Chapitre 5 - Méthode des moindres carrés
En déduire l'équation de la droite des moindres carrés. Contrôler vos calculs en superposant son graphe au nuage de points. 3. Calculer le coefficient de
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Partie 1 : Série statistique à deux variables
1) Dans un repère représenter le nuage de points ( ‹ ; ‹). 2) a) Déterminer une équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés. b)
MODELES LINEAIRES
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2.5.1Régression par les moindres carrés ordinaires (MCO). Une variable est significative lorsque la statistique du test (t f
STATISTIQUES
Méthode : Déterminer la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés. Vidéo https://youtu.be/vdEL0MOKAIg. On considère la série statistique à deux
Statistiques à deux variables
II.3 Méthode des moindres carrés. Il s'agit d'obtenir une droite équidistante des points situés de part et d'autre d'elle-même.
Statistique descriptive bivariée
1 Introduction. 2 Méthodes des moindres carrés. 3 Résidus et validation du modéle. 4 Qualité de l'ajustement. 5 Prévision avec la droite des moindres carrés.
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L'étude statistique ci-dessous porte sur les poids respectifs des pères et de leur fil aîné Père : 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71 Fils : 68 66 68 65 69
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Quelques applications du principe des moindres carrés à la prévision commerciale « dynamique » Revue de statistique appliquée tome 7 no 4 (1959) p
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14 déc 2018 · 3 1 La méthode des moindres carrés partiels multidimensionnelle On dispose d'une matrice d'observations de p variables explicatives sur n
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Le fondement de la méthode des moindres carrés est régit par la minimisation de la somme quadratique des écarts (encore appelés résidus) entre les données
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B – Rappels de statistiques II – Méthode des moindres carrés A – Exemple introductif B – Formulation générale C – Cas du modèle linéaire
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La méthode des moindres carrés permet de comparer des données expérimentales généralement entachées d'erreurs de mesure à un modèle mathématique censé
Comment déterminer la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme . Les coefficients a et b de l'équation de cette droite sont définis par a = et , où ?x est l'écart-type de la série x, et ?xy la covariance des séries x et y.Quand utiliser la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au début du XIX e si?le, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d'erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces données.Quelles sont les conditions de la méthode des moindres carrés ordinaires ?
La méthode des moindres carrés consiste à minimiser la somme des carrés des écarts, écarts pondérés dans le cas multidimensionnel, entre chaque point du nuage de régression et son projeté, parallèlement à l'axe des ordonnées, sur la droite de régression. , on a plutôt affaire à une régression linéaire multiple.- La droite de régression des moindres carrés, ? �� = �� + �� �� , minimise la somme des carrés des différences des points par rapport à la droite, d'où l'expression « moindres carrés ».
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSTATISTIQUES I. Nuage de points Méthode : Représenter un nuage de points Le tableau suivant présente l'évolution du budget publicitaire et du chiffre d'affaire d'une société au cours des 6 dernières années : Budget publicitaire en milliers d'euros xi 8 10 12 14 16 18 Chiffre d'affaire en milliers d'euros yi 40 55 55 70 75 95 1) Dans un repère, représenter le nuage de points (xi ; yi). 2) Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage de points. 1) 2)
x = (8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18) : 6 = 13 y= (40 + 55 + 55 + 70 + 75 + 95) : 6 = 65. Le point moyen G du nuage de points a pour coordonnées (13 ; 65). On peut placer ce point dans le repère. Les coordonnées du point moyen G sont tel que est la moyenne des xi et est la moyenne des yi.
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr II. Ajustement affine Méthode : Utiliser un ajustement affine On reprend les données de la méthode du paragraphe I. 1) Soit G1, le point moyen associé aux trois premiers points du nuage et G2 le point moyen associé aux trois derniers points du nuage. a) Calculer les coordonnées de G1 et G2. b) On prend (G1G2) comme droite d'ajustement. Tracer cette droite. 2) À l'aide du graphique : a) Estimer le chiffre d'affaire à prévoir pour un budget publicitaire de 22 000 €. b) Estimer le budget publicitaire qu'il faudrait prévoir pour obtenir un chiffre d'affaire de 100 000 €. 1) a)
x 1 = (8 + 10 + 12) : 3 = 10 y 1 = (40 + 55 + 55) : 3 = 50. Le point moyen G1 a pour coordonnées (10 ; 50). x 2 = (14 + 16 + 18) : 3 = 16 y 2= (70 + 75 + 95) : 3 = 80. Le point moyen G2 a pour coordonnées (16 ; 80). b) Définition : Lorsque les points d'un nuage sont sensiblement alignés, on peut construire une droite, appelé droite d'ajustement (ou droite de régression), passant au plus près de ces points.
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2) On lit graphiquement : a) Le chiffre d'affaire à prévoir pour un budget publicitaire de 22 000 € est de 110 000 €. b) Le budget publicitaire qu'il faudrait prévoir pour obtenir un chiffre d'affaire de 100 000 € est de 20 000€.
4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés Vidéo https://youtu.be/vdEL0MOKAIg On considère la série statistique à deux variables donnée dans le tableau suivant : xi 5 10 15 20 25 30 35 40 yi 13 23 34 44 50 65 75 90 1) Dans un repère, représenter le nuage de points (xi ; yi). 2) a) À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés. b) Représenter la droite d'ajustement de y en x. 3) Estimer graphiquement la valeur de x pour y = 70. Retrouver ce résultat par calcul. 1) 2) Cette méthode porte le nom de " moindre carrés » car elle consiste à rechercher la position de la droite d'ajustement tel que la somme des carrés des longueurs donnant les distances respectives (en vert) entre la droite et les points soit minimale. Pour cela, on utilise la calculatrice qui va donner l'équation de la droite cherchée.
5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frAvec TI : - Appuyer sur " STAT » puis " Edite » et saisir les valeurs de xi dans L1 et les valeurs de yi dans L2. - Appuyer à nouveau sur " STAT » puis " CALC » et " RegLin(ax+b) ». - Saisir L1,L2 Avec CASIO : - Aller dans le menu " STAT ». - Saisir les valeurs de xi dans List1 et les valeurs de yi dans List2. - Sélectionner " CALC » puis " SET ». - Choisir List1 pour 2Var XList et List2 pour 2Var YList puis " EXE ». - Sélectionner " REG » puis " X » et " aX+b ». La calculatrice nous renvoie : a=2.138095238 et b=1.142857143 Une équation de la droite d'ajustement est :
y=2,1x+1,1Pour tracer la droite, il suffit de calculer les coordonnées de deux points de la droite d'ajustement : - Si
x=0 alors y=2,1×0+1,1=1,1 donc le point de coordonnées (0 ; 1,1) appartient à la droite d'ajustement. - Si x=10 alors y=2,1×10+1,1=22,1donc le point de coordonnées (10 ; 22,1) appartient à la droite d'ajustement. 3) a) Pour y = 70, on lit graphiquement x ≈
33. b) Par calcul, si y = 70, alors
70=2,1x+1,1
soit70-1,1=2,1x
soit68,9=2,1x
Et enfin :
x= 68,92,1 ≈32,8quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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