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S2 STS toutes mentions 2015-2016 Probabilités et Statistique Régression - Droite des moindres carrés

Université de Picardie Jules Verne2015-2016

UFR des Sciences

Licence Sciences,Technologies,Santé toutes mentions-Semestre 2

Probabilités et Statistique

Régression - Droite des moindres carrés

Le chapitre précédent traitait de lastatistique descriptive univariée, c"est-à-dire de la description d"une

série statistique selon un seul caractère (la taille par exemple). On veut maintenant étudier, visualiser et

mesurer (le cas échéant) les liens existant entre deux variables: c"est l"objet de lastatistique descriptive

bivariée.

On considère une population sur laquelle on étudie deux variables (ou caractères) quantitativesXetY. On

étudiera donc desséries statistiques à deux variables; autrement dit un couple de variablesX,Y. On veut

savoir si les deux variables sont liés par une liaison fonctionnelle du typeYfX(c"est-à-dire que l"on peut

prévoir les valeurs deYà partir des valeurs deX), ouXfY(c"est-à-dire que l"on peut prévoir les valeurs

deXà partir des valeurs deY).

Précisons dès maintenant que l"existence d"une telle liaison entre les deux variablesXetYne signifie pas

obligatoirement un lien de cause à effet entre elles. Exemple fondamental:YaXb(liaison fonctionnelle affine).

Représentation graphique:nuage de points.

Sur un échantillon denindividus extrait de la population, on observencouplesx 1,y1, x

2,y2,,xn,ynde valeurs deXetY.

Ces observations peuvent être représentées dans le plan. A chaque couplex i,yi,i1,,n, on fait correspondre un pointM i. On obtient un nuage de point.

La forme du nuage obtenu peut indiquer le type de dépendance possible entreXetY. Si les points sont

"plutôt" alignés, on peut envisager une relation de typeYaXb(équation de droite). Si le nuage "forme"

une parabole, on peut envisager une relation de typeYaX 2bXc. On dit que l"on cherche à ajuster une courbe au nuage de points.

1.Droite des moindres carrés(ou de régression)deyenx

On cherche à ajuster une droite d"équationyaxbau nuage de points. Le critère d"ajustement est la distance totale entre les points du nuageM ixi,yiet les points P ixi,axibcorrespondant sur la droite d"ajustement.

On cherche donc le couple

a,bqui minimisefa,b i1nyiaxib2. On peut démontrer (on l"admettra ici) qu"il existe un unique couple a,brendantfa,bminimum, et donc une seule droite répondant au problème.

C"est la droite des moindres carrés deyenx;

on dit aussi droite de régression deyenx. Equation de la droite des moindres carrés deyenx: D y/x:yaxb, avecacovx,y s x2etbyax.

Notations :Moyennes :

x1 n i1nxi,y1 n i1nyi.Covariance : covx,y1 n i1nxixyiy1 n i1nxiyixy.

Variances : s

x21 n i1nxix21 n i1nxi2x2,sy21 n i1nyi2y2.

Stéphane Ducay1

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Exemple.

On considère la série double statistique suivante : x i2 3 5 1 4 y i6 6 11 2 10 Le nuage de points correspondant est représenté sur le graphe ci-dessous.

0123456

0 2 4 6 8 10 12 xy

Nuage de points

La droite de regression deyenxa pour équation :yaxb, avecacovx,y s x2etbyax. x iyixiyixi2

2 6 12 4

3 6 18 9

5 11 55 25

1 2 2 1

4 10 40 16

Total 15 35 127 55

On ax1

n i1nxi1

5153,y1

n i1nyi1 5357,
covx,y1 n i1nxiyixy1

5127374,4 ,

s x21 n i1nxi2x21

555322.

On en déduit :

acovx,y s x24,4 22,2
et b yax72,230,4. La droite de regression deyenxa donc pour équation :y2,2x0,4.

