Cours de Statistiques inférentielles
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STATISTIQUE INFERENTIELLE
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Comment comprendre la statistique inférentielle ?
Nous allons chercher à faire l'inverse : l'inférence statistique consiste à induire les caractéristiques in- connues d'une population à partir d'un échantillon issu de cette population. Les caractéristiques de l'échantillon, une fois connues, reflètent avec une certaine marge d'erreur possible celles de la population.Quel est le but de la statistique inférentielle ?
IV La statistique inférentielle. Son but est d'étendre (d'inférer) les propriétés constatées sur l'échantillon (gr? l'analyse exploratoire par exemple) `a la population toute enti`ere, et de valider ou d'infirmer des hypoth`eses.6 jan. 2016Quelle est l'importance de la statistique inférentielle dans la société ?
Le but de la statistique inférentielle est de savoir dans quelle mesure les résultats obtenus sur un échantillon convenablement choisi apportent une connaissance fiable des caractéristiques de la population d'origine.- En d'autres termes, une analyse inférentielle utilise un échantillon aléatoire de données provenant d'une population afin de décrire et d'inférer la population. En effet, cette analyse est pertinente lorsqu'il est difficile ou impossible d'examiner chacun des membres d'une population entière.
Methodes de statistique inferentielle.
A. Philippe
Laboratoire de mathematiques Jean Leray
Universite de Nantes
Anne.Philippe@univ-nantes.fr
Version modiee le 19 mai 2016
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 1 / 166Plan du cours1Introduction
2Probabilites : Variables Aleatoires Continues
3Estimation
4Tests
5Regression
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 2 / 166IntroductionPlan de la section
1Introduction
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 3 / 166Introduction Quelques problemes1Un fabricant souhaite verier la qualite des ampoules electriques produites par une nouvelle cha^ne de production. Il faut donc evaluer la duree moyenne de fonctionnement des ampoules.Comment evaluer cette duree moyenne?
On ne peut pas tester toutes les ampoules!2Le responsable d'un parti politique souhaite estimer la proportion
des militants favorables a la candidature de Mr X pour la prochaine election presidentielle. Comment calculer la popularite d'un candidat au sein d'une population?Interroger tous les militants est trop co^uteux.
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 4 / 166Introduction
Population&EchantillonDenition
La population : l'ensemble de tous les elements consideres dans une etude.Denition L'echantillon est un sous ensemble ni de la population. La taille de l'echantillon est le nombre d'elements selectionnes pour constituer l'echantillon.Le but de l'inference statistique. Tirer des conclusions concernant certaines caracteristiques de la population a partir des informations contenues dans l'echantillon. A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 5 / 166IntroductionPour resumerA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 6 / 166Introduction
Retour aux exemples
1Le fabricant d'ampoules.
Il preleve un echantillon constitue de 130 ampoules. Pour chaque ampoule, il mesure la duree de fonctionnement.La moyenne de l'echantillon vaut 36 000 heures.
Une estimation pour la population est 36 000 heures.2Le responsable du parti. Il constitue un echantillon de taille 400. Parmi les personnes selectionnees, 250 sont favorables au candidat propose. Une estimation de la proportion de la population favorable a MrX est 250=400 = 0:625
Quelle est la qualite de ces deux estimations?
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 7 / 166IntroductionErreur d'echantillonnage
Elle resulte de l'utilisation d'un sous ensemble de la population (l'echantillon) et non de la population toute entiere.Exemple : le responsable du parti (suite).
deu x echantillonsdi erents vont fournir des estimations dierentes.Quelle est la precision des estimations realisees? A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 8 / 166Probabilites : Variables Aleatoires Continues
Plan de la section
2Probabilites : Variables Aleatoires Continues
Generalites
Loi gaussienne/normale
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 9 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralites
2Probabilites : Variables Aleatoires Continues
Generalites
Loi gaussienne/normale
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 10 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralites
Un exemple de loi discrete : la loi Binomiale
Un h^otel possede 50 chambres. Au printemps le taux de remplissage est de 75%. On noteXle nombre de chambres occupees un jour donne. C'est une variable aleatoire.X2 f0;:::;50gprend un nombre ni de valeurs,
c'est une variable aleatoire discrete La loi deXest lalo ib inomialede p arametren= 50 etp= 0:75. c'est a dire, pour toutk2 f0;:::;50g, on aP(X=k) =Ck50pk(1p)50k
La probabilite que l'h^otel soit complet vaut
P(X= 50) =C50500:7550(10:75)0= 0:7550A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 11 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralites
Plus generalementUne variable aleatoire discrete prend un nombre au plus denombrable de valeurs. L'ensemble des valeurs prises parX peut donc s'ecrire de la formefxi;i2EgouEest un sous ensemble deNLa loi de la variable aleatoireXest la suite des probabilites p k=P(X=xk) pour toutk2EL'esperance (moyenne) deX:
E(X) =X
k2Ep kxkLa variance deX:
var(X) =X k2Ep kx2k X k2Ep kxk!2A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 12 / 166
Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralitesUn exemple de variable aleatoire non discrete
On noteXle temps de vol entre Paris et Vilnius. C'est une variable aleatoire qui prend des valeurs comprises entre 135mn et 165mn. La variable aleatoireXpeut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [135;165]. Cette variable aleatoire n'est donc pas une variable discrete.DenitionOn dit que X est une variable aleatoire continue.
