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STATISTIQUE INFERENTIELLE

Introduction

CHAPITRE I:LES LOIS STATISTIQUES

2éme Année Licence Sciences de Gestion

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Introduction

Terminologie : induction- déduction

empêcher de conclure avec certitude sur la population à partir des données acquises sur un

échantillon.

Statistique descriptive et Statistique inférentielle

La s-population formée par Elle a pour

La statistique inférentielle à la Elle vise inférer , des propriétés générales concernant la

population. Elle est basée sur la théorie des probabilités et correspond à la démarche inverse.

Schéma représentatif

Stat. Inférentielle Théorie des probabilités

Théorie des probabilités :

la théorie des probabilités permet de tirer aléatoirement un échantillon.

La statistique inférentielle :

population. possible celles de la population. En effet, à partir des valeurs prises, par une variable sur un

échantillon, la statistique inférentielle essaie de préciser la distribution de la variable dans la

population.

On parle de recensement, emble

de la population observée ĺ statistique inférentielle. population.

Population

Echantillon Echantillon

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Le sondage :

échantillon .Au chapitre 2 de ce cours, on va nous intéresser aux diverses méthodes de sondage

ĺ tistique

inférentielle. Avantages de la statistique inférentielle : Avoir de Pour résoudre le problème .Hypothèses : La population est considérée comme infinie ( très grande) . Les variables statistiques qui la décrivent sont considérées comme des variables aléatoires : En effet, la valeur prise par la variable statistique X pour un individu donné de la population ne peut pas être déterminée avec précision. Elle dépend de plusieurs paramètres, alors considérée . La répartition des valeurs de ces variables sont caractérisées par des lois de probabilité : L une loi de probabilité : - Qui est caractérisée par une densité de probabilité X continue ou une séquence de fréquences relatives à chacune de ses valeurs (X discrète) . - Possédant des caractéristiques ( E (X) , V(X)) qui résument la distribution . Des variations simultanées de 2 ou plusieurs variables statistiques sont décrites par une loi jointe : ( variable continues ou discrétes ) .

Ces lois de probabilité sont :

- Totalement inconnues : Problème de statistique inférentielle non paramétrique (on ignore la loi) . - Partiellement inconnues : La loi est connue mais les paramètres sont inconnus problème de statistique inférentielle paramétrique.

Objectifs :

9 Tirer des conclusions concernant certaines caractéristiques de la population à partir des

informations conte

9 Identifier les lois dans un échantillon de valeurs de variables obtenu à travers un sondage

dans la population, grâce aux méthodes suivantes : modélisation et de prévision .

9 La pertinencĺthéorie de

phénomènes dans lesquels le hasard

intervient . Cette théorie va servir comme outil de base à un ensemble de méthodes ou de règles

paramètres ou on teste les hypothèses.

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Rappel

Soit X une variable aléatoire

׊ a א ׊ a א Si X et Y sont 2 variables aléatoires : E (X + Y ) = E(X) + E(Y)

V(X) ൒-

׊ a א ׊ a א Si X et Y sont deux variables aléatoires, V (X + Y ) = V (X) + V(Y)

Covariance et coefficient de corrélation

Cov(X,Y) = ଵ

Si ߩ

0 : Absence de corrélation

1 : Forte corrélation positive

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LES LOIS STATISTIQUES

Objectifs du chapitre :- Présentation de quelques notions en probabilité - Présentation de quelques lois usuelles discrètes et continues (servant à

l'estimation par interǀalles de confiance et ă réaliser les différents tests statistiques)

I/ Probabilité et variables aléatoires :

1- Définitions

* L événement . La quantification des chances probabilité . * Un espace aléatoire : univers . *notion de probabilité : priori. Soit : A : événement . on cherche à probabiliser tous les événements de A , on lui associe une probabilité : 0 P (A) 1.

A ฽ P(A)

Exemple : On tire une boule dans une urne contenant une boule noire, deux blanches et cinq 2- : Un événement étant un élément de P( à la théorie des ensembles.

Ensemble Evénement

On a observé le résultat ܣא ߱, ߱ A = B

Les évènements A et B sont identiques .

Evènement impossible

Evènement certain.

Un au moins des deux évènements est réalisé. Les deux événements A et B sont réalisés. Les deux événements A et B sont incompatibles.

Le couple (, P()) est un espace probabilisable .

