk→+∞? I n+Akk k - exp(A+B) = limk→+∞? exp(Ak )exp(Bk k - exp(AB-BA) = limk→+∞? exp(Ak )exp(Bk exp(-Ak )exp(-Ak k2

D´emonstration.Pourkassez grand, on a??Ak

??<1 et log?In+Ak ?=Ak +o(1k ) doncklog?In+Ak A+o(1) tend versA. Par continuit´e de l"exponentielle, on en d´eduit que exp? klog? I n+Ak k→+∞expA et comme ??Ak ??<1, on a exp?klog?In+Ak ??=?In+Ak k. Le raisonnement est analogue dans le cas d"une suite (Ak)ktendant versApuisqu"une telle suite est born´ee. Pour (iii), on a exp Ak = In+Ak +O(1k

2) et expBk

= In+Bk +O(1kquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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