0123456

0 2 4 6 8 10 12 xy

Nuage de points et droite de régression deyenx

2.Droite des moindres carrés dexeny.

On suit une démarche analogue à celle qui a donné la droite des moindres carrés deyenx: D y/x:yaxb, avecacovx,y s x2etbyax.

On cherche à ajuster une droiteD

x/yd"équationxaybau nuage de points. On obtient la droite des moindres carrés dexeny: D x/y:xayb, avecacovx,y s y2etbxay.

Stéphane Ducay2

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Remarque. Ces équations peuvent aussi s"écrire : D y/x:yyaxx D x/y:xxayy

Les droitesD

y/xetDx/yse coupent donc au pointGx,y.

Exemple.

Reprenons l"exemple précédent. On a toujours x3,y7,covx,y4,4,sx22 eta2,2.

On calcules

y21 n i1nyi2y21

52977210,4, d"oùacovx,y

s y24,4

10,41,12,6.

La droite de regression dexenya donc pour équationx xayy, soitx31,12,6y7, c"est-à-direy2,3637x0,0909. On retrouve également une équation de la droite de régression deyenx:y yaxx, soit y72,2x3, c"est-à-direy2,2x0,4.

Les droitesD

y/xetDx/yse coupent au pointGx,yG3,7.

0123456

0 2 4 6 8 10 12 xy

Droites de régression deyenxet dexeny

3.Coefficient de corrélation linéaire entrexety

Le coefficient de corrélation linéaire est donné par :rx,ycovx,ysxsy.

Qualité de l"ajustement.

On peut démontrer quer

x,y211 s y2 1 n i1nyiaxib

21. On en déduit querx,y21 si et seulement

si i1nyiaxib

20, c"est-à-direyiaxib0, pour touti1,,n, soitMixi,yiDy/x. Ainsi,

r x,y21 si et seulement si les pointsMisont alignés surDy/x.

De façon générale, plusr

x,y2est proche de 1, meilleur est l"ajustement de la droite des moindres carrés au nuage de points. Dans la pratique, on dit qu"il y a une bonne corrélation linéaire entreXetYsi 3

2|rx,y|1, c"est-à-dire sirx,y23

4.

Le signe der

x,y(même signe que celui dea) indique le sens de la liaison (croissante sirx,y0, décroissante sir x,y0) entreXetY.

Signification der

x,y. La question se pose de savoir si une forte valeur der x,y(en valeur absolue) ou derx,y2prouve qu"il y a une

forte corrélation entre les deux caractèresXetY(par exemple lorsque l"ajustement est bon) ou si elle est due

au hasard de l"échantillonage (par exemple lorsquenest petit). Pour obtenir une réponse, on peut utiliser des

tests statistiques (question non abordée ici).

Stéphane Ducay3

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Formule de décomposition.

La notion de liaison entreXetYsignifie qu"une variation deXentraîne une variation deY. La formule de

décomposition permet de préciser la part de variation deYexpliquée par la variation deX: i1nyiy2 i1nyiy2 i1nyiyi

2, avecyiaxib.

La démonstration repose sur le fait que le double produit s"annule : i1nyiyyiyia i1nxixei0, aveceiyiyi(erreur observée), et grâce aux équations définissant aetb.

Lasomme des carrés totale:

i1nyiy2mesure la variation globale desyiautour de leur moyenney. Lasomme des carrés expliquéepar la variableX: i1nyiy2a2 i1nxix2mesure la variation de

Yexpliquée par la variableX. Ce terme n"est d"ailleurs fonction que de la pente de la droite desmoindres

carrés et des valeurs deX.

Lasomme des carrés résiduelle:

i1nyiyi 2 i1nei2mesure la variation deYnon expliquée par la variableX.

Coefficient de détermination.

Il est naturel de mesurer la force de la liaison entre les variablesXetYà l"aide du coefficient de

détermination : R 2 i1nyiy2 i1nyiy2somme des carrés expliquée somme des carrés totale On peut vérifier queR2rx,y2. Ce qui explique querx,ymesure la force de la liaison entreXetY.