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Soit une épreuve aléatoire un ensemble non vide des parties de qui vérifie les conditions suivantes : ׊ A אࣛ alors ܣҧ א

Propriétés :

i) : P(׎

ii) P (ܣҧ) = 1 P (A) ; ܣҧ ࣛ ; A est stable par complémentation. A ࣛ ĺܣ

iii) P ( A ׫ B ) = P(A) + P(B) ; avec A B = ׎

A ࣛ et B ࣛ ; A ׫

P ( A ׫

Calcul de P(A) = ࢉࢇ࢘ࢊ ࡭

* Probabilités conditionnelles : ( ൐- . La connaissance de la réalisation de B modifie la prob : A/B , Elle est fonction des évènements ayant une partie commune avec B et A . *Indépendance en probabilité : modifie pas la probabilité de réalisation de lautre.

3- Variable Aléatoire :

Une variable aléatoire qui suit une certaine loi de probabilité, ses réalisations, ses

échantillons, sont encadrés par ces probabilités de réalisation. Une variable aléatoire X est une variable associée à une expérience ou un groupe le résultat de cette expérience ou de ce groupe On distingue des Variables Aléatoires Discrètes (VAD) et des variables aléatoires continues (VAC).

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a/ Variables Aléatoires Discrètes ( VAD) : Une VAD prend un nombre dénombrable de valeurs. rs prises par X

La relation entre x et p(x) est appelée loi de probabilité. Elle vérifie les conditions suivantes :

Variance : ߪ

Fonction de répartition :Appelée aussi : fonction de distribution cumulée , F(X) , exprime la

xi) = σ݌௜௜ lim ( ) 0; lim ( ) 1 xxF x F x x.

On a aussi, la probabilité que X soit comprise entre a et b ( b ൐ a)/ P ( a x b) = F (b) - F (a)

Exemple : Soit X : La variable aléatoire relative à la somme de deux dés. On va lancer deux dés homogènes simultanément et on sintéresse à la somme obtenue. Tableau : La distribution de probabilité pour la somme des deux dés Xi pi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Total 1

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Détails du calcul des probabilités :

P(Xi = 2) = 1/36 = ( dé 1, dé1)

P(Xi = 3) = (1, 2) ou (2,1) = 1/36 + 1/36 = 2/36

P(Xi = 4) = (3,1) ou (1,3) ou (2,2 ) = 3/36

P(Xi = 5) = (4,1 ) ou (1,4) ou (3,2) ou (2,3) = 4/36 P(Xi = 6) = (5,1 ) ou (1,5) ou (4,2) ou (2,4) ou (3,3) = 5/36 = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 P(Xi = 7) = (6,1 ) ou (1,6) ou (5,2) ou (2,5) ou (3,4) ou (4,3) = 6/36 P(Xi = 8) = (6,2 ) ou (2,6) ou (5,3) ou (3,5) ou (4,4) = 5/36 P(Xi = 9) = (6,3 ) ou (3,6) ou (5,4) ou (4,5) = 4/36

P(Xi = 10) = (7,3 ) ou (3,7) ou (5,5) = 3/36

P(Xi = 11) = (5,6 ) ou (6,5) = 2/36

P(Xi = 12) = (6,6) = 1/36

: Une population est caractérisée par son espérance E(X) et son écart type ߪ La moyenne de la variable aléatoire " X :la somme des deux dés » . + 11 (2/36 ) +12 (1/36) = 7. e ݔ௜݌௜ au tableau .

Xi pi ݔ௜݌௜

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36
42/36
40/36
36/36
30/36
22/36
12/36

Total 1 7

E (X) = 7 = σݔ௜௜݌௜

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Interprétation : la moyenne théorique est égale à 7. Cad, si on répète cette expérience aléatoire,

plusieurs fois () , toujours la moyenne espérée des sommes obtenues serra égale 7. -type de la VAX = somme des 2 dés : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 25
16 9 4 1 0 1 2 9 16 25
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 25/36
32/36
27/36
16/36 5/36 0 5/36 16/36 27/36
32/36
25/36

Total 1 210/36

On a alors : ߪ

-type est une mesure de dispersion, plus la valeur de ߪ probabilité que la VA soit proche de la moyenne est élevée. Répartition de 720 lancers de 2 dés en fonction de la somme obtenue

Xi ni fi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 42
57
84
108
112
94
77
66
41
24

0.0208

0.0583

0.0792

0.1167

0.15

0.1556

0.1306

0.1069

0.0917

0.0569

0.0333

Total 720 1

b/ Variable Aléatoire Continue (VAC) : correspond à un intervalle réel . Exemple

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Un intervalle continu contient

exactement un résultat donné est généralement nulle. La notion de distribution de probabilité

f(x) , est la dérivée de la fonction de répartition de F(x), appelée fonctions de ddp. Une

VAC est caractérisée par une probabilité positive et le cumul de sa ddp doit être égal à 1.