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 13 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralites
Denition
La loi d'une variable aleatoire continue est denie a partir d'une fonctionfappeleeden sitequi v erieles p roprietess uivantes: fest positive pour toutx2R,f(x)0l'aire en dessous la courbe representative defvaut 1 autrement dit Z 1 1 f(x)dx= 1-10-50510 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4xA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 14 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralites
Calcul des probabilites
L'aire comme mesure des probabilites
SoitXune variable aleatoire continue,fsa densiteDenition La probabilite que X appartienne a l'intervalle[a;b]P(aXb) est egale a l'aire en dessous de la courbe representative de la densite comprise entre x=a et x=bAutrement ditP(aXb) =Z
b af(t)dtA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 15 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralites
Illustration
1La courbe en bleu represente la densite de la variable aleatoire
2L'aire de la zone en vert represente
sur l'image de gauche :P(Xa)sur l'image du milieu :P(aXb)sur l'image de droite :P(Xb)A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 16 / 166
Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesGeneralitesDenition
X une variable aleatoire continue.
La fon ctionde r epartition d eX ( noteeF )es td eniep arF(x) =P(Xx)Quelques proprietes
1P(X=x) = 02P(Xx) =P(X Esperance/Variance
Xune variable aleatoire continue de densitef
L'esperance deXs'ecrit
E(X) =Z
xf(x)dx et la variance deX var(X) =Z x 2f(x)dx
Z xf(x)dx 2A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 18 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
2Probabilites : Variables Aleatoires Continues
Generalites
Loi gaussienne/normale
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 19 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Denition de la loi normale ou gaussienne
La loi gaussienne est une loi continue qui depend de deux parametres 2Ret >0. Sa densite est
f ;(x) =1p2e122(x)2Denition (Cas particulier) On dit que la loi gaussienne est
s tandard si = 0et= 1. On note F
0;1sa fonction de repartition.A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 20 / 166
Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale Le r^ole des deux parametres;est un parametre de positionun parametre de dispersionProprietes SoitXune variable aleatoire gaussienne.E(X) =;la moyennevar(X) =2;la varianceest l'ecart type deXA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 21 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale-10-50510
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x densite densité de la loi normale d'ecart type 1 MOY=-5
MOY=0 MOY=5 -10-50510 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x densite densité de la loi normale de moyenne 0 SD=1 SD=3 SD=6Densites de lois gaussiennes ayant
la m^eme variance mais des moyennes dierentesDensites de lois gaussiennes ayant la m^eme moyenne mais des variances dierentes A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 22 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Table de la loi gaussienne standard
La table donne les
valeurs deF0;1(u), u0 (aire en vert)Prenonsu= 1:96 = 1:9 + 0:06.On au1= 1:9 etu2=:06 d'ouF0;1(1:96) = 0:975.A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 23 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Proprietes de la loi gaussiennest andard
SoitXune variable aleatoire gaussienne standard.Pour toutx, on a P(X x)= P(Xx)
-4-2024 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 xP(X x) = 1P(Xx) autrement ditF0;1(x) = 1F0;1(x).P(xXx) =F0;1(x)F0;1(x) = 2F0;1(x)1A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 24 / 166
Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale Applications
SoitXune variable aleatoire gaussienne standard.1En utilisant la table :P(X1:96) =F0;1(1:96) = 0:9752Calcul deP(X 1:96). Cette valeur n'est pas dans la table.
