[PDF] Cours de Statistiques Inférentielles

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Cours de Statistiques Inferentielles

P. Ribereau

6 janvier 2016

2

Table des matieres

1 Introduction Generale 7

I Intro generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II Le recueil des donnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III La statistique exploratoire ou descriptive. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 IV La statistique inferentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 V La modelisation statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI Un exemple simple en assurance automobile . . . . . . . . . . . . . . 1 0

2 Statistiques descriptives 13

I Generalites / denitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II Resumes numeriques pour des variables quantitatives . . . . . . . . . 14 III Resumes graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

3 Echantillonage 23

I Modele statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2 Modele d'echantillonage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 Modele domine, vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 5 II Denition d'une statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 Notions d'estimation et de test d'hypotheses . . . . . . . . . .

26
III Quelques notions de base sur les estimateurs . . . . . . . . . . . . . . 2 7

1 Denition d'un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 7

2 Notion de biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3 Convergence d'un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 7

4 Comparaisons des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5 Moyenne aleatoire, variance aleatoire . . . . . . . . . . . . . .

28
IV Rappels sur les vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Vecteurs gaussiens et lois du2. . . . . . . . . . . . . . . . . .31

V Application a l'estimation dans un cadre normal . . . . . . . . . . . . 3 2

4 Estimation 35

I Hypotheses fondamentales sur la densitef(x;) . . . . . . . . . . . .3 5 II Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

1 Information de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2 Proprietes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
3

4TABLE DES MATIERES

III Inegalite de Cramer-Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1 Hypotheses supplementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 7

2 Relation entre estimateurs ecaces . . . . . . . . . . . . . . .

39

3 Degradation de l'information . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 9 IV Notion d'exhaustivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 V Exhaustivite et estimateurs ecaces; la famille exponentielle . . . . . 4 1

1 Le modele exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 1

2 Theoreme sur l'ecacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
VI Quelques methodes usuelles d'estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

1 Methode empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 3

2 Methode des moindres carres . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3 Methode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4

4 Methode du maximum de vraisemblance : principe . . . . . .

45
VII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 VIII Generalisation au cas d'un parametre multidimensionnel . . . . . . . 47

1 Generalisation des denitions sur les estimateurs . . . . . . . .

4 7

2 Generalisation de l'inegalite de Cramer-Rao . . . . . . . . . .

48

3 Generalisation de la methode du maximum de vraisemblance .

5 0

5 Comportement asymptotique des estimateurs 53

I Proprietes asymptotiques de l'EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

1 En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 3

2 En dimension superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
II Denitions / outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

1 Normalite et ecacite asymptotique . . . . . . . . . . . . . .

54

2 Proprietes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3 Methode Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
III Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Estimation par intervalle de conance 57

I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 II I.C. pour les parametres de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 III I.C. pour une proportion (parametre de la loi binomiale) . . . . . . . 6 0 IV Construction d'I.C. asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

1 Utilisation du theoreme central limite . . . . . . . . . . . . . .

6 1

2 Application a la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3 Utilisation de la convergence de l'EMV . . . . . . . . . . . . .

62

4 Remarque sur l'intervalle de conance pour une variance hors

du cadre normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 V Recherche de regions de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4

7 Generalites sur les tests 67

I Problemes de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 II Tests uniformement plus puissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
III Tests fondes sur le rapport du maximum de vraisemblance . . . . . . 7 1 IV Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

TABLE DES MATI

ERES5

1 Adequation d'une moyenne pour un echantillon gaussien . . .

7 2

2 Comparaison de deux moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 3

3 Un exemple avec une loi discrete . . . . . . . . . . . . . . . .

74
V Tests asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

1 Proprietes asymptotiques des tests du maximum de vraissem-

blance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2 Tests de Wald et du score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7

8 Tests parametriques classiques 79

I Tests gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 II Tests asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

9 Quelques tests non parametriques 83

I Tests du2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 3

1 Loi multin^omiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2 Loi asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3 Test du2d'adquation a une loi . . . . . . . . . . . . . . . .8 5

4 Test du2d'independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 6

II Test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
III Test de Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1 Droite de Henry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2 Test de Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 0 IV Tests de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2

1 Statistiques de l'ordre, de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2 Le test de Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 3

10 Exemples d'estimation non parametrique 95

I Estimation d'une densite de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1 Histogramme empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 5

2 Fen^etres mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

3 Versions lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 6

4 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 6 II Estimation des quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1 Quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9

