[PDF] Contrôle de mathématiques de 1ère S – Trinômes du second degré

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Contrôle de mathématiques de 1ère S - Trinômes du second degré et polynômes - 55 min

N°1 : 6 points

1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous.

2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous.

3) Écrire les trinômes du second degré ci-dessous sous forme factorisée.

N°2 : 3 points

Considérons le trinôme du second degré de la forme ax2bxc (a≠0).

3) Rappeler la formule donnant sa forme canonique.

4) Indiquer les différentes étapes de calcul permettant de passer de la forme initiale (ax2bxc) à la forme

canonique.

5) Écrire 3x25x-1 sous forme canonique.N°3 : 6 points

Soit le polynôme Jx=3x311x2-67x21.

1) Démontrer que 3 est une racine de Jx.

2) En déduire une factorisation de

Jx sous la forme x-3Kx où Kx est à déterminer.

3) Factoriser

Kx puis en déduire que Jx=3x-1x-3x7.

4) Résoudre l'équation

Jx=0.

5) Faire le tableau de signes de

3x-1x-3x7 puis résoudre l'inéquation Jx0.

N°4 : 5 points

Pour cet exercice, il est possible de réutiliser les résultats trouvés à l'exercice 1.

1) Résoudre l'équation 6x422x2=8.

2) Résoudre l'équation 9x4=12

x.

3) Résoudre l'équation

4x

3x22x5=7

3x1.

Contrôle de mathématiques de 1ère S - Trinômes du second degré et polynômes - 55 min

N°1 : 6 points

1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous.

2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous.

3) Écrire les trinômes du second degré ci-dessous sous forme factorisée.

N°2 : 3 points

Considérons le trinôme du second degré de la forme ax2bxc (a≠0).

3) Rappeler la formule donnant sa forme canonique.

4) Indiquer les différentes étapes de calcul permettant de passer de la forme initiale (ax2bxc) à la forme

canonique.

5) Écrire 3x25x-1 sous forme canonique.N°3 : 6 points

Soit le polynôme Jx=3x311x2-67x21.

1) Démontrer que 3 est une racine de

Jx.

2) En déduire une factorisation de

Jx sous la forme x-3Kx où Kx est à déterminer.

3) Factoriser

Kx puis en déduire que Jx=3x-1x-3x7.

4) Résoudre l'équation

Jx=0.

5) Faire le tableau de signes de

3x-1x-3x7 puis résoudre l'inéquation Jx0.

N°4 : 5 points

Pour cet exercice, il est possible de réutiliser les résultats trouvés à l'exercice 1.

1) Résoudre l'équation 6x422x2=8.

2) Résoudre l'équation 9x4=12

x.

3) Résoudre l'équation

4x

3x22x5=7

3x1.

Corrigé du contrôle de mathématiques de 1ère S - Trinômes du second degré et polynômes

N°1 :

1)

25x210x2=0 : =102-4×25×2=-1000 donc l'équation n'a pas de solution. S=∅.

9x24=12x ⇔ 9x2-12x4=0 : =-122-4×9×4=0 donc l'équation a une seule solution.

x0=-b

2a=--12

2×9=12

18=2

3. S={2

3}.

6x222x=8 ⇔ 6x222x-8=0 : =222-4×6×-8=6760 donc l'équation a deux solutions.

x1=-22- 676

2×6=-22-26

12=-48

12=-4 et x2=-b

2a=-22676

2×6=-2226

12=4 12=1

3. S={-4;1

3}.

2) On réutilise les résultats de la question 1).

25x210x20 :

0 donc 25x210x2 est positif (du signe de a=25) pour tout x de ℝ.

Comme de plus il n'y a pas de racine,

S=∅.

9x2412x ⇔ 9x2-12x40 : =0 donc

9x2-12x4 est positif (du signe de a=9) pour tout x

de ℝ. Comme de plus 2

3 est une racine, S=ℝ-{2

3}.

6x222x8 ⇔ 6x222x-80 :

0 donc 6x222x-8 est négatif (du signe opposé de a=6) entre les racines :

S=]-4;1

3[.

