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Lycee Louis le grand Annee scolaire 2008/2009

Mathematiques Superieure MPSI

Semaine 7

26 novembre 2009

1 Programme de Colles : Chapitre 8. Limites et continuite.

On considere un intervalleIdeRetf:I!R.

1.1 Notions liees a l'ordre.

Denition de majore, minore, monotone, periodique, lipschitzien. 1.2

Etude locale.

Limite d'une fonction, caracterisation sequentielle, operations sur les limites. Limites et inegalites,

les applications monotones possedent des limites a gauche et a droite.

1.3 Relations de comparaison.

Denitions, notations classiques. Comparaison des fonctions de reference, croissances com- parees. Application des equivalents a la recherche de limites.

1.4 Applications continues.

Denition, prolongement par continuite, operations sur les applications continues. Theoreme des valeurs intermediaires, image continue d'un segment, bijections continues. La reciproque d'une bijection continue est continue.

Uniforme continuite, theoreme de Heine.

2 Petits

Exercice 1Etudes de continuite, avec des".

1.h:8 :R!R Q3pq 7!1q

Q63t7!0oupetqsont premiers entre eux.

2.f:8 :R!R Q3pq 7!pqp

2+q2+2qQ63t7!t1+t2oupetqsont premiers entre eux.

Solution.

1.RnQdense dansR, etf(x)6= 0 pourx2Q, doncfn'est pas continue aux points rationnels.

Par contrefest continue aux points irrationnels. Soitx2RnQet" >0 xes, etq2N tel que 1=q < ". Dans l'intervalle [x1;x+ 1] il n'y a qu'un nombre ni de rationnelsp0=q0 tels que 1=q0>1=q. Sip0=q0est le rationnel le plus proche dexqui verie 1=q0>1=q, =jxx0j=2 convient pour montrer la continuite enx.

2. M^eme demarche.

Exercice 2

Soitfn: [0;1]!Rdenie parfn(x) =Pn

1xk1. Montrer quefn(x) = 0 a une unique solution

x n, puis determiner limxn. Solution.Croissance stricte et theoreme des valeurs intermediaires. "Convergence uniforme»: quel que soitn,xn3=4 etjxn1=2j Kxnn.

Exercice 3

1. DeterminerffcontinuesR!Rjfadmet 1 etp2 pour periodesg.

2. Soitf;g:R!Rcontinues periodiques. Que peut-on dire def+g?

Solution.

1. L'ensemble des periodes defest un sous-groupe additif deR.p2=2Qdont ce sous-groupe est

dense. La fonctionfest donc constante sur un sous-ensemble dense deR, et par continuite sur toutR. Reciproquement, toute fonction constante convient. 2.

Exercice 4

x7!sin1x (x6= 0) n'a pas de limite en 0. Qu'en est-il dex7!xsin1x Solution.Trouver deux suites (un) et (vn) qui convergent vers 0 telles que les limites def(un) etf(vn) soient dierentes.

Exercice 5

1. Soitf:R+!Rcroissante telle queg:x7!f(x)x

soit decroissante. Montrer quefest continue.

2. Soitf:R+!Rcroissante. Montrer que f est continue si et seulement si il existeg, une

fonction continue, telle quef=gsoit decroissante.

Solution.

Exercice 6

Determiner les automorphismes continus deR.

Solution.Pour des raisons algebriquesfjQ= IdQ, donc, par continuite,f= IdR.

Exercice 7

Soitf: [0;1]![0;1]. Montrer que

1.fcontinue =)fa un point xe.

2.fcroissante =)fa un point xe.

3. contre-exemple dans le cas decroissante.

Solution.

1.x7!f(x)xet TVI.

2. Borne sup. defxjf(x)xg.

3.fj[0;1[= 1 etf(1) = 0.

Exercice 8

Soitfun fonctionk-lipschitzienne. Montrer quefk2R+jf k-lip.gest de la forme [A;+1[. Solution.Le seul point delicat, c'est de montrer que l'intervallefk2R+jf k-lip.gest ferme. Soit (x;y)2R2quelconque, on aura alors8k > A;jf(x)f(y)j kjxyj, et donc par passage a la limite,jf(x)f(y)j Ajxyj.

Exercice 9

1. Soitf:A!R, ouAR. Montrer quef(A) est un segment =)fest uniformement

continue.

2. Soitf:R!Runiformement continue. Montrer que9a;b2R=8x2Rjf(x)j ajxj+b.

3. Montrer qu'une fonction continue ayant des limites nies en +1et1est uniformement

continue et bornee.

Solution.

1. 2. Ecrire l'uniforme continuite. Prendre une subdivision de pasde [x;y], on obtientjf(x) f(y)j "+" jxyj+jf(0)j.

Exercice 10

f:I!Rmonotone. Montrer quefcontinue equivaut af(I) est un intervalle. Solution.La monotonie entra^ne l'existence de limx+fet limxf, de plusf(I) est un intervalle, il n'y a donc"pas de trous», et egalite des limites a droite et a gauche.

Exercice 11

Continuite deF(x) = supt2[x;x+a]f(t), ouf:R!Rest continue eta >0.

Solution.Le sup est-il atteint?

Exercice 12

Soitf:R!Rcontinue telle que limjxj!+1f= 0. Montrer quefest bornee et que son sup est atteint.

Solution.

Ecrire la limite en1avec"= 1=2 et utiliser la compacite de l'intervalle [A;A] restant pour conclure, en remarquant que le sup ne peut pas ^etre atteint sur le complementaire (quitte a remplacer"=Supjfj=2).

Exercice 13

SoitIun intervalle etf:I!Rcontinue telle quef2= 1. Montrer quef= 1 ouf=1. Solution.Raisonner par l'absurde et appliquer le TVI pour obtenir un point d'annulation def.

Exercice 14

Soitf: [0;1[!Runiformement continue. Montrer qu'elle se prolonge par continuite en 1.

3 Gros

Exercice 15

Soitf2 C0([0;1];R) veriantf(0) =f(1). Montrer que pour toutn2N, l'equationf(x+1n f(x) admet une solution. Est-ce encore le cas sin =2N.

Solution.Considererx7!xsin2(nx)sin

2(n).

Exercice 16

Etudes de continuite, avec des".

1. Soitfla fonction caracteristique deQ:f:8

:R!R

Q3t7!1

Q63t7!0. Montrer quefest discontinue

en tout point

2. Trouver une fonctionfperiodique non constante n'admettant pas de plus petite periode

strictement positive.

3. Trouver une fonctionfperiodique non bornee.

4. Trouver une fonction bornee surRqui n'atteint ses bornes sur aucun intervalle compact

d'interieur non vide.

Solution.

1.QetRnQsont dense dansR.

2. La fonction ci-dessus admet tout rationnel pour periode.

3.f:p=q7!qett62Q7!0.

4.f:p=q7!(1)q(q1)=qett62Q7!0.

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