2 Lien avec les statistiques d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3 Resultats asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Introduction Generale

I Intro generale

Denition 1.1 (Premiere denition d'un probl

~Ame statistique)On dira qu'on se trouve devant un probleme statistique si on est c onfronte ades eventualites(en nomb reni ou inni) dont on sait q ue certaines sont vrais sans savoir lesquelles, on doit choisir une de c es eventualites, en s'appuyant sur le r esultatd'une exp erienceal eatoire, eventuellement a denir. La derniere partie de la denition par le d'experience aleatoire. Cette partie la (qui concerne la majorite du cours) est la statistique inferentielle, mathematique ou inductive. On va encore restreindre la denition pour denir le champs du cours et introduire la notion de modele statistique. Pour pouvoir tirer quelque chose du resul- tat de l'experience aleatoire, il faut qu'a chaque eventualite, on fasse correspondre une famille de probabilite a laquelle la proba qui regit l'experience appartient (si cette eventualite est vraie). On notePl'ensemble de toutes les probas possibles. Denition 1.2On appelle modele statistique le triplet(X;A;P)ou : |Xest l'ensemble appele ensemble fondamental ou espace des resultats, |Aest une tribu de partie deX, |Pest une famille de probabilites sur l'espace mesurable(X;A). Denition 1.3On appelle modele statistique parametrique un modele statistique (X;A;P)tel que

9p2N:P=fP;2Rpg

est appele l'espace des parametres. Le modele est aussi note(X;A;P;) Les grands problemes statistiques les plus frequents sont : d ansl em odelest atistiquep arametrique,l es\ eventualites"so ntr epresentees par le parametrelui m^eme. Comment choisir le? C'est l'estimation ponc- tuelle. Probleme d'identiabilite (si1et2sont tels queP1=P2alors on ne pourra jamais choisir entre les deux) : il faut que l'application!Psoit injective. 7

8CHAPITRE 1. INTRODUCTION GENERALE

Probleme statistique

9

Utilisant unmodele aleatoireX

XXXXXXXXXz

N'utilisant pas un

modele aleatoire- Stat. desc.- Analyse des donnees...?

Avant le choix del'experience et du

modele- Plans d'experiences - sondages...X

XXXXXXXXXz

Apres le choix de

l'experience et du modeleX

XXXXXXXXXz

Modele non parametrique?

Modele parametrique

(identication)X

XXXXXXXXXz

Decisions multiples@

@@R Test?

Estimationensembliste

9

EstimationponctelleQ

QQQQQQs?

Modele lineaireGLM...Figure1.1 { Approche d'un probleme statistique

II. LE RECUEIL DES DONN

EES.9 T oujoursd ansce m odele,l 'ensembled eseventualitesest l 'ensembled esp arties de . Estimation ensembliste. on a d eux eventualitesd ontu neseu lees tv raie.Pr oblemed et ests! Pour en revenir au probleme statistique, commentons la Figure 1.1 : La demarche statistique consiste a traiter et a interpreter les informations recueillies par le biais de donnees. Elle comporte quatre grands aspects : le recueil des donnees, l'aspect descriptif ou exploratoire, l'aspect inferentiel ou decisionnel et la modelisa- tion statistique.

II Le recueil des donnees.

Cette etape est importante car elle doit permettre d'obtenir des donnees de \bonne qualite" en un certain sens. Contrairement a ce qu'indique le vocabulaire, les informations dont a besoin le statisticien ne sont pourtant pas \donnees" et la qualite des resultats obtenus dependra autant de la maniere dont les donnees ont ete collectees que de la methode statistique utilisee ensuite. La theorie des sondages et celle des plans d'experiences fournissent un cadre theorique pour une collecte optimale de donnees.

III La statistique exploratoire ou descriptive.

Une fois les donnees collectees, il convient de synthetiser et de resumer l'in- formation contenue dans ces donnees. On utilise pour cela des representations des donnees sous forme de tableaux, de graphiques ou d'indicateurs numeriques (tels que la moyenne, la variance, la correlation lineaire, ...pour des variables quantitatives). Cette phase est connue sous le nom destatistique descriptive. On parle de statistique descriptiveunivarieelorsque l'on regarde une seule variable, de statis- tique descriptivebivarieelorsque l'on regarde simultanement deux variables, et de statistique descriptivemultidimensionnellelorsque l'on regarde simultanementpva- riables. Dans ce dernier cas, on parle aussi d'analyse des donnees.

