[PDF] Statistique descriptive bivariée

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Modelisation

L2 Mathematiques

Statistique descriptive bivariee

Ajustement lineaire et moindres carres

Marie-Luce Taupin

marie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr

2015-2016

Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 1 / 57

Plan

1Introduction

2Methodes des moindres carres

3Residus et validation du modele

4Qualite de l'ajustement

5Prevision avec la droite des moindres carres

6Une deuxieme droite de regression

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Objectifs

XetYquantitatives discretes ou continues.Donnees bidimensionnelles (xk;yk)k=1;:::;n.ExpliquerYen fonction deX(ouXen fonction deY)Exprimer une dependance fonctionnelle deYcomme fonction deX

du typey=f(x).Fonctionfchoisie e partir de la forme du nuage de points : I dependance lineaire/ane :y=ax+b,

Idependance polynemialey=ax2+bx+c,

Iexponentielle, puissance, ...Relation non exacte!

Tendance indiquee par le nuage de points.

=)Le but etant de faire de la prevision e partir de cette relation.Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 3 / 57

Un nuage de points est necessaire

> plot(X,Y,pch=16)406080100120140 300
400
500
600
700
800
900
X

Y> cor(X,Y)

[1] 0.8162365

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Un nuage de points peut etre trompeur

> cor(X,Y) [1] 0.6557069 > plot(X,Y,pch=16)10111213 150
160
170
180
190

Faible corrélation ?

X

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Un nuage de points est necessaire mais pas susant

> cor(X,Y) [1] 0.6557069 Il faut tenir compte de la superposition des points (sun owerplotsur R)10111213 150
160
170
180
190

Forte corrélation !

X

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Un peu de vocabulaire

On dit que l'on expliqueYen fonction deX.Yvariable e expliquer: c elledont on c herche eexpliquer les

variations.Xvariable explicative.Regression lineaire: ajustement lin eaire

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Modele deterministe: maquette du ph enomene etudieavec des erreurs.Prevision de la valeur deYpour une nouvelle valeur deXe partir de ce modele.Ajustement lineaire par la methode des moindres carres : I determiner les valeurs deaetbde la droite d'equationy=ax+be partir des donnees, I en resumant au mieux le nuage de points : equation de la droite la plus \proche" du nuage au sens des moindres carres, I

droite des moindres carres.Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 8 / 57

Exemple

On cherche e decrire la relation entrey : rendement de ble, variable e expliquer x : quantite d'engrais, variable explicative Pour cela on suppose que l'on est dans le cas d'un modele de regression lineaire simple de la forme

y=ax+bDonnees :DonneesRendement.txtdisponible sur Moodle.Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 9 / 57

Etude descriptive

Lecture des donnees :

> Donnees=read.table("DonneesRendement.txt",header=TRUE) > attach(Donnees) > names(Donnees) [1] "Engrais" "Rendement" > dim(Donnees) [1] 7 2 > str(Donnees) 'data.frame': 7 obs. of 2 variables: $ Engrais : int 100 200 300 400 500 600 700 $ Rendement: int 40 50 50 70 65 65 80

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Etude descriptive

Visualisation des donnees :

> Donnees

Engrais Rendement

1 100 40

2 200 50

3 300 50

4 400 70

5 500 65

6 600 65

7 700 80Taille de l'echantillon :

> n=length(Donnees[,1]) > n [1] 7

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Etude descriptive

Resume statistique des donnees :

> summary(Donnees)

Engrais Rendement

Min. :100 Min. :40.0

1st Qu.:250 1st Qu.:50.0

Median :400 Median :65.0

Mean :400 Mean :60.0

3rd Qu.:550 3rd Qu.:67.5

Max. :700 Max. :80.0

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Premiers indicateurs d'une relation lineaire

Nuage de points avec une forme allongee.

Coecient de correlation lineaire proche de 1 ou -1. > X=Engrais > Y=Rendement

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Representation des donnees

> plot(X,Y)100200300400500600700 40
50
60
70
80
X

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Representation des donnees

> plot(X,Y,xlab="Engrais", ylab="Rendement", main="",pch=16)100200300400500600700 40
50
60
70
80

Engrais

RendementAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 15 / 57

Statistiques descriptives

> mean(X) [1] 400 > mean(Y) [1] 60 > sd(X) [1] 216.0247 > sd(Y) [1] 13.84437 > cov(X,Y) [1] 2750 > cor(X,Y) [1] 0.9195091

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Relation lineaire

Relation lineaire de la forme :

Y=aX+baetbsont deux constantes inconnues a preciser e partir des donnees.C'est une approximation et non une relation exacte : il n'existe pas

deux valeursaetb, telles que pour toutk= 1;:::;7,yk=axk+b.Chercher la droite la plus "proche" de ces points pour resumer au

mieux le nuage de points.