Propriétés :

¾ P ( a ൑ x൑ b) = F (b) - F (a) = ׬ ¾ P(X൒ݔ) = 1 - P(X൑ݔ) = 1 F (b)

Espérance : E(X) = ׬

II/ Les lois usuelles discrètes :

Certaines distributions de probabilités de VA correspondent aux modèles de

phénomènes aléatoires , Elles sont appelées : lois de probabilité , on distingue deux types lois

Discrétes et lois Continues .

1-La loi uniforme:

On dit que X suit la loi uniforme discrète définie sur X() = 0, 1, 2, ..,n si elle admet On dit que les événements sont équiprobables (cad ont des probabilités identiques) :

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Exemple : Le jet du dé, exercice traité dans le cas de VAD.

2-La loi de Bernoulli:

en proportion p et un second type en proportion 1-p. aléatoire qui consiste à tirer au hasard un individu de cette popul » avec une probabilité p. ܣ On définit la variable aléatoire de de Bernoulli admet comme fonction de probabilité : Espérance et variance: E(x) = p V(X) = p (1-p)

Propriétés : La : la somme de 2 variables

Bernoulli de Bernoulli .

variable Z = X1 + X2 ne suit pas une loi de Bernoulli. Exemple1 : Si on jette une pièce de monnaie équilibrée. Soit X une VA / X= 1 si pile, et

X= 0 sinon.

Exemple2 : Au service d

voitures acceptées sont en proportion p , alors X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. (X ՜

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3-La loi Binomiale:

Elle joue un rôle important pour obtenir des estimations de pourcentages, ou de taux.

Définition :

Une épreuve de Bernoulli , est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux

résultats possibles : succès / échec . Soit p la probabilité de réalisation du succès ; 1-p : la

probabilité de réalisation de . Sles mêmes conditions et ces expériences sont

indépendantes alors la variable aléatoire X : Nombre de succès obtenu suit une loi binomiale.

fonction de probabilité : x nC px (1-p)n-x ,

Avec n : N

p : la probabilité de succès à chaque expérience .

Elle peut être aussi décrite comme une suite en terme de variables aléatoires, en associant à

Bernoulli (

(p) ) Xi / Xi = 1 succès et Xi = 0 sinon . (x1, x2, xn) n variables indépendantes . On définit la V A X , le nombre de succès dans la suite des n expériences . Alors la variable aléatoire X = σݔ௜௡௜ǣଵ suit la loi binomiale (n,p).

Remarque : La combinaison

x nC , avoir x parmi n est calculée ainsi : x nC Espérance et variance : E(x) = np V(X) = np (1-p). Addition: Si deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 suivent respectivement

12(n ,p) et (n ,p)

alors (X1+ X2 ) suit une loi binomiale

12(n +n ,p)

Exemple1 : Un hôpital possède 50 chambres. Au printemps, le taux de remplissage est de 75%.

On note X léatoire.

x ߳ La loi de X est une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0.75.

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: P(X=50) = ܥ Exemple 2 : Dans une grande population, on compte 40 % des individus qui sont fumeurs. On

prend au hasard un échantillon de 30 personnes. On définit la variable aléatoire X : " Le nombre

» Alors X suit la binomiale B (30 ,0.4).

4-La loi Hypergéométrique:

Cette loi intervient dans le cas de plusieurs expériences aléatoires dépendantes auxquelles on associe un caractère étudié quelconque. Elle dépend de 3 paramètres. On considère une population de taille N dont K individus présentent exactement un

certain caractère A. On prélève sans remise un échantillon de n individus. Soit X la VA qui

tillon . On dit que X suit la loi Hypergéométrique ( X ՜H(n, N, K)). Si elle admet pour fonction

Si Max =0 et min =n alors 0

x n ; X() = 0, 1, ..,n

Espérance et variance :

E(x) = n

K N = np V(X) = n K Nquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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