CORRIGÉ
CORRIGÉ. TD 9 : Régression linéaire. Exercice 1. : On reprend l'exemple des 5 Calculer le coefficient de corrélation linéaire. Commenter. ?(x y) =.
Corrigé - Série 3 Régression linéaire simple Exercice 1 - Densité
STT-2902. Automne 2012. Emmanuelle Reny-Nolin. Corrigé - Série 3. Régression linéaire simple. Exercice 1 - Densité européenne a) y = 00001x + 1
Statistiques descriptives et exercices
Rappels de cours et exercices corrigés sur la statistique descriptive. Abdennasser Chekroun 1.3 Exercices corrigés . ... 4.3 Ajustement linéaire .
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Exercice 1. Soit la liste suivante des prénoms d'un groupe d'étudiants suivis entre parenth`eses d'une indication du nombre de livres lus dans l'année (A
TD01- AJUSTEMENT LINÉAIRE METHODE DES MOINDRES
La droite des MCO d'une régression simple passe-t-elle par le point ( ? ?) ? A. Toujours ;. B. Jamais ;. C. Parfois. Exercice 1.2 ( .
Traitement dun exercice classique de statistiques (ajustement)
3) Déterminer l'équation de la droite d'ajustement linéaire de Z en X par la méthode des moindres carrés. 4) Représenter le nuage de points de coordonnées
Exercices dajustement linéaire
Construire les droites (GA) et (G B) sur le graphique précédent. a. On se propose de faire un ajustement du nuage par l'une de ces deux droites. Quelle droite
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Donner la droite de la régression linéaire (Y en fonction de X). 2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire et conclure. Exercice 3 : On admet que la
Corrélation linéaire et régression linéaire simple
Corrélation linéaire et régression linéaire simple. Ségolen Geffray linéaire non-linéaire
Corrélation - Régression Exercices commentés
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Exercice 1 3 (Poids des pères et des fils) possédant des propriétés remarquables (comme ici un ajustement linéaire tout à fait justifié) ne peuvent être
LAjustement Et La Corrélation Linéaire Exercice 10 Corrigé - Scribd
L'Ajustement Et La Corrélation Linéaire Exercice 10 Corrigé Téléchargez comme PDF TXT ou lisez en ligne sur Scribd Signaler comme contenu inapproprié
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STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Corrigé - Série 3 Régression linéaire simple Exercice 1 - Densité européenne a) y = 00001x + 19583
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Déterminer à l'aide de votre calculatrice les coefficients de corrélation linéaire et de chacune des 3 séries (arrondis à 001 près) 4 Conclure 5
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Exercice 1 Page 2 sur 7 Page 3 LPP ALBERT DE MUN B TRUCHETET Exercice 2 On se propose de faire un ajustement du nuage par l'une de ces deux droites
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Corrigé de l'exercice 3 1 - 1 "Ajuster la droite au sens des moindres carrés" signifie qu'il faut déterminer a de manière résous équation linéaire
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3) Déterminer l'équation de la droite d'ajustement linéaire de Z en X par la méthode des moindres carrés 4) Représenter le nuage de points de coordonnées
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Chapitre 1 Corrections des exercices 1 1 Régression linéaire simple Exercice 1 1 (Questions de cours) B A B A Exercice 1 2 (Biais des estimateurs)
Comment faire un ajustement linéaire ?
L'ajustement linéaire consiste à tracer une droite qui passe au plus près des observations d'un nuage de points. Cette droite est ensuite utilisée pour faire des prévisions.Comment calculer la droite d ajustement linéaire ?
Voici deux propriétés relatives à l'ajustement linéaire :
1La droite de régression de y par rapport à x passe par le barycentre du nuage. Elle a pour équation y?¯y=a(x?¯x), ou encore y=ax+(¯y?a¯x).2Le coefficient angulaire de la droite de régression de y par rapport à x vaut : a=?iei(xi?¯x)(yi?¯y)?iei(xi?¯x)2.Comment calculer Xi et Yi ?
