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Mathématiques

(MPSI) 1

Nombr esComplexes et trigonométrie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 L"ensemble des nombres complexes

13

1.1 Définitions et généralités

14

1.2 Interprétation géométrique des nombres complexes

16

2 Module et argument17

2.1 Module

17

2.2 Ensemble des nombres complexes de module 1 et argument

19

2.3 Exponentielle complexe

22

3 Applications à la trigonométrie

23

3.1 Quelques rappels de trigonométrie

23

3.2 Formules trigonométriques

25

3.3 Linéarisation

27

3.4 Transformation decos(nx)etsin(nx).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Transformation de Fresnel

28

3.6 Sommes de cosinus et de sinus

28

4 Résolution d"équations dansC28

4.1 Equation du second degré

28

4.2 Racinesn-ième d"un nombre complexe (n2N?). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Géométrie plane32

5.1 Applications géométriques

32

5.2 Transformation du plan

33
2

Fonctions usuelles .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1 Rappels36

1.1 Relation d"ordre et inégalités

37

1.2 Composition, monotonie et majoration

39

1.3 Dérivation

40

1.4 Bijections et fonctions réciproques

41

2 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

42

2.1 La fonction logarithme népérien

42

2.2 La fonction exponentielle

43

2.3 Les fonctions exponentielle et logarithme de basea.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Fonctions puissances

46
1

3 Étude d"une fonction réelle47

3.1 Périodicité, parité et symétrie

48

3.2 Limites et croissances comparées

49

3.3 Branches infinies

50

4 Fonctions circulaires réciproques

53

4.1 La fonction arcosinus

53

4.2 La fonction arcsinus

54

4.3 La fonction arctangente

55

5 Fonctions hyperboliques

56

5.1 Fonctions hyperboliques

56

6 Fonctions à valeurs complexes

58

6.1 Généralités

58

6.2 La fonctiont7!ej(t).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Ensembles, applications, r elationsd"équivalence et r elationsd"ordr e60

1 Logique61

1.1 Assertions

61

1.2 Ensemble, appartenance et inclusion

63

1.3 Prédicats et quantificateurs

64

1.4 Méthodes de démonstration

65

1.5 Principe de récurrence

66

2 Les ensembles68

2.1 Sous-ensembles d"un ensemble

68

2.2 Opérations dansP(E).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Produit cartésien

70

3 Applications71

3.1 Généralités

71

3.2 Image directe et image réciproque

74

3.3 Applications injectives, surjectives et bijectives

75

3.4 Application réciproque

77

3.5 Familles

78

4 Relations binaires79

4.1 Généralités

79

4.2 Relation d"équivalence

79

4.3 Relation d"ordre

80
4

Primitives .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1 Généralités82

1.1 Définition

82

1.2 Primitives usuelles

83

2 Méthodes de calculs84

2.1 Intégration par partie

84

2.2 Changement de variables

85

2.3 Calculs classiques

87
5

Équations dif férentielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1 Généralités90

1.1 Définition et exemples

90

1.2 Équations différentielles linéaires

92

2 Équation différentielle linéaire d"ordre 1

93

2.1 Généralités

93

2.2 Résolution des équations différentielles linéaires homogènes d"ordre 1

93

2.3 Équation différentielle linéaire d"ordre 1

94

2.4 Equation avec condition initiale

96

2.5 Raccordement

96
2

2.6 Méthode d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3 Équation différentielle linéaire d"ordre 2 à coefficients constants

97

3.1 Équation homogène

97

3.2 Équations avec second membre

100

3.3 Equation avec des conditions initiales

102
6 Nombr esentiers, sommes et pr oduits.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1 Les ensemblesNetZ103

1.1 Généralités

103

1.2 Division euclidienne dansN.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.3 Principe de récurrence

105

2 Suites classiques105

2.1 Suites arithmétiques

105

2.2 Suites géométriques

106

2.3 Suites artithmético-géométriques

106

2.4 Suites récurrentes linéaires d"ordre2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3 Calculs de sommes et produits

108

3.1 Les signes

åetÕ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.2 Sommes classiques

109
7

Systèmes linéair es.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1 L"ensembleKp114

1.1 Définitions

114

1.2 Opérations surKp.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2 Systèmes linéaires116

2.1 Définitions

116

2.2 Structure de l"ensemble des solutions

117

2.3 Écriture matricielle des systèmes

118

2.4 Systèmes diagonaux, triangulaires et echelonnés

118

3 Méthode du pivot de Gauss

121

3.1 Systèmes équivalents et opérations

122

3.2 Méthode du pivot de Gauss

122

3.3 Retour sur le résolution des systèmes échelonnés

124
8

Ensemble des nombr esréels .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1 Le corps des nombres réels

125

1.1 Introduction et définition

125

1.2 Borne inférieure et borne supérieure

125

2 Propriétés des réels127

2.1 Inégalités et valeur absolue

127

2.2 Droite numérique achevée

127

2.3 Intervalles deR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.4 Partie entière et nombres décimaux

128

2.5 Densité

130
9

Suites numériques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1 Généralités sur les suites réelles

131

1.1 Définitions

131

1.2 Opérations sur les suites

133

2 Convergence134

2.1 Généralités

134

2.2 Convergence et suite extraite

136

2.3 Inégalités

137

2.4 Construction de suite à limite donnée

139
3

2.5 Opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.6 Convergence monotone

141

2.7 Suites adjacentes

142

3 Relations de comparaison

143

3.1 Définition

143

3.2 Propriétés

144

3.3 Croissances comparées et équivalents classiques

145

4 Extension au cas des suites complexes

146

4.1 Définition et généralités

146

4.2 Convergence

147

4.3 Popriétés des suites convergentes

147

4.4 Opérations

147
10

Structur esalgébriques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

1 Groupes149

1.1 Lois de composition interne

149

1.2 Itérés d"un élément

151

1.3 Groupes

152

2 Anneaux155

2.1 Définitions

155

2.2 Règles de calculs

156

2.3 Corps

157
11

Arithmétique de Z.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

1 Divisibilité dansZ159

1.1 Diviseurs et multiples

159

1.2 Division euclidienne

160

1.3 Congruences dansZ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2 Plus grand commun diviseur (PGCD)

161

2.1 Généralités

161

2.2 Algorithme d"Euclide

162
quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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