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MPSI 1

Mathématiques

Colle no11

Semaine no13

-Fonctions continues : définitions équivalentes : séquentielles ou pas. -Opérations sur les fonctions continues. -Prolongement par continuité. decon a encore :f(x)Çg(x) (théorèmes d""inertie» et de "préservation des inégalités»). -Théorème des valeurs intermédiaires (Bolzano). -Image d"un intervalle par une application continue (Bolzano). Si les démonstrationscomplètesdes théorèmes ne sont pas exigibles, il est forte- ment recommandé de connaître les étapes de ces démonstrations.

Exemples de sujets

prolongements par continuité. Exercice 1Soitkun nombre réel. Démontrer que l"équation lnxÅxAEka une solu- tion unique dansR?Å. Exercice 2Soitf: [0,Å1[!Rcontinue et admettant une limite`2Rdistincte de f(0). Montrer quefprend toutes les valeurs dans ]f(0),`[. Exercice 3Soientfetgcontinues sur [0,1] et à valeurs dans [0,1]. Montrer quef a un point fixe. On suppose que :f±gAEg±f. Montrer que si®est un point fixe defalorsg(®) est aussi un point fixe def. Soit E l"ensemble des points fixes def. Montrer que E a un plus petit (et un plus grand élément), on pose :®AEminE et

¯AEmaxE. Montrer quef¡gs"annule sur [0,1].

Exercice 4Soitf:R!R, continue et (strictement) décroissante. Montrer quefa un unique point fixe. Exercice 5Soientfetg, continues sur [a,b] telles que :f([a,b])½g([a,b]). En dé- duire qu"il existecdans [a,b] tels quef(c)AEg(c). Exercice 6Continuitédef(x)AEbxcsin(x)surR.Mêmequestionavecg(x)AEbxcsin(¼x). Exercice 7Prolongement par continuité def(x)AEsin(x)sin¡1 x

Exercice 8Nombre de solutions de ex¡x¡2AE0.

1 Exercice 9Prolongement par continuité dex7!tan(x) x. Exercice 10Prolongement par continuité dex7!ln(cos(x)) x2. Exercice 11Étudier la continuité defdéfinie surRpar f(x)AE(x¡bxc)(1¡x¡b1¡xc) Exercice 12Déterminer les applicationsfdeRdansRcontinues en 1 telles que f(x)AE¡f(x2). Exercice 13Soitfcontinue sur [0,1], telle quef(0)AEf(1). Démontrer que pour toutnentier supérieur ou égal à 1, il existe®dans [0,1] tel quef¡®Å1 n

¢AEf(®).

Exercice 14Soitfla fonction définie surRparf(x)AE0 sixest irrationnel etf(x)AE 1 qsip qest une fraction irréductible représentant le rationnelx. Démontrer quefest continue en toutx0irrationnel et non continue en toutx0rationnel. Exercice 15Existe-t-ilfcontinue surRtelle quef(Q)½RàQetf(RàQ)½Q? Exercice 16Soitfune fonction continue de [0,1] dans lui-même.

1.Démontrer

8n2N?,9an2[0,1],f(an)AEann

la suite (an)n¸1. Exercice 17Cours :fest continue et bijective sur un intervalle I, que peut-on dire defet def¡1? Exercice 18Retrouver l"énoncé1dont le corrigé suit (je l"ai perdu depuis quatre ans). des prolongements par continuité.

Exercice 1Théorème de bijection.

Exercice 2Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires. Exercice 3Appliquerjudicieusementle théorème des valeurs intermédiaires. Exercice 4Tthéorème des valeurs intermédiaires généralisé.

Exercice 5Valeurs intermédiaires.

1. perdu!

2 Exercice 6Distinguer la continuité enxentier ou non entier.

Exercice 7Limite de référence.

Exercice 8Théorème de bijection.

Exercice 9Limite de référence.

Exercice 10Angle moitié et limite de référence, par exemple. Exercice 11Distinguer la continuité enxentier et non entier.

Exercice 12SixÈ0,x

1

2nconverge.

