[PDF] Cours de mathématiques (MPSI)

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Cours de mathématiques (MPSI)

ArnaudGirand

12 juillet 2021

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Table des matières

Premier semestre 7

I Rappels et compléments d"analyse 9

1:Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2:Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3:Logarithmes, exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4:Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II Logique 21

1:Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2:Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3:Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4:Méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III Ensembles 31

1:C"est quoi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2:Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IV Entiers naturels, récurrence(s) 37

1:L"ensembleN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2:Récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3:Récurrences "alternatives" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

V Applications, relations 45

1:Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2:Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3:Relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

VI Nombres réels 59

1:Le corpsRdes nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2:Bornes supérieure, inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3:Quelques résultats de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4:Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

VII Trigonométrie(s) 71

1:Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2:Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VIII Nombres complexes 83

1:Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2:Trigonométrie, le retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3:Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3

MPSI MarietteTABLE DES MATIÈRES4:Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IX Suites numériques 103

1:Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2:Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3:Théorèmes d"existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4:Suites à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5:Zoologie des suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6:Retour sur la topologie du corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . 119

X Groupes, anneaux et corps 121

0:Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1:Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2:Anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

XI Limites, continuité 133

1:Étude locale d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2:Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3:Brêve extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 145

XII Dérivation 147

1:Notion de dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2:Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3:Brêve extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 164

XIII Entiers relatifs, arithmétique 165

1:Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2:PGCD, algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3:Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4:Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5:Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

XIV Équations différentielles 183

1:Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2:Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . 188

3:Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants193

XV Polynômes 197

1:L"algèbreK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2:Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3:Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4:Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5:Irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6:Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

XVI Analyse asymptotique 217

1:Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2:Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

3:Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4:Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231math.webgirand.eu4

MPSI MarietteTABLE DES MATIÈRESXVII Fractions rationnelles 233

1:Corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2:Éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Addendum : calcul de primitives 241

Second Semestre 243

XVIII Dénombrement, combinatoire 245

1:Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

2:Zoologie cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

3:Un peu de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

XIX Espaces vectoriels 255

1:Structures linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

2:Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

3:Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

4:Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

5:Familles remarquables de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

XX Dimension finie 279

1:Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

2:Sous-espaces et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

3:Zoologie dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

4:Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5:Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

XXI Intégration 295

0:Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

1:Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

2:Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3:Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

4:Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5:Brève extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 316

XXII Matrices 317

1:Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

2:Retour sur l"algèbre linéaire "classique" . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

3:Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4:Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

5:Bases, trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6:Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

XXIII Groupe symétrique, déterminant 339

1:Permutations d"un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

2:Formes multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

3:Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

4:Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351math.webgirand.eu5

MPSI MarietteTABLE DES MATIÈRESXXIV Systèmes linéaires 361

0:Sous-espaces affines d"unK-e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

1:Notion de système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

2:Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

3:Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

4:Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

XXV Séries numériques 373

1:Qu"est-ce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

2:Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

3:Comparaison série-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

4:Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

XXVI Espaces préhilbertiens réels 389

1:Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

2:Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

3:Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . 400

4:Hyperplans affines d"un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . 402

XXVII Automorphismes orthogonaux 405

1:Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

2:Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

3:Le groupe orthogonal du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

XXVIIIProbabilités 415

1:Notions liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

2:Espaces probabilisés finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

3:Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

XXIX Variables aléatoires 427

1:Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

2:Zoologie des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

3:Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

4:Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

XXX Espérance 435

1:Mais qu"est-ce donc? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

2:Propriétés de l"espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

3:Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

4:Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444math.webgirand.eu6

Première partie

Premier semestre

7

Chapitre I

Rappels et compléments d"analyse

1:Fonctions à valeurs réelles

a) C"est quoi? SoitXun ensemble (pour le moment, un intervalle ou une réunion d"intervalles style[0;1],[0;12[ouR). On appellefonctiondeXà valeurs dansRtout "méca- nisme"f:X!Raffectant à tout pointx2Xune valeur numériquef(x)2R. àExemple I.1.Vous en avez vu des centaines en terminale (j"espère) :x7!x2, sin,expet j"en passe ... Notation.Nous utiliserons la convention suivante pour définir une fonction : f:X!R x7!f(x) ou, lorsqueXest clair,f:x7!f(x). Dans tous les cas, nous n"écrironsPAS d"horreurs du style "la fonctionf(x) =:::" J"aime à croire que nous sommes des gens civilisés. Définition I.1.L"ensembleXmaximal des valeurs dexpour lesquelles l"expression

f(x)a un sens est appeléensemble de définitionde la fonctionf.àExemple I.2.L"ensemble de définition dex7!px1est[1;+1[.

Définition I.2.Étant donné deux fonctionsf;g:X7!Rnous pouvons définir : leur sommef+g:x7!f(x) +g(x)surX; leur produitfg:x7!f(x)g(x)surX; leur quotientfg :x7!f(x)g(x)sur l"ensemble desx2Xtels queg(x)6= 0. De plus, si les valeurs d"une fonctiongsont comprises dans l"ensemble de définition d"une fonctionf, on peut définir lacomposéedefpargvia : fg:x7!f(g(x)): Nous aurons l"occasion de revenir en détails sur cette notion ultérieurement.9

MPSI MarietteCHAPITRE I. RAPPELS ET COMPLÉMENTS D"ANALYSEàExemple I.3.La fonction composée def:x7!pxetg:x7!x2est

fg:x7!px

2=jxj, définie surR(pourquoi?).

Définition I.3.Soientf;gdeux fonctions définies sur un ensembleX. On dira que festinférieure ou égaleàgsi, pourtoutx2X,f(x)g(x).Notation.fg ,Remarque I.1. On définit de la même façon les relations ;<;>et=sur les fonctions. -Attention : il s"agit d"ordres partiels.Comparer par exemplex7!xet x7! x. Graphiquemen t,fgsi la courbe représentative defesttoujoursau dessus de celle deg. b) Fonctions bornées Définition I.4.Soitf:X!Rune fonction. On dit quefest : -majoréesi il existe un réelMtel que pour toutx2X;f(x)M; -minoréesi il existe un réelmtel que pour toutx2X;f(x)m;

-bornéesi elle est majoréeetminorée.,Remarque I.2.Une fonctionfest bornée si et seulement si la fonctionjfj:x7! jf(x)j

est majorée. àExemple I.4.La fonctionx7!x2est bornée sur[0;1]mais pas surR. La fonctionx7!1xquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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