IV La statistique inferentielle.

Son but est d'etendre (d'inferer) les proprietes constatees sur l'echantillon (gr^ace l'analyse exploratoire par exemple) a la population toute entiere, et de valider ou d'inrmer des hypotheses. Contrairement a la statistique exploratoire, des hypotheses probabilistes sont ici necessaires : elle suppose un modele probabiliste. L'estimation ponctuelle ou par intervalle de conance et la theorie des tests d'hypotheses constituent une partie principale de la statistique inferentielle.

10CHAPITRE 1. INTRODUCTION GENERALE

V La modelisation statistique.

Elle consiste en general a rechercher une relationapproximativeentre une variable et plusieurs autres variables, la forme de cette relation est le plus souvent lineaire. Lorsque la variable a expliquer est quantitative et que les variables explicatives sont aussi quantitatives, on parle deregression lineaire. Si les variables explicatives sont qualitatives, on parle alors d'analyse de la va- riance. Lemodele lineaire generalenglobe une grande partie de tous les cas de gures possibles.

VI Un exemple simple en assurance automobile

Un assureur souhaite evaluer s'il est pertinent de tarifer ses contrats d'assurance auto en fonction de la region d'habitation de l'assure. Il dispose de deux echantillons d'assures : 1 500 assures de la region Nord - Pas de Calais et 1 249 assures de la region Provence - Alpes - C~Ate d'Azur. Sur l'annee 2008, les 1 500 assures de la region Nord - Pas de Calais consideres ont declare 89 sinistres pour un montant total de remboursement de 57 227 =C. Sur l'annee 2008, les 1 249 assures de la region Nord - Pas de Calais consideres ont declare 78 sinistres pour un montant total de remboursement de 57 954 =C. Au vu des ces donnees, peut-on conclure qu'une des deux regions est plus risquee du point de vue de l'assureur et prendre en compte l'origine geographique dans la tarication?Reponse a la n du cours sur les tests parametriques. L'objet de ce cours est de presenter les principes de la statistique inferentielle : echantillonage, estimation, tests. Au dela des outils theoriques indispensables a la ma^trise de l'outil statistique, on s'attachera aussi a le mettre uvre sur des exemples concrets, en utilisant les logiciels R et/ou SAS. Plusieurs exemples du cours sont utilisent les donnees que vous pouvez telechar- ger a l'adresse : http://isfaserveur.univ-lyon1.fr/ vmaume/donnees/bab.csv Ce chier contient des informations sur le suivi des grossesses de 1236 meres americaines : |poidbest le poids du bebe a la naissance (en onces - 1 onces28;35 grammes), |grossessest le nombre de jours d'amenoree (en moyenne 9 mois et 2 se- maines), |nbgrossessesest le nombre de grossesses de la mere (avant celle qui est le sujet de l'etude), |ageest l'^age de la mere, |taillemest la taille de la mere (en pouces), |poidmest le poids de la mere avant la grossesse (en livres),

VI. UN EXEMPLE SIMPLE EN ASSURANCE AUTOMOBILE11

|fumeuseindique si la mere fume : 0=jamais, 1= fume maintenat, 2=a fume jusqu'a la grossesse, 3=occasionellement mais pas maintenant, 9=non rensei- gne, |eddonne le niveau d'etude. Pour travailler avec ce chier, l'enregistre dans un repertoire courant, demarrer R, charger les donnees avec la commande :bebes<-read.table('bab.csv',h=T)

Quelques references bibliographiques :

G. SaportaProbabilites, Statistique et Analyse des donnees.Contient l'essentiel mais avec peu de preuves mathematiques. D. FourdrinierStatistique Inferentielle.Plus theorique. On commence par un court chapitre sur la statistique descriptive unidimensio- nelle.

12CHAPITRE 1. INTRODUCTION GENERALE

Chapitre 2

Statistiques descriptives

Le but de la statistique descriptive - unidimensionelle - est de fournir une synthese des donnees sous forme de tableaux / graphiques / resumes numeriques. Il s'agit de methodes exploratoires et descriptives.

