CONTINUITÉ
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26 mars 2009
Blague du jour :
Bientˆot (dans 4ans au moins) vous serez ingenieur, peut ˆetre inge´enieur informaticien. V´erifier sur la liste ci-dessous si vous avez le profil, les types d"ing´enieurs en informatique sont: •L"ing´enieur DISQUE DUR : il se rappelle tout, POUR TOU-JOURS.
•L"ing´enieur CD-ROM : il va toujours plus vite avec le temps. •L"ing´enieur RAM : il oublie tout de vous, d`es le moment o`u vous lui tournez le dos. •L"ing´enieur WINDOWS : Tout le monde sait qu"il ne peut pas faire une chose correctement, mais personne ne peut s"en passer de ses services. •L"ing´enieur ECONOMISEUR D"ECRAN : Il est bon `a rien, mais au moins, il est marrant !Math´ematicien du jourHolder
Otto Ludwig H¨older (1859-1937) est un math´ematicien allemand. On le connaˆıt no-tamment pour : l"in´egalit´e de H¨older; le th´eor`eme de Jordan-H¨older; le th´eor`eme de
H¨older; la moyenne de H¨older; la condition de H¨older.Continuit´e et d´erivabilit´e globales
Exercice 1. Soientf,g: [a,b]-→Rcontinues, telles que?x?[a,b],?y? [a,b]tel quef(x) =g(y). Montrer qu"il existex?[a,b]tel quef(x) =g(x). Exercice 2. Soitf:]0,+∞[-→Rcroissante telle queg: ]0,+∞[-→R x?-→f(x) xest d´ecroissante. Montrer quefest continue. Exercice 3. Soitf:R-→Rcroissante telle que?x?R, f◦f(x) =x. Montrer que : ?x?R, f(x) =x.Exercice 4. On pose :f(x) =x2?
2 + sin?1x2??
six?= 0 = 0six?= 0 Montrer quefadmet un minimum strict en 0 maisfn"est croissante sur aucun intervalle de la forme[0,a].Page 1 / 8
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www.chez.com/myismailExercice 5. On pose :f(x) =x
1 +xsin?1x?
= 0six= 0 Montrer quefest d´erivable sur[0,1], strictement croissante mais que l"´equation f ?(x) = 0admet une infinit´e de solutions. Exercice 6. Soitf: [a,b]→Rde classeC1telle quef?(x)?= 0,?x?[a,b]. Montrer que strictement monotone. Exercice 7. Soitf: [a,b]-→Rd´erivable telle quef(a) =f(b) = 0, etf?(a)>0,f?(b)>0. Exercice 8. Soitf: [0,1]-→[0,1]d´erivable telle quef◦f=f. Montrer quefest constante ou bienf=id[0,1].Exercice 9. Th´eor`eme de Rolle `a l"infini.
Soitfune application d´erivable deRdansRqui admet la mˆeme limite en-∞et en +∞montrer que l"´equationf?(x) = 0admet au moins une solutionExercice 10. Continuit´e uniforme.
1) Soitf: [0,+∞[-→Rune fonction continue ayant une limite finie en+∞.
a) Montrer quefest born´ee. b) Montrer quefadmet un maximum ou un minimum absolu, mais pas n´ec´essairement les deux. c) Montrer quefest uniform´ement continue.2) SoitIun intervalle born´e etf:I-→Runiform´ement continue. Montrer que
f(I)est un intervalle born´e.3) Soitf:R-→Runiform´ement continue. Montrer qu"il existea,b?Rtels que :
Indication : Prendreε= 1et majorer|f(x)-f(0)|.
4) Soientf:D-→Runiform´ement continue born´ee etg:R-→Rcontinue. Montrer
queg◦fest uniform´ement continue.5) Soitf:R-→Runiform´ement continue telle quelim+∞f(n) = +∞. Montrer que
lim +∞f(x) = +∞.Page 2 / 8
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www.chez.com/myismailExercice 11.´Etude d"une suite implicite.