Position relative deD

y/xetDx/y. Sir x,y20, alorscovx,y0, et doncaa0. Ainsi,Dy/x:yyetDx/y:xx. Sir x,y20, alorsa0 eta0. On a alors :Dy/x:yyaxxetDx/y:yy1 axx.

On a :

a acovx,y s x2 covx,y s y2covx,ys xsy 2 rx,y2. Sir x,y21, alorsa1 aet doncDx/ya pour équation :yy1 axxaxx, soit l"équation de D y/x. Ainsi,Dx/yDy/x. Si 0r x,y21, alors 0aa1 et deux cas sont possibles : - soit 0r x,y1 et alorsa0,a0 eta1 a; - soit1r x,y0 et alorsa0,a0 eta1 a.

4.Transformation de variable

Lorsque la corrélation linéaire entrexetyest mauvaise, l"ajustement d"une droite d"équationyaxb

au nuage de points n"est pas bon. En observant le nuage de points, on peut alors penser à d"autres types de

relation entrexety; par exempleye x,yalnxb, ... Par transformation d"une des variablesxouy, ou

des deux variables, on peut se ramener à une relation affine entreles variables transformées et utiliser les

résultats précédents. Sur ce sujet, voir les exemples traités en cours et les exercices2 à 4.

Stéphane Ducay4

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5.Exercices

Exercice 1.

Dans la série statistique suivante,xreprésente le nombre de jours d"exposition au soleil d"une feuilleety

le nombre de stomates aérifères au millimètre carré : x2 4 8 10 24 40 52 y6 11 15 20 39 62 85

1) Représenter graphiquement le nuage de points correspondant.

2) Déterminer une équation de la droite de regression deyenx.

3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entrexety. Commenter le résultat.

4) Quel nombre de stomates peut-on prévoir après 30 jours d"exposition au soleil ? après 60 jours ?

Exercice 2. (D"après partiel de novembre 2007)

Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français :

Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Rang de l"année :x

i0 1 2 3 4 5 6

Montant d"achats en millions d"euros :y

i75 260 820 1650 2300 4000 5300

1) a) Préciser la population, la(es) variable(s) étudiée(s) et lataille de l"échantillon.

b) Donner une équation de la droite de régression deyenx.

c) Donner le coefficient de corrélation linéaire entrexety. Interpréter le résultat obtenu.

d) Quelle prévision du montant d"achats peut-on faire pour l"année 2005 ? Est-elle fiable ?

2) On considère la nouvelle variablezy

a) Déterminer une équation de la droite de régression dezenx, ainsi que le coefficient de corrélation

linéaire entrexetz. Interpréter le résultat obtenu. b) En déduire une expression deyen fonction dex, puis une prévision du montant d"achats pour l"année 2005.

3) A partir du tableau de données, le logiciel Excel propose un ajustement polynomial par l"équation

y130x

2100x68.

a) S"agit-il du même ajustement que celui obtenu dans le 2) ? Expliquer cette situation. b) Déduire de cet ajustement une prévision du montant d"achats pour l"année 2005.

4) Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7700 millionsd"euros. Lequel des trois ajustements

précédents vous parait-il le plus conforme à la réalité ? Jutifiervotre réponse.

Exercice 3. (D"après examen de mai 2013)

Les résultats numériques et les coefficients demandés seront donnés avec trois décimales.

Le tableau ci-dessous donne la fréquentation des lignes aériennes, en millions de passagers, entre la

France métropolitaine et les pays étrangers depuis 1980 (source INSEE).

Année 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2008

Rang de l"année :x

i0 5 10 15 20 25 28

Nombre de passager (en millions) :y

i21,9 26,4 36,9 44,7 67,0 82,0 97,9

On cherche à étudier l"évolution du nombre de passagersyentre la France métropolitaine et les pays

étrangers en fonction du rangxde l"année.