I Generalites / denitions de base

On etudie un ensemble d'objets de m

~Aame nature :la populationdont les ele- ments sont appelesindividus, sur lesquels on observe des caracteristiques :les va- riables. Exemple :un ensemble de pieces produites par une m~Aame machine sur lesquels on mesure le poids, le diametre ect ... Il s'agit d'etudier les caracteristiques de la population concernee (par exemple la proportion de pieces defectueuses) et non les caracteristiques d'un individu donne. L'etude de tous les individus d'une population s'appelle unrecensement. Une telle etude n'est generalement pas realisable en pratique (nombre d'individu de la population trop important, co^ut eleve du recensement, destruction de l'objet que l'on etudie ect ...). On est ainsi amene a n'observer qu'une (petite) partie de la popu- lation :un echantillon. Le nombre d'individu d'une population ou d'un echantillon s'appelle lataille. Chaque individu est decrit par un ensemble de caracteristiques appeleesvariables. Ces variables peuvent~Aatrequantitatives: caracteristiques nu- meriques ouqualitatives. Dans la suite, on considere un echantillonEde taillensur lequel on etudie une variableX, c'est ainsi une applicationX:E !A,Aest un sous-ensemble de RsiXest quantitative. On notea1, ...anles valeurs prises parX:ai=X(ei) siei est le iemeelement deE. Un premier resume de cette serie statistique (a1;:::;an) consiste a regrouper les individus pour lesquelsXprend la m~Aame valeur : soient x

1, ...,xkles valeurs distinctes prises parX, dans le cas d'une variable quantitative,

x

1<< xk. Lesxis'appellent lesmodalitesde la variableX. Le nombreni

13

14CHAPITRE 2. STATISTIQUES DESCRIPTIVES

d'individu deEpour lesquelsXvautxis'appelle l'eectif dexi. On a evidemment n=kX i=1n i. Soitfi=nin lafrequencedexi, il s'agit de la proportion d'individus de l'echantillon pour lesquelsXvautxi. On resume alors la serie statistique sous la forme du tableau :ModaliteEectifFrequence x 1n 1f 1. ..x kn kf kII Resumes numeriques pour des variables quan- titatives On considere une variable quantitative sur un echantillon de taillen. La variable prend des valeursx1,,xn. On notenil'eectif dexi. moyenneLa valeur moyenne de la variable sur cet echantillon est : m(x) =m1=x=1n n X i=1n ixi: Avec R, on obtient la moyenne avec la fonctionmean. Faites l'essai avecbebes[,1] puisbebes[,2], quel est le probleme? pour y remedier, on utilise la commande mean(bebes[,2], na.rm=T).

ecart type, varianceLa variance et l'ecart-type mesurent l'ecart de la variable a la valeur moyenne :

V ar(x) =1n

n X i=1n i(xim(x))2=m(x2)[m(x)]2: L'ecart-type est la racine de la variance :(x) =n=pV ar(x).

Variance estimee, ecart-type estime

II. R ESUMES NUMERIQUES POUR DES VARIABLES QUANTITATIVES15 La variance estimee est l'estimateur sans biais de la variance (voir paragraphe

Echantillonage) :

1n1n X i=1n i(xim(x))2=nn1V ar(x): L'ecart-type estime est la racine de la variance estimee. s n(x) =ps 2(x): Sous R, la variance et l'ecart-typeestimessont donnes par les fonctionsvaret sd. Lancer la commandeapply(bebes,2,var, na.rm=T). Remarque : un echantillon denit une mesure surRappeleemesure empirique de l'echantillon : n=1n n X i=1n ixi: La moyenne de l'echantillon est l'esperance de loin, la variance de l'echantillon est la variance de la loin. L'idee sous-jacente a la theorie statistique est que les donnees de l'echantillon sont des realisations d'un echantillon aleatoire independant de loiet que l'on peut retrouver des informations sur(qui est a priori inconnue) a partir de la connais- sance den. Autres momentsPlus generalement, on denit les moments et les moments centres d'ordrekd'une variable statistique par : m k=1n k X i=1n i(xi)kmck=1n k X i=1n i(xim(x))k:

Lecoecient d'asymetrie

1=mc3

3et lecoecient d'aplatissement

2=mc4 4sont des caracteristiques de forme de la serie statistique. Mode / etendueLemodemo est la valeur la plus frequente de l'echantillon. Autrement dit, mo =xisi et seulement sini= maxfnj; j= 1;:::;kg.L'etenduew=xkx1 est la dierence entre la plus grande et la plus petite valeur prise par les individus

16CHAPITRE 2. STATISTIQUES DESCRIPTIVES

de l'echantillon. C'est un indicateur tres dependant des valeurs extr ~Aames.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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