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Plan

1Introduction

2Methodes des moindres carres

3Residus et validation du modele

4Qualite de l'ajustement

5Prevision avec la droite des moindres carres

6Une deuxieme droite de regression

Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 18 / 57

Critere des moindres carres

Chercheraetbtq droitey=ax+bsoit la plus "proche" desn points de coordonnees (xk;yk).Proche au sens des moindres carres!

Methode des moindres carres

Trouver les valeurs

baetbbqui minimisent la fonction'(a;b) representant la sommes des carres des erreurs '(a;b) =nX k=1(ykaxkb)2=nX k=1e

2kAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 19 / 57

Calcul des coecients de regression

'(a;b) : fonction des deux variablesaetb.Les valeurs baetbbdeaetbminimisant'(a;b) annulent les derivees partielles de'(a;b) par rapport eaet ebb aetbbsolutions du syteme 8>< :@'(a;b)@a= 0

@'(a;b)@b= 0Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 20 / 57

Droite des moindres carres

b a=Cov(x;y)Var(x)etbb=ybax:Droitey=bax+bb:droite des moindres carresdeYenX(ou droite de regression lineaireou droite d'ajustement lineaire deYen X)La droite passe par le point moyen (x;y) : y=bax+bb.b

arepresente la pente de la droite etbbl'ordonnee e l'origine.Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 21 / 57

Representation des donnees

> plot(X,Y,xlab="Engrais", ylab="Rendement", main="",pch=16)100200300400500600700 40
50
60
70
80

Engrais

RendementAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 22 / 57

Centre du nuage

> plot(X,Y,xlab="Engrais", ylab="Rendement", main="",pch=16) > points(mean(X),mean(Y),col="red",pch=15)100200300400500600700 40
50
60
70
80

Engrais

RendementAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 23 / 57

Centre du nuage

> plot(X,Y,xlab="Engrais", ylab="Rendement", main="",pch=16) > points(mean(X),mean(Y),col="red",pch=15) > segments(x0 = mean(X),y0=0,x1=mean(X),y1=mean(Y),col="red",lty=2,lwd=2) > segments(x0 = mean(X),y0=mean(Y),x1=0,y1=mean(Y),col="red",lty=2,lwd=2) > legend(400,60, legend = "centre du nuage", bty = "n",col="red")100200300400500600700 40
50
60
70
80

Engrais

Rendement

centre du nuageAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 24 / 57

Modelisation des donnees

Construction du modele sous R :

#si donn\'ees attach\'ees > modele=lm(Y~X) #si donn\'ees non attach\'ees > modele=lm(Y~X, data=Donnees)Coecients de la droite des moindres carres (valeurs de a et b) : > coefficients(modele) (Intercept) X

36.42857143 0.05892857

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Modelisation des donnees

Modele sous R :

> modele Call: lm(formula = Y ~ X)

Coefficients:

(Intercept) X

36.42857 0.05893Equation de la DMC :y= 0:05893x+ 36:42857Ajustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 26 / 57

DMC : droite des moindres carres

> plot(X,Y) > points(mean(X), mean(Y),col="red") > abline(modele)100200300400500600700 40
50
60
70
80
x

yAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 27 / 57

Representation des donnees

> plot(X,Y,pch=16,xlab="X : Engrais",ylab="Y : Rendement") > abline(modele,col="blue",lwd=2) > points(mean(X),mean(Y),pch=15,col="red")100200300400500600700 40
50
60
70
80

X : Engrais

Y : RendementAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 28 / 57

Modelisation des donnees

> summary(modele) Call: lm(formula = Y ~ X, data = Donnees)

Residuals:

1 2 3 4 5 6 7

-2.3214 1.7857 -4.1071 10.0000 -0.8929 -6.7857 2.3214

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 36.42857 5.03812 7.231 0.000789 ***