3) On réutilise les résultats de la question 1).

25x210x2 : 0 donc 25x210x2 n'est pas factorisable.

9x24-12x=9x2-12x4=3x-22 (égalité remarquable).

Pour ceux qui ne reconnaissaient pas l'égalité remarquable, il fallait faire : =0 donc 9x2-12x4=9x-2

32

(notons que 9x-2

32

=32x-2/32=[3x-2

3]2

=3x-22.

6x222x-8 : 0 donc

3 (=2×3x4x-1

N°2 :

1) et 2) voir l'exercice L fait en classe.

3) 3x25x-1 : =52-4×3×-1=37 donc 3

[x5

2×32

-37

4×32]=3[x5

62

-37 36].

N°3 :

1)

J3=3×3311×32-67×321=3×2711×9-20121=8199-20121=201-201=0 :

3 est donc une racine de

Jx. Jx peut donc s'écrire sous la forme x-3Kx. 2)

Kx est un polynôme de degré 3-1=2. Kx peut donc s'écrire sous la forme ax2bxc où a, b et

c sont trois réels à déterminer. On a d'une part : Jx=3x311x2-67x21 .

Mais on a aussi Jx=x-3Kx=x-3ax2bxc=ax3b-3ax2c-3bx-3c.

En identifiant les coefficients des termes de même degré, on obtient : {a=3 b-3a=11 c-3b=-67 -3c=21. La première équation donne a=3 et la quatrième donne c=21

-3=-7.En remplaçant a par 3 dans la deuxième équation, on obtient : b-3×3=11 ⇔ b-9=11 ⇔ b=20.

Ainsi, Kx=3x220x-7 et donc Px=x-33x220x-7.

3) Factorisons Kx=3x220x-7. =202-4×3×-7=40084=4840 donc

Kx a deux racines :

x1=-20- 484

2×3=-20-22

6=-42

6=-7 et x2=-20484

2×3=-2022

6=2 6=1 3.

La forme factorisée est donc

Ainsi, Jx=x-3Kx=x-3x73x-1=3x-1x-3x7.

4)

Jx=0 ⇔ x-33x-1x7=0 : un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul,

l'ensemble des solutions de l'équation est donc : S= {-7;1 3;3}.

5) Le tableau de signes est donné ci-dessous.

x-∞-71

33+∞

x-3---0+

3x-1--0++

x7-0+++

Jx0 ⇔ x-33x-1x70 : d'après le tableau de signes ci-dessus, on a : S=]-7;1

3[∪]3;∞[.

N°4 :

1) Posons X=x2; on a alors : 6x422x2=8 ⇔

6X222X=8 ⇔

{X=-4 ou X=1

3 (cf. exercice 1).

Or X=-4 ⇔ x2=-4 et cette équation n'a pas de solution puisque un carré est toujours positif.

De plus X=1

3 ⇔ x2=1

3 ⇔

{x= 1 3 ou x=- 1

3. Comme

1 3= 1 3=13= 3

3, on en déduit que l'ensemble des

solutions de l'équation 6x422x2=8 est S= 3

3;3

3

2) Posons X=

x; on a alors 9x4=12x ⇔ 9X24=12X ⇔ X=2

3 (cf. exercice 1) ⇔ x=2

3 x=4

9 ⇔ x=4

9. L'ensemble des solutions de l'équation 9x4=12x est donc S={4

9}.

3) Cherchons tout d'abord les valeurs interdites, c'est à dire celles qui annulent les dénominateurs.

Pour

3x22x5 : =22-4×3×5=4×60=-560 donc 3x22x5 n'a pas de racine.

Pour

3x1 : 3x1=0 ⇔ x=-1

3. Finalement la seule valeur interdite est -1

3.

Pour tout

x≠-1

3, on a :

4x

3x22x5=7

3x1 ⇔ 4x3x1=73x22x5

⇔ 12x24x=21x214x35 ⇔ 9x210x35=0. =102-4×9×35=-11600 donc l'équation n'a pas de solution. :

S=∅.

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