P(X 1:96) =F0;1(1:96) = 1F0;1(1:96)
= 10:975 = 0:0253Calcul deP(xXx) pourx= 1;2;3 P(xXx) =F0;1(x)F0;1(x)
= 2F0;1(x)1 =8 :0:68x= 1 0:95x= 2
0:99x= 3A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 25 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Lien entre les lois gaussiennes
1Si la loi deXest la loi gaussienne de moyenneet d'ecart type
alors la loi deY=X est la loi gaussienne de moyenne 0 et d'ecart type 12Si la loi deYest la loi gaussienne de moyenne 0 et d'ecart type 1 alors la loi deX=Y+est la loi gaussienne de moyenne
et d'ecart typeA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 26 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Calcul pour la loi gaussienne (;)
SoitXest une variable gaussienne de moyenneet d'ecart type. Pour calculerP(Xx), on se ramene a une loi gaussienne standard. On pose
Y=X ,X=Y+ P(Xx) =P(Y+x)
=P(Yx Comme la loi deYest la loi gaussienne standard, le dernier terme est donne par la table de la loi gaussienne. P(Xx) =F0;1x
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 27 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Exemple
Si la loi de X est gaussienne de moyenne4et d'ecart type2. On pose Y=X42 P(X6:5) =P(2Y+ 46:5)
=P(Y6:542 =P(Y1:25) = 0:8943A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 28 / 166 Estimation
Plan de la section
3Estimation
Exemple introductif
EchantillonnageEstimation ponctuelle d'une moyenne Theoreme central limite
Erreur d'estimation : Conclusions probabilistes
Estimation par intervalle de la moyenne
Estimation ponctuelle d'une variance
Estimation ponctuelle d'une proportion
Conclusion
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 29 / 166EstimationExemple introductif
3Estimation
Exemple introductif
EchantillonnageEstimation ponctuelle d'une moyenne Theoreme central limite
Erreur d'estimation : Conclusions probabilistes
Estimation par intervalle de la moyenne
Estimation ponctuelle d'une variance
Estimation ponctuelle d'une proportion
Conclusion
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 30 / 166EstimationExemple introductif
La situation
Le directeur du personnel du groupea ete charge de developper le prol de 2500 responsables de societes appartenant au groupe. Les caracteristiques a etudier sontle salaire moyen annuel et sa dispersion la participation au programme de formation en gestion mis en place par la societe. On a donc trois parametres a calculerla moyenneet l'ecart typedu salaire annuel pour la populationla proportionpde la population ayant suivi la formationA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 31 / 166EstimationExemple introductif
Deux methodesLe recensement. On doit interroger 2500 personnes. Le co^ut de la collecte est tres eleve, il necessite un entretien avec chaque responsable.L'estimation. On estime les trois parametres a partir d'un echantillon de taillen<<2500. Il faut alors1Construire un echantillon de taillen2Calculer des estimateurs des trois parametres
3 Evaluer la qualite des estimateurs.A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 32 / 166
EstimationExemple introductif
On construit un echantillon constitue de 30 responsables de societes du groupe. Pour chaque personne de l'echantillon, on collecte deux informationsson salaire. On noteS1;:::;S30les salairess'il a participe au programme de formation que l'on code par 1
pour oui et 0 pour non. On noteF1;:::;F30les reponsesA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 33 / 166EstimationExemple introductif
les donnees collecteesS FS FS F 1 50427.82 111 53714.13 121 54276.3 1
2 47770.71 112 56641.81 122 58389.2 1
quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26
Esperance/Variance
Xune variable aleatoire continue de densitef
L'esperance deXs'ecrit
E(X) =Z
xf(x)dx et la variance deX var(X) =Z x2f(x)dx
Z xf(x)dx2A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 18 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
2Probabilites : Variables Aleatoires Continues
Generalites
Loi gaussienne/normale
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 19 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Denition de la loi normale ou gaussienne
La loi gaussienne est une loi continue qui depend de deux parametres2Ret >0. Sa densite est
f ;(x) =1p2e122(x)2Denition (Cas particulier)On dit que la loi gaussienne est
s tandard si = 0et= 1.On note F
0;1sa fonction de repartition.A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 20 / 166
Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale Le r^ole des deux parametres;est un parametre de positionun parametre de dispersionProprietesSoitXune variable aleatoire gaussienne.E(X) =;la moyennevar(X) =2;la varianceest l'ecart type deXA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 21 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale-10-50510
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x densite densité de la loi normale d'ecart type 1MOY=-5
MOY=0 MOY=5 -10-50510 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x densite densité de la loi normale de moyenne 0 SD=1 SD=3SD=6Densites de lois gaussiennes ayant
la m^eme variance mais des moyennes dierentesDensites de lois gaussiennes ayant la m^eme moyenne mais des variances dierentesA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 22 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Table de la loi gaussienne standard
La table donne les
valeurs deF0;1(u), u0 (aire en vert)Prenonsu= 1:96 =1:9 + 0:06.On au1= 1:9 etu2=:06 d'ouF0;1(1:96) = 0:975.A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 23 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Proprietes de la loi gaussiennest andard
SoitXune variable aleatoire gaussienne standard.Pour toutx, on aP(X x)= P(Xx)
-4-2024 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 xP(X x) = 1P(Xx)autrement ditF0;1(x) = 1F0;1(x).P(xXx) =F0;1(x)F0;1(x) = 2F0;1(x)1A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 24 / 166
Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normaleApplications
SoitXune variable aleatoire gaussienne standard.1En utilisant la table :P(X1:96) =F0;1(1:96) = 0:9752Calcul deP(X 1:96). Cette valeur n'est pas dans la table.