X 0.05893 0.01127 5.231 0.003379 **

Signif. codes: 0 "***" 0.001 "**" 0.01 "*" 0.05 "." 0.1 " " 1 Residual standard error: 5.961 on 5 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8455,Adjusted R-squared: 0.8146 F-statistic: 27.36 on 1 and 5 DF, p-value: 0.003379 > names(summary(modele)) [1] "call" "terms" "residuals" "coefficients" [5] "aliased" "sigma" "df" "r.squared" [9] "adj.r.squared" "fstatistic" "cov.unscaled"

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Plan

1Introduction

2Methodes des moindres carres

3Residus et validation du modele

4Qualite de l'ajustement

5Prevision avec la droite des moindres carres

6Une deuxieme droite de regression

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Residus et validation du modele

Chercher la droite d'equationy=ax+bla plus "proche" desn

points (xk;yk).Points du nuage non alignes sur la droite :yk6=axk+bResidusek=yk(axk+b) pour toutk= 1;:::;nResidus : tout ce qui n'est pas pris en compte dans la relation pour

expliquerYen fonction deXModele:yk=axk+b+ek: relation exacte.Il faut juger de la qualite de l'ajustement realise pour faire de la

prevision.

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Denition et etude des residus

On appellevaleur ajusteede lakeme observation de la variableY l'approximation ^yk= ^axk+^b

C'est la valeur prevue par le modele.

> fitted(modele)

1 2 3 4 5 6 7

42.32143 48.21429 54.10714 60.00000 65.89286 71.78571 77.67857

On appelleresidubek, l'erreur (observee) que l'on commet en approchantykpar ^yk b ek=ykbyk > residuals(modele)

1 2 3 4 5 6

-2.3214286 1.7857143 -4.1071429 10.0000000 -0.8928571 -6.7857143 7

2.3214286

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Residus100200300400500600700

40
50
60
70
80

Valeurs observées et prédites

X : Engrais

Y : RendementAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 33 / 57

Remarques

Les (yk;k= 1;:::;n) et les valeurs prevues (^yk;k= 1;:::;n) ont meme moyenne y. > mean(Y) [1] 60 > mean(fitted(modele)) [1] 60

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Proprietes des residus

Les residus sont centres :

be= 0 etPn k=1bek= 0 > mean(residuals(modele)) [1] 4.758099e-16 > sum(residuals(modele)) [1] 3.330669e-15

Var(be) =2be=1n

n X k=1( bekbe)2=1n n X k=1b

e2kResidus non correles avecXAjustement lineaire et moindres carres (Marie-Luce Taupinmarie-luce.taupin@genopole.cnrs.fr)Statistique descriptive bivariee2015-2016 35 / 57

Modelisation des donnees

> summary(modele) Call: lm(formula = Y ~ X, data = Donnees)

Residuals:

1 2 3 4 5 6 7

-2.3214 1.7857 -4.1071 10.0000 -0.8929 -6.7857 2.3214

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 36.42857 5.03812 7.231 0.000789 ***

X 0.05893 0.01127 5.231 0.003379 **

Signif. codes: 0 "***" 0.001 "**" 0.01 "*" 0.05 "." 0.1 " " 1 Residual standard error: 5.961 on 5 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8455,Adjusted R-squared: 0.8146 F-statistic: 27.36 on 1 and 5 DF, p-value: 0.003379

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Analyse des residus

Graphes des residus: nuage de points (^yk;bek)k=1;:::;nModele non adapte si structure particuliere dans le nuage des residus.

Il reste une information dans les residus que la relation proposee entre YetXne prend pas en compte.Il faut verier qu'il ne reste pas de "tendance" dans les residus non prises en compte dans la modelisation. Les points du nuage doivent etre repartis "aleatoirement" autour de l'axe des abscisses si la

relation lineaire entrexetysut e expliquer la variabilite dey.On ne doit pas voir apparaetre de tendance, de cene, de vague,...

Si un cene apparaet, cela veut dire que la variabilite des residus augmente (ou diminue) avec la valeur de la prevision.

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Validation par defaut de R

-5 0 5 10

Fitted values

Residuals

lm(Y ~ X)

Residuals vs Fitted

4 6

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Exemples de problemes01020304050

-2 -1 0 1 2 1:50 cos((1:50) * pi/25) + rnorm(50)

01020304050

-3 -2 -1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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