[PDF] ! CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS DE RÉSISTANCE DES

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! CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX...........- 10.1 -

10.1. Contraintes de compression au contact de surfaces courbes : formules de Hertz.......- 10.1 -

10.1.1. Introduction....................................................- 10.1 -

10.1.2. Formules de Hertz...............................................- 10.2 -

10.2. Plaques................................................................- 10.5 -

10.2.1. Introduction, définitions et hypothèses...............................- 10.5 -

10.2.2. Flexion des plaques circulaires symétriquement chargées : charge uniformément répartie

.............................................................- 10.5 - A) Pour les surfaces planes circulaires encastrées sur tout le pourtour.....- 10.6 - B) Pour les surfaces planes circulaires appuyées sur tout le pourtour......- 10.6 -

10.2.3. Flexion des plaques circulaires symétriquement chargées : charge "ponctuelle"

.............................................................- 10.7 - A) Pour les surfaces planes circulaires encastrées