Chapitre 5 - Méthode des moindres carrés
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La méthode des moindres carrés permet de comparer des données expérimentales généralement entachées d'erreurs de mesure à un modèle mathématique censé
Comment déterminer la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme . Les coefficients a et b de l'équation de cette droite sont définis par a = et , où ?x est l'écart-type de la série x, et ?xy la covariance des séries x et y.Quand utiliser la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au début du XIX e si?le, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d'erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces données.Quelles sont les conditions de la méthode des moindres carrés ordinaires ?
La méthode des moindres carrés consiste à minimiser la somme des carrés des écarts, écarts pondérés dans le cas multidimensionnel, entre chaque point du nuage de régression et son projeté, parallèlement à l'axe des ordonnées, sur la droite de régression. , on a plutôt affaire à une régression linéaire multiple.- La droite de régression des moindres carrés, ? = + , minimise la somme des carrés des différences des points par rapport à la droite, d'où l'expression « moindres carrés ».
1èreBTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010
Statistiques à deux variables
Table des matières
I Position du problème. Vocabulaire2
I.1 Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2
I.2 Le problème de l"ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3
I.3 Point moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3
II Ajustements4
II.1 Ajustement à la règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 4
II.2 Méthode de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4
II.3 Méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4
II.4 Ajustement exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 6
II.5 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 7
IIICoefficient de corrélation linéaire8
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Le problème qui se pose dans les séries statistiques à deux variables est principalement celui du lien qui
existe ou non entre chacune des variables. Le texte en bleu concerne les calculatrices (TI et Casio)I Position du problème. Vocabulaire
Par soucis de clarté, ce cours est élaboré à partir de l"exemple suivant :Exemple
Le tableau suivant donne l"évolution du nombre d"adhérentsd"un club de rugby de2001à2006.Année200120022003200420052006
Rangxi123456
Nombre d"adhérentsyi7090115140170220
Le but est d"étudier cette série statistique à deux variables (le rang et le nombre d"adhérents) afin de prévoir l"évolution du
nombre d"adhérents pour les années suivantes.I.1 Nuage de points
La première étape consiste à réaliser un graphique qui traduise les deux séries statistiques ci-dessus.
Définition 1
SoitXetYdeux variables statistiques numériques observées surnindividus. Dans un repère orthogonal(O;-→i;-→j), l"ensemble desnpoints de coordonnées(x i,yi)forme le nuage de points associé à cette série statistique.Dans notre exemple, si on place le rang en abscisses, et le nombre d"adhérents en ordonnées, on peut
représenter par un point chaque valeur. On obtient ainsi unesuccession de points, dont les coordonnées sont
(1;70), (2;90), ... (6;220), forment un nuage de pointsQuestion 1
Dans le plan muni d"un repère orthogonal d"unités graphiques :2cm pour une année sur l"axe des abscisses et1cm pour
20adhérents sur l"axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série(xi;yi).
T.I.ÔTouche STAT
ÔMenu EDIT
ÔEntrer les valeursxidansL1
ÔEntrer les valeursyidansL2
ÔRègler les valeurs du repère avec la toucheWINDOWS
ÔAppuyer sur la touche TRACE
CasioÔMenu STAT
ÔEntrer les valeursxidansList1
ÔEntrer les valeursy
idansList2ÔChoisir GRPH
ÔRègler les paramètres avec SET
ÔChoisir GPH1
http://nathalie.daval.free.fr-2-1èreBTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010
0 1 2 3 4 5 6 7 8
020406080100120140160180200220240260
G1 GG 2 D1 D2CfRangNombre d"adhérents
I.2 Le problème de l"ajustement
Le nuage de points associé à une série statistique à deux variables donne donc immédiatement des informa-
tions de nature qualitatives.Pour en tirer des informations plus quantitatives, il nous faut poser le problème de l"ajustement.
Le tracé met en évidence la possibilité de "reconnaître" graphiquement la possibilité d"une relation fonction-
nelle entre les deux grandeurs observées (ici rang et nombred"adhérent).Le problème de l"établissement d"une relation fonctionnelle entre les deux séries est le problème de l"ajustement
I.3 Point moyen
Définition 2
Soit une série statistique à deux variables,XetY, dont les valeurs sont des couples(x i;yi).On appelle point moyen
de la série le pointGde coordonnéesG=x1+x2+···+xn
n.G=y1+y2+···+yn
n. http://nathalie.daval.free.fr-3-1èreBTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010
Question 2
Déterminer les coordonnées des points moyens suivants :ÔG1des années allant de2001à2003,
ÔG2des années allant de2004à2006,
ÔG, point moyen du nuage de points tout entier.Calcul des coordonnées deG1:
?xG1=1+2+3 3= 2 yG1=70+90+115
3= 91,7donc,G1( 2 ; 91,7 ).
Calcul des coordonnées deG
2: ?xG2=4+5+6 3= 5 yG2=140+170+220
3= 176,7donc,G2( 5 ; 176,7 ).
Calcul des coordonnées deG:
?xG=1+2+3+4+5+66= 3,5
yG=70+90+115+140+170+220
3= 134,2donc,G( 3,5 ; 134,2 ).