En statistiques, cette droite est appelée la droite de régression linéaire des points (xi,yi). (xi ? x)2 = (x1 ? x)2 + ··· + (xn ? x)2 n .- La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme . Les coefficients a et b de l'équation de cette droite sont définis par a = et , où ?x est l'écart-type de la série x, et ?xy la covariance des séries x et y.
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Faculte des sciences et de genie
Departement de mathematiques et de statistiqueSTT-2902Automne 2012
Emmanuelle Reny-NolinCorrige - Serie 3
Regression lineaire simple
Exercice 1 - Densite europeenne
a)y=0,0001x+1,9583 0102030405060708090
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000
Population(millionsd'habitants)
Superficie(km2)
PopulationenfonctiondelasuperficieOn voit qu'il y a probablement une relation lineaire croissante entre la population et
la supercie. Par contre, il est clair que la variance n'est pas constante autour de la droite (les residus acheraient un entonnoir ouvert a droite). On peut donc ajuster un modele lineaire avec n'importe quelle methode d'estimation (calculer l'equation d'une droite), mais on ne peut pas associer de marge d'erreur aux estimations des moindres carres comme on le ferait si tous les postulats etaient respectes. b) Esti mationde la densit emo yennede la p opulationen Europ e: i) en calculan tla mo yennedes 27 densit es: 27Pi=1y i=xi27 = 166;28 hab/km2 Ce calcul donne un poids egal a chaque pays. C'est la moyenne des densites des pays d'Europe, donc c'est la densite moyenne par pays. Les petits pays, ayant souvent une grande densite, ont plus de poids dans ce calcul. ii) en calculan tla p opulationtotale d es27 pa ys,et en la divisan tpar la sup ercie totale des 27 pays : 27X
i=1y i. 27X
i=1x i= 112;95 hab/km2
Ce calcul donne un poids egal a chaque km
2de territoire. Les grands pays ont
plus de poids dans ce calcul. Cette formule ne tient pas compte des divisions1Universite Laval
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Emmanuelle Reny-Nolinpolitiques. Si l'Europe etait un pays, ce serait sa densite de population. Bien s^ur,
cette densite n'est pas homogene. iii) e nestiman tla p ented ela droite de r egressionaux moindres carr es: 27Pi=1x iyi27xy 27
P i=1x2i27x
2= 100;74 hab/km2
Ce calcul donne une estimation de l'augmentation moyenne de la population lorsque le territoire augmente d'un km2. Cette estimation ne correspond pas exac-
tement a la valeur en a), car elle est calculee en minimisant l'erreur de prediction de la population a partir d'une supercie connue (les distances verticales par rap- port a la droite). Si la droite passait par 0 exactement, ce serait une facon d'envisager la densite "moyenne" (et on n'en est pas loin, puisque ^0= 1;96).A titre informatif, on peut forcer la droite de regression a passer par 0 (en minimisant la somme du carre des erreurs du modeleYi=1xi+"i), on obtient alors l'estimation suivante pour la pente : 27Pi=1x iyi27 P i=1x2i= 106;84 Exercice 2 - Drill, baby, drill! (Comme disait Sarah Palin) a) S XY=nP i=1(XiX)(YiY) nP i=1(XiYiXiYYiX+XY) nP i=1X iYiY nP i=1X iX nP i=1Y i+nXY nP i=1X iYiY(nX)X(nY) +nXY nP i=1X iYinXY 2
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Emmanuelle Reny-Nolinb)
S XY=nP i=1(XiX)(YiY) nP i=1(XiX)YinP i=1(XiX)Y nP i=1(XiX)YiY nP i=1(XiX) nP i=1(XiX)YiY(0) nP i=1(XiX)Yi c) @S@0= 0 sinP
i=1Y i=n^0+^1nP i=1X iOn isole
^0et on obtient^0=Y^1X.