Soita?]0,1[,(n?N?on se propose d"´etudier les solutions des ´equationsfn(x) = 0o`u f n(x) = 2xn-xn-1-a.1) Montrer que?n
n+ 1? n≥1est croissante. 2) ´Etudierfnsur]0,1[, en d´eduire que l"´equationsfn(x) = 0admet une unique solution dans]0,1[que l"on noteraxn.3) Dire pourquoi
1 4) ´Etudier le signe defn(xn+1)en deduire que(xn)est croissante puis qu"elle converge vers une limite finiel.5) Montrer quel= 1.
6) En d´eduire quelim+∞xnn=a.
7) Montrer que?n?N?on a :xnn≥a.
nbn-1. a10) En d´eduire que :xn≂+∞n⎷
a.Exercice 12. Injectivit´e locale.
Soitf:R-→Rd´erivable eta?Rtel quef?(a)?= 0.1) Montrer qu"il existe un voisinageVdeatel que?x?V\ {a}, f(x)?=f(a).
2) Sif?est continue au pointa, montrer qu"il existe un voisinageVdeatel que
f |Vsoit injective. Exercice 13. le TVI, l"injection et la continuit´e. Soitf:R-→R. On dit quefv´erifie la propri´et´e des valeurs interm´ediaires si ?a,b?Raveca < b,?ycompris entref(a)etf(b),?x?[a,b] tel quef(x) =y.1) Montrer que sifv´erifie la propri´et´e des valeurs interm´ediaires et est injective,
alors elle est continue.2) Trouver une fonction discontinue ayant la propri´et´e des valeurs interm´ediaires.
Exercice 14. Propri´et´e des valeurs interm´ediaires pourf?.Soitf: [a,b]-→Rd´erivable.
1) On suppose que :?x?[a,b], f?(x)?= 0.
Montrer quef?est de signe constant.
2) Dans le cas g´en´eral, montrer quef?([a,b])est un intervalle.
Exercice 15. Th´eor`eme des accroissement finis g´en´eralises. Soientf,g: [a,b]-→Rcontinues d´erivables sur]a,b[telles que :Page 3 / 8
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www.chez.com/myismail Exercice 16.´Etude des extremums et z´eros d"une suite de fonctions.Pourx?Retn≥2on posefn(x) =xn+x+ 1.
1) Etudier le signe def?2nsurR.
2) En d´eduire quef2natteint son minimum surRen
a n=-2n-1? 1 2n.3) On posef2n(an) =mn, montrer que :-1< an<0etmn>0.
4) En d´eduire les limites deanetmn.
5) Pour tout r´eelx >0tel quex?=1
2, on pose :f(x) =-2x-1?
1 2x.Trouver une fonctiongtelle quef?(x) =f(x)g(x)
(2x-1)2. 6) ´Etudier le signe degen d´eduire quefest d´ecroissante.7) En d´eduire que(an)est monotone.
8) ´Etudierf2n+1, en d´eduire que l"´equationf2n+1(x) = 0admet une seule solution dansRque l"on noterabn, v´erifier que-1< bn<-1 2.9) Calculerf2n+1(bn+1), en d´eduire que(bn)est d´ecroissante puis qu"elle converge.
10) Montrer quelim+∞bn=-1, en d´eduire quelim+∞b2n+1n= 0.
Exercice 17. D´erivabilit´e uniforme.
Soitf: [a,b]-→Rde classeC1.
D´emontrer que :?ε >0,?δ >0tel que?x,y?[a,b],0<|x-y|< δ=?????f(x)-f(y)
x-y-f?(x)????Exercice 18.´Etude d"une suite r´ecurrente.
On posex0=3
2xn+1=xn(2-ln(xn)),?n?N
1) Montrer que(xn)est bien definie.
2) Montrer que(xn)est croissante.
3) En d´eduire que(xn)est convergente, preciser sa limite.
4) Montrer que :
?(x,y)?[2,e]2:???? ln(y)-ln(x)-y-x x????4|xn-e|2.
6) En deduire les 5 chiffres apr´es la virgule dee.
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www.chez.com/myismailExercice 19.´Etude d"une suite implicite.
1) Montrer que pour toutn≥2, l"´equation :x+x2+···+xn= 1admet une solution
unique dans]0,1[que l"on noteraxn. Indication : On pourra penser `a utiliser le TVI sur[0,1]pour la fonctionfn(x) = x+x2+···+xn-1.2) Montrer que(xn)est monotone puis convergente.
3) Calculerx2. Montrer quelim+∞xnn= 0, en d´eduirelim+∞xn.
Exercice 20.´Etude d"une suite implicite. Pour tout entiernet r´eelxon posefn(x) = x+ 2x2+ 3x3+...+nxn-1.1) Montrer que l"´equationfn(x) = 0admet une solution unique dans[0,1]que l"on
noteraxn.2) Calculerfn+1(xn), en d´eduire que(xn)est d´ecroissante puis qu"elle converge.
3) Montrer que pourxdiff´erent de 1 on a :
f n(x) =nxn+2-(n+ 1)xn+1+x (x-1)2-14) Calculerx2, puis en d´eduire les limites des suites suivantes(xnn),(nxnn),(xn).
Exercice 21. Distance `a la corde.
Soitf: [a,b]-→Rde classeC2.
1) On suppose quef(a) =f(b) = 0. Soitc?]a,b[. Montrer qu"il existed?]a,b[tel
que : f(c) =-(c-a)(b-c)2f??(d).
Indication : Consid´ererg(t) =f(t) +λ(t-a)(b-t)o`uλest choisi de sorte que g(c) = 0.2) Cas g´en´eral : Soitc?]a,b[.
Montrer qu"il existed?]a,b[tel que :
f(c) =b-c b-af(a) +c-ab-af(b)-(c-a)(b-c)2f??(d).3) En d´eduire la distance de la corde `a la courbe en tout point, puis une majoration
de cette distance.Exercice 22. Cordes de longueur1n.
Soitf: [0,1]-→Rcontinue telle quef(0) =f(1).
1) Montrer qu"il existex??
0,1 2? tel quef(x) =f? x+12?2) Pourn?N,n≥2, montrer qu"il existex??
0,1-1 n? tel quef(x) =f? x+1n?3) Trouver une fonctionftelle que :?x??
0,3 5? ,f(x)?=f? x+25?4) Montrer qu"il existea >0tel que :
?b?]0,a],?x?[0,1-b]tel quef(x) =f(x+b).Page 5 / 8
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www.chez.com/myismailExercice 23. Th´ero`eme de Rolle successif.
1) soitn?N?,(a,b)?R2tel quea < betgde classeCnsur[a,b]qui s"annule au
moinsn+ 1fois sur[a,b], montrer alors queg(n)s"annule au moins une fois sur [a,b]. Indication :Penser `a utiliser le th´eor`eme de Rolle plusieurs fois.2) Soitn?N?a1< a2< .... < andes nombres re´els deux `a deux distincts etfde
classeCnsur[a1,an]qui s"annule sur tous lesai, montrer que : n!n k=1(x-ak). Indication on pourra fixerxet utiliser (1) pour la fonctiong(t) =f(t)-An? k=1(t- a k)avecAnombre r´eel choisi tel que :g(x) = 0. Exercice 24.´Ecart `a un polynˆome interpolateur. Soitf:R-→Rde classeCn,a1,...,annpoints distincts dansR, etPle polynˆome de Lagrange de degr´e inf´erieur `an-1, prenant les mˆemes valeurs quefaux pointsai, on dit qu"il interpollefaux pointsai. On poseQ(x) =1 n!n i=1(x-ai). Montrer que :?b?R,?c?Rtel quef(b) =P(b) +Q(b)f(n)(c) Indication : Consid´ererg(t) =f(t)-P(t)-λQ(t)o`uλest choisi de sorte queg(b) = 0.Exercice 25. Polynˆomes de Legendre.
On posef(t) = (t2-1)n.
1) Montrer que :?k? {0,...,n-1}, f(k)(1) =f(k)(-1) = 0.
2) Calculerf(n)(1)etf(n)(-1).
3) Montrer quef(n)s"annule au moinsnfois dans l"intervalle]-1,1[.
Exercice 26. R`egle de l"Hospital.
Soientf,g: [a,b]-→Rd´erivables avec :?x?]a,b[, g?(x)?= 0.1) Montrer qu"il existec?]a,b[tel que :f(b)-f(a)
g(b)-g(a)=f?(c)g?(c). Indication : Appliquer le th´eor`eme de Rolle `af-λg, o`uλest un r´eel bien choisi.2) En d´eduire que silima
+f ?(x) g?(x)=l, alors lim a+f(x)-f(a) g(x)-g(a)=l(R`egle de l"Hospital).3) Application : d´eterminerlimx0+cosx-ex
(x+ 1)ex-1.Exercice 27. TAF dansC. Soitf:R-→C
t?-→eit.1) Montrer quefest de classeC1. Calculer sa fonction d´eriv´ee .
2) Montrer quefne v´erifie pas leTAF
Convexit´e
Toutes les fonctions consid´er´ees dans ce qui suit sont de classeC2.Page 6 / 8
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www.chez.com/myismailExercice 28. Soientx1,x2,...,xn>0.
Montrer que :x1
x2+x2x3+···+xnx1≥n.Exercice 29. Soitf:R-→Rconvexe.
Montrer que l"on a :
- Soitfcroissante surR. - Soitfd´ecroissante surR. - Soit il existea?Rtel quefest d´ecroissante sur]-∞,a], puis croissante sur[a,+∞[.Exercice 30..
1) Soitf:R+-→Rconvexe et born´ee. Montrer quefest d´ecroissante.
2) Soitf:R-→Rconvexe et born´ee. Montrer quefest constante.
g(x)etf(1) =g(1).Montrer que :f=g
Exercice 32. Soitf:R-→Rconvexe telle queCfadmet une asymptote d"´equation y=mx+pen+∞.Montrer queCfest au dessus de cette asymptote.
Exercice 33. Soitf:R-→Rconvexe d´erivable.Montrer quef?est continue.
1) Etudier l"existence des limites (dansR? {?ı}) en+ıdef(x),f?(x),f(x)
x.2) Mˆeme question pour les limites en-ıdef(x),f?(x), etxf?(x).
Exercice 35. Soitf: [a,b]→Rcontinue telle que :?x,y?[a,b], f?x+y2? f(x) +f(y)2. Montrer quefest convexe.
Exercice 36. Soitf: [a,b]-→[c,d]convexe, bijective, croissante. u n+1=un+vn 2 v n+1=f-1?f(un) +f(vn) 2? Montrer que(un)et(vn)convergent vers une mˆeme limite.Exercice 37. Soitf:R-→R?+.
Montrer que :lnfest convexe?? ?α >0,fαest convexe.Page 7 / 8
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www.chez.com/myismailExercice 38..
1) Soitf:R-→Rconvexe d´erivable.
Montrer quep= lim+∞(f(x)-xf?(x))existe.
2) On supposepfini. En utilisant le fait quef(x)-xf?(x)est born´ee au voisinage
de+∞, montrer quef(x) xetf?(x)admettent une mˆeme limitemfinie en+∞.3) Montrer alors quelim+∞f(x)-mx-p= 0.
Exercice 39.´Etant donn´e une fonctionfconvexe surRet une fonctiongconvexe et croissante surR, montrer queg◦fest convexe. Exercice 40. Soitf: [0,+∞[-→Rdeux fois d´erivable telle quelim+∞f(x) =f(0). Montrer qu"il existec?]0,+∞[tel quef??(c) = 0. Exercice 41. Soitf: [0,+∞[-→[0,+∞[concave.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] théorème al kashi exercice
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