II Ajustements
II.1 Ajustement à la règle
On se propose, à partir des résultats obtenus, de faire des prévisions pour les années à venir.
Un poyen d"y parvenir est de tracer au juger une droiteDpassant le plus près possible des points du nuage
et d"en trouver l"équation du typey=ax+b.II.2 Méthode de Mayer
Cet ajustement consiste à déterminer la droite passant par deux points moyens du nuage de point.
Question 3
Déterminer l"équation de la droiteD1qui passe par les points moyensG1etG2et la tracer sur le graphique précédent.
La droiteD1n"est pas parallèle à l"axe des ordonnées, elle a donc pour équationy=ax+bavec :
a=yG2-yG1
xG2-xG2=176,7-91,75-2= 28,3.
De plus, elle passe par le pointG
1( 2 ; 91,7 ) d"où :
yG1=axG1+b?91,7 = 28,3×2 +b?b= 35,1.
Conclusion :D
1:y= 28,3x+ 35,1.
Pour tracerD
1, il suffit de placerG1etG2puis de tracer la droite qui les relie.
II.3 Méthode des moindres carrés
Il s"agit d"obtenir une droite équidistante des points situés de part et d"autre d"elle-même.
Pour réaliser ceci, on cherche à minimiser la somme des distances des points à la droite au carré.
On considère une série statistique à deux variables représentée par un nuage justifiant un ajustement affine.
http://nathalie.daval.free.fr-4-1èreBTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010
Définition 3
Dans le plan muni d"un repère orthonormal, on considère un nuage denpoints de coordonnées(x i;yi). La droiteDd"équationy=ax+best appelée droite de régression deyenxde la série statistique ssi la quantité suivante est minimale : n? i=1 (MiQi)2= n? i=1 [yi-(axi+b)]2 ?axi+by iMi Qi D xiRemarque 1
Il serait tout aussi judicieux de s"intéresser à la droiteD ?qui minimise la quantité n? i=1 [xi-(ayi+b)]2. Cette droite est appelée droite de régression dexeny.Définition 4
On appelle covariance
de la série statistique double de variablesxetyle nombre réel cov(x,y) =σ xy=1n n? i=1 (xi-¯x)(yi-¯y).Pour les calculs, on pourra aussi utiliser :
xy=1n n? i=1 xiyi-¯x¯y.Remarque 2
On a :cov(x,x) =σ
x2=V(x) = [σ(x)]2.Propriété 1
La droite de régressionDdeyenxa pour équationy=ax+boù ?a=σxy [σ(x)]2 bvérifie ¯y = a¯x + b. http://nathalie.daval.free.fr-5-1èreBTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010
Remarque 3
Les réelsaetbsont donnés par la calculatrice. T.I.ÔTouche STAT
ÔMenu CALC
ÔItem LinReg
ÔLinRegL1,L2
CasioÔMenu STAT
ÔItem CALC
ÔRègler les paramètres avec set
ÔItem REG
ÔChoisir X
Propriété 2
Le point moyenGdu nuage appartient toujours à la droite de régression deyenx.Question 4
Déterminer une équation de la droite d"ajustementD2deyenxobtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer
sur le graphique précédent. La calculatrice donneD2:y=ax+baveca= 29 etb= 32,7.Conclusion :D
2:y= 29x+ 32,7
Pour tracer la droiteD2, il faut choisir deux points (au moins) sur cette droite.Par exemple :
x 08 y32,7264,7, les placer dans le repère puis tracer la droite.II.4 Ajustement exponentiel
On remarque qu"un ajustement affine ne semble pas très approprié pour ce nuage de points à partir de 2006,
on se propose de déterminer un ajustement plus juste.Question 5
On posez= lny. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs deziau millième.
xi123456 zi4,248Il suffit de calculer lnyipour chaque caleur dei:
xi123456 zi4,2484,5004,7454,9425,1365,394 On peut déterminer les éléments de ce tableau grâce à la calculatrice : http://nathalie.daval.free.fr-6-1èreBTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010
T.I.ÔTouche STAT
ÔMenu EDIT
ÔSe placer dansL3
ÔEntrer la formule "= lnL2"Casio
ÔTouche STAT
ÔMenu EDIT
ÔSe placer dansList3
ÔEntrer la formule "= lnList2"
Question 6
Déterminer une équation de la droite d"ajustementD3dezenxobtenue par la méthode des moindres carrés.
La manipulation à la calculatrice est la même que précédemment, en oubliant pas de changer les paramètres.
La calculatrice donneD
3:z=ax+baveca= 0,224 etb= 4,045.
Conclusion :D
3:z= 0,224x+ 4,045.
Question 7
Dans ce cas, en déduire la relation qui lieyàxpuis tracer la courbe représentative de la fonctiony=f(x).
On a ?z= 0,224x+ 4,045 z= lnydonc : lny= 0,224x+ 4,045On compose par la fonction exponentielle :e
lny= e0,224x+4,045 = (e0,224)x×e4,045 = (1,251)x×57,111Conclusion :y= 57,111×1,251
x.Pour tracer la courbe, il suffit de placer des points, par exemple grâce au tableau de valeurs de la calculatrice.
II.5 Comparaison
Grâce aux trois derniers ajustements, on peut évaluer ce quise passera plus tard, comparons les :
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