1) a) Représenter graphiquement la série statistiquex

i,yi.

b) Quelle(s) courbe(s) d"ajustement suggère cette représentationgraphique ? Justifier la réponse.

2) Un premier ajustement.

a) Donner une équation de la droite de régression deyenx(obtenue par la méthode des moindres

carrées).

b) Donner le coefficient de corrélation linéaire entrexety. Interpréter le résultat obtenu.

Stéphane Ducay5

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3) Un deuxième ajustement. On considère la nouvelle variablezlny.

a) Donner une équation de la droite de régression dezenx, et le coefficient de corrélation linéaire

entrexetz. Interpréter le résultat obtenu. b) En déduire une nouvelle expression deyen fonction dex.

c) En utilisant ce nouveau modèle, déterminer une estimationdu nombre de passagers pour l"année

2011.

d) Les compagnies aériennes prévoient que le pourcentage d"augmentation entre 2008 et 2011 sera de

30%. Cela est-il cohérent avec ce deuxième ajustement ?

Exercice 4. (D"après partiel de novembre 2009)

Le tableau ci-dessous donne les valeurs expérimentales du volumeVet de la pressionPd"un gaz.

Volume (en cm

3) :vi620 890 1013 1186 1454 1944 2313 3179

Pression (en Kg par cm

3) :pi6.7 4.3 3.48 2.644 1.997 1.35 1.1 0.7

D"après les lois de la thermodynamique de Laplace pour un gaz parfait, on a la relationPVC, oùet

Csont des constantes.

1) Préciser la population, la(es) variable(s) étudiée(s) et la taille de l"échantillon.

2) On considère les variablesXlnVetYlnP. Démontrer queYXlnC.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs expérimentales transformées : x ilnvi6,430 6.791 6.921 7.078 7,282 7,573 7,746 8,064 y ilnpi1,902 1,459 1,253 0,956 0,693 0,336 0,0950,357

3) Donner une équation de la droite de régression deyenx. Donner le coefficient de corrélation linéaire

entrexety. Interpréter le résultat obtenu.

4) En déduire, en justifiant, la valeur deet deC, puis une équation dePen fonction deV.

5) Déterminer une estimation de la pression du gaz pour un volume de 2000 cm

3, puis pour 4000 cm3.

Ces deux estimations sont-elles fiables ?

Exercice 5.

On sélectionne 12 personnes inscrites à un stage de formation. Avant le début de la formation, ces

stagiaires subissent une épreuve A notée de 0 à 20. A l"issue du stage, une épreuve B identique à la première

est aussi notée de 0 à 20. Considérant les deux variablesXnote de A etYnote de B, on a obtenu les

résultats suivants : stagiaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x i3 4 6 7 9 10 9 11 12 13 15 4 y i8 9 10 13 15 14 13 16 13 19 6 19

1) a) Représenter ces résultats par un nuage de points.

b) Quelle courbe d"ajustement ce nuage vous suggère-t-il ?

2) A partir des résulats obtenus, on a déterminé la droite de régression deyenx, ainsi le coefficient de

corrélation linéaire entrexety. On a obtenu l"équationy0,108x11,990 et le coefficientr0,101.

A partir de ces résultats, expliquer pourquoi l"ajustement n"estpas bon.

3) On décide d"éliminer les stagiaires 11 et 12, et donc de ne tenir compte que des stagiaires 1 à 10.

a) Déterminer une équation de la droite de régression deyenxpar la méthode des moindres carrés.

b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entrexety. Interpréter le résultat obtenu.

Exercice 6.

On a procédé à l"ajustement affine d"un nuage de points. Les équations obtenues sont les suivantes :

- droite d"ajustement deyenx:D:yx30 - droite d"ajustement dexeny:D :x1/4y60

1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire.

2) Calculer les moyennes arithmétiques de x et de y.

3) Calculer la covariance entrexetyet la variance dex, sachant que la variance deyest égale à 40.

Stéphane Ducay6

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