Exercice 13Vérifier que lesf

³n¡k

n ¡f

³n¡1¡k

n n"ont pas tous le même signe. Exercice 14p0,q00 etnentiers,q06AE0 etnÈ0 alorsp0 q0Å p2 nest irrationnel. Soit "È0, le nombre de rationnelsp qcontenus dans un intervalle donné tels queq·1 est fini.

Exercice 15Sifexiste étudierg(x)AEx¡f(x).

Exercice 16Étudierg:x7!f(x)¡xn. Montrer que (an)n¸1est croissante et tend vers 1.

Exercice 17Cours.

Exercice 18?

Solutions.(Énoncés,Indications)Reprendre des exercices de calcul de limites pour des prolongements par continuité. Exercice 1La fonctionx7!ln(x)Åxest strictement croissante sur son ensemble de définition, limx!0Åln(x)ÅxAE ¡1, et limx!Å1ln(x)ÅxAE Å1, doncfétablit une bijection deR?ÅsurR. L"équation a donc une unique solution. Exercice 2Si`AEf(0) il n"y a rien à faire, sinon nous supposerons quef(0)·`, sans perte de généralité. Version courte : soitt2[f(0),`[, posonsg(x)AEf(x)¡t. Ainsi limÅ1gAE`¡tÈ

0, donc il existec2Rtel que pour toutx:x¸c)g(x)È0. On applique alors le

théorème des valeurs intermédiaires àget [0,c]. g:x7!f(x)¡d, vérifieg(0)·0 etg(x)¸0 pourxassez grand, supérieur ou égal à A pour fixer les idées. Doncfétant continue sur [0,A], prend toutes les valeurs entre g(0) etg(A), donc la valeur 0, d"oùg(x)AE0 soitf(x)AEd. 3 Esquissons une autre méthode : par des difféomorphismes'etÃde [0,1[ sur [0,Å1[ et def([0,`[) sur l"intervalle d"extrémités 0 et 1, nous supposerons qu"après prolongement par continuité FAEñf±', est une application continue de [0,1] sur lui-même. Il suffit d"appliquer le théorème des valeurs intermédiaires usuel à F sur [0,1]. Exercice 3Classique : appliquons le théorème des valeurs intermédiaires àx7! f(x)¡x: (f(1)¡0)(f(1)¡1)·0. Sif(®)AE®alorsg(f(®))AEg(®) d"oùf(g(®))AEg(®). E est borné par 0 et 1, donc infE et supE sont réels. Par définition, si (un)n¸0est une suite de E qui converge vers infE :f(un)AEunet par continuitéf(infE)AEinfE. donc infE2E, de même supE2E. g(®) est un point fixe def, doncf(®)AE®·g(®)·¯, de même

®·g(¯)·¯AEf(¯)

quef¡gs"annule sur [®,¯]. Exercice 4fest monotone, elle admet donc des limites en¡1(Å1ou réelle) et

xAE ¡1. Le théorème des valeurs intermédiaires généralisé (voir un autre exercice

ou les td) montre quef(x)¡xAE0 a une solution surR. Exercice 5minf¸minget maxf·maxg. Doncf¡gs"annule d"après le théo- rèmes des valeurs intermédiaires. Exercice 6fetgsont des produits de fonctions continues sur tout intervalle ]n,nÅ

1[ avecnentier. Nous avons

limx!n¡f(x)AE(n¡1)sin(n), limx!nÅf(x)AEnsin(n) doncfest continue aussi en 0 mais pas ennentier pourn6AE0. En revanche limx!n¡g(x)AE(n¡1)sin(¼n)AE0, limx!nÅg(x)AEnsin(¼n)AE0 doncgest continue surR. Exercice 7En 0 : produit d"une fonction qui tend vers 0 par une fonction bornée.

Donc limx!0f(x)AE0.fest prolongeable en 0 par 0.

Exercice 8La fonctionx7!ex¡x¡2 est strictement décroissante sur ]¡1,0[, stric- tement croissante sur ]0,Å1[ et est égale à¡1 en 0. L"équation a donc deux solu- tions.

Exercice 9En 0 : limx!0tan(x)

xAE1. 4 Exercice 10En 0. Nous avons cos(x)AE1¡2sin¡x 2

¢2, donc :

ln

1¡2sin¡x

2

¢2´

¡2sin¡x

2 ¢2 sin¡x 2 ¢2 x2 4 tend vers 1, ce qui montre que la limite defen 0 existe et est égale à¡1 2. Exercice 11fest continue surRàZ. Pour toutnentier positif,¡n¸1¡xÈ ¡n donc : limx!n¡f(x)AE(n¡(n¡1))(1¡n¡(1¡n))AE0, limx!nÅf(x)AE0 Exercice 12SixAE ¡pt,f(x)AE ¡f(t)AEf(pt)AEf(¡x), doncfest paire. Par ré- currence, pourxÈ0 :f(x)AE(¡1)nf(x 1

2n), orx

1

2ntend vers 1 doncf(x

1

2n) tend

versf(1), nous vérifions quef(1)AE0 (commef(0)), de plus (¡1)nest bornée, donc (¡1)nf(x 1

2n) tend vers 0, soit :f(x)AE0, pour toutx.

Exercice 13Le casnAE1 n"est pas très intéressant. Nous pouvons supposern¸2.

0AEf(1)¡f(0)AEP

0·k·n¡1f

³n¡k

n ¡f

³n¡1¡k

n .Posonsg(x)AEf¡xÅ1 n

¢¡f(x).Ilexiste

x1etx2tels queg(x1)g(x2)·0, d"après le théorème des valeurs intermédiaires il existe®tel queg(®)AE0. Exercice 14Par convention, le dénominateur d"un rationnelp qest strictement po- sitif.

Soitp0

q0une fraction irréductible représentant le rationnelx0. Posons, pour tout entiernsupérieur à 1 :unp0 q0Å p2 n. La suite (uk)k¸1est une suite d"irrationnels qui converge versx0doncf(un)AE0, alors quef(x0)6AE0,fn"est donc pas continue en x0.

Soientx0irrationnel et"È0.

Pour tout rationnelp

qtel que

¯¯¯x0¡p

q

¯¯¯·1 :

p q

¯¯¯¯x0¡p

q

¯¯¯¯Åjx0j

d"où

¯¯¯p

q

¯¯¯·1Åjx0j. Par suite, si1

qÈ": jpj·1Åjx0j Nous en déduisons qu"il n"y a qu"un nombre fini de rationnels dans [x0¡1,x0Å1] tels que1 qÈ". Soit´la moitié de la plus petite distance dex0à ces rationnels, de sorte que sixest un rationnelp qdans l"intervalle [x0¡´,x0Å´] alors1 q·". Six est irrationnel (où qu"il soit),f(x)AE0. Autrement ditjf(x)j ·1 qpour toutxdans [x0¡´,x0Å´],fest donc continue en tout réel irrationnel. 5 Exercice 15Supposons qu"une telle fonctionfexiste. Alors quel que soitxréel, doit être rationnel, ce qui est faux. Donc il n"existe pas de telle fonction. Exercice 161.La fonctiongest continue,g(0)¸0 etg(1)·0 doncgs"annule d"après le théorème des valeurs intermédiaires. donc aussi strictement décroissante, par suiteanest unique pour toutn¸1.

Par hypothèse,anÈanÅ1équivaut àannÇanÅ1nÅ1. Or 0·an·1, doncanÅ1nÅ1·

vers 0, ce qui impliquef(`)AE0 par continuité def, ce qui contredit quefest strictement décroissante. Donc`AE1. Exercice 17fest une bijection de I sur un intervalle J,f¡1est une bijection conti- nue de J sur I. Exercice 181.SixÈ0, par exemple,f(x)AE0. De même, sixÇ ¡1,¡1Ç1 xÇ0 nÅ1,1 n

£, alorsf(x)AEx

nÅ1, donc f(x)AEx nÅ1, nous en déduisons quefn"est pas continue en tout point1 nÅ1 carf¡1 nÅ1 ¢AE1 ce qui est égal à la limite à droite, alors que la limite à gauche estn nÅ1. Par suite,fn"est pas continue en 0 non plus car car pour tout´È0, il existextel que 0ÇxÇ´etf(x)AE1. 6quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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