@S@1= 0 sinP
i=1X iYi=^0nP i=1X i+^1nP i=1X2iEn remplacant
^0par^0=Y^1X, on obtient : n P i=1X iYiY nP i=1X i=^1(nP i=1X2iX nP i=1X i) n P i=1X iYinXY=^1(nP i=1X2inX 2)On isole
^1et on obtient^1=SXYS
XXd)En eet,
^1=SXYS XX=n P i=1(XiX)Yin P i=1(XiX)2 La principale consequence de cet etat de fait est que ^1suit une loi normale lorsqu'on suppose que lesYisuivent une loi normale (autour de la droite).3Universite Laval
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Emmanuelle Reny-NolinExercice 3 - Dans le ventre de sa maman...Modele 1 : Longevite en fonction de Gestation
Modele 2 : Longevite en fonction de ln(Gestation)
Modele 3 : ln(Longevite) en fonction de Gestation
Modele 4 : ln(Longevite) en fonction de ln(Gestation)a)Se lonles quatre graphiques de disp ersion,le mo dele4 est clairemen tcelui qui pr esente
la relation la plus lineaire, avec une variance a peu pres constante pour toutes les valeurs dex.0510152025303540450 100 200 300 400 500 600 700
Y=Longévitémoyenne(années)
x=Duréedegestation(jours)Modèle1:Yvsx
051015202530354045
Y ln(x)Modèle2:Yvsln(x)
0,000,501,001,502,002,503,003,504,00
0 100 200 300 400 500 600 700
ln(Y) xModèle3:ln(Y)vsx
0,000,501,001,502,002,503,003,504,00
2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00
ln(Y) ln(x)Modèle4:ln(Y)vsln(x)b)
Appellation dans Excel Symbole FormuleCoeff. de determination multiplercoe. de correlation echantillonnal
Cov(X;Y)S
XSY=SXYpS
XXSY YCoeff. de determination R^ 2R21SSESST
=SSRSST =r2Coeff. de determination R^ 2R2ajuste1SSE=(n2)SST=(n1)= 1MSES 2y4Universite Laval
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Emmanuelle Reny-Nolinc)
Modele 1 : Y en fonction de XR2= 0:3275
Modele 2 : Y en fonction de ln(X)R2= 0:3925
Modele 3 : ln(Y) en fonction de XR2= 0:3535
Modele 4 : ln(Y) en fonction de ln(X)R2= 0:5883Le modele 4 est encore privilegie, car c'est celui pour lequel la proportion de variabilite
expliquee par le modele est la plus grande. d)2=MSE= 0:2000 e) mo yennedes r esidus= 3:4710160 et ecart-type des residus = 0:4413. On aurait pu trouver ces valeurs sans utiliser la liste des residus, car la moyenne des ecarts est toujours 0, et la variance echantillonnale des residus correspond a une petite transformation duMSE, soit s 2"=n P i=1(^"i")2(n1)=n P i=1([yi^yi]0)2(n1)=(n2)MSE(n1)Exercice 4 - Jouons avec les Y
a) i)M ethodede Ma yer:
Deux points moyens :P1= (19;5;3;0) etP2= (44;17;8;3)Equation de la droite :^Y1= 0;2162x1;2329
ii)M ethodem ediane-mediane:
Trois points medians :P1= (14;5;2;1),P2= (32;5;1) etP3= (50;5;9;4)Moyenne des points medians : (32;33;5;50)
Equation de la droite :^Y1= 0;2028x1;0565
b) La p entec hangerade signe, mais aura la m ^emev aleurabsolue. P ourl'ordonn ee s l'origine, les calculs sont necessaires : i) Equation de la droite de Mayer :^Y2=0;2162x+ 12;5329 ii) Equation de la droite mediane-mediane :^Y2=0;2028x+ 12;0565 c) Non, les v aleursde Ysont liees aux valeurs deX. On ne peut pas separer les valeursquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] ajustement linéaire et corrélation exercices corrigés
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