P(X 1:96) =F0;1(1:96) = 1F0;1(1:96)
= 10:975 = 0:0253Calcul deP(xXx) pourx= 1;2;3P(xXx) =F0;1(x)F0;1(x)
= 2F0;1(x)1 =8 :0:68x= 10:95x= 2
0:99x= 3A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 25 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Lien entre les lois gaussiennes
1Si la loi deXest la loi gaussienne de moyenneet d'ecart type
alors la loi deY=X est la loi gaussienne de moyenne 0 et d'ecart type 12Si la loi deYest la loi gaussienne de moyenne 0 et d'ecart type1 alors la loi deX=Y+est la loi gaussienne de moyenne
et d'ecart typeA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 26 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Calcul pour la loi gaussienne (;)
SoitXest une variable gaussienne de moyenneet d'ecart type. Pour calculerP(Xx), on se ramene a une loi gaussienne standard.On pose
Y=X ,X=Y+P(Xx) =P(Y+x)
=P(Yx Comme la loi deYest la loi gaussienne standard, le dernier terme est donne par la table de la loi gaussienne.P(Xx) =F0;1x
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 27 / 166Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLoi gaussienne/normale
Exemple
Si la loi de X est gaussienne de moyenne4et d'ecart type2. On pose Y=X42P(X6:5) =P(2Y+ 46:5)
=P(Y6:542 =P(Y1:25) = 0:8943A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 28 / 166Estimation
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3Estimation
Exemple introductif
EchantillonnageEstimation ponctuelle d'une moyenneTheoreme central limite
Erreur d'estimation : Conclusions probabilistes
Estimation par intervalle de la moyenne
Estimation ponctuelle d'une variance
Estimation ponctuelle d'une proportion
Conclusion
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 29 / 166EstimationExemple introductif
3Estimation
Exemple introductif
EchantillonnageEstimation ponctuelle d'une moyenneTheoreme central limite
Erreur d'estimation : Conclusions probabilistes
Estimation par intervalle de la moyenne
Estimation ponctuelle d'une variance
Estimation ponctuelle d'une proportion
Conclusion
A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 30 / 166EstimationExemple introductif
La situation
Le directeur du personnel du groupea ete charge de developper le prol de 2500 responsables de societes appartenant au groupe. Les caracteristiques a etudier sontle salaire moyen annuel et sa dispersion la participation au programme de formation en gestion mis en place par la societe. On a donc trois parametres a calculerla moyenneet l'ecart typedu salaire annuel pour lapopulationla proportionpde la population ayant suivi la formationA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 31 / 166EstimationExemple introductif
Deux methodesLe recensement. On doit interroger 2500 personnes. Le co^ut de la collecte est tres eleve, il necessite un entretien avec chaque responsable.L'estimation. On estime les trois parametres a partir d'unechantillon de taillen<<2500. Il faut alors1Construire un echantillon de taillen2Calculer des estimateurs des trois parametres
3Evaluer la qualite des estimateurs.A. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 32 / 166
EstimationExemple introductif
On construit un echantillon constitue de 30 responsables de societes du groupe.Pour chaque personne de l'echantillon, on collecte deux informationsson salaire. On noteS1;:::;S30les salairess'il a participe au programme de formation que l'on code par 1
pour oui et 0 pour non. On noteF1;:::;F30les reponsesA. lippe (U. Nantes)Methodes de statistique inferentielle.19 mai 2016 33 / 166EstimationExemple introductif
les donnees collecteesS FS FS F1 50427.82 111 53714.13 121 54276.3 1
2 47770.71 112 56641.81 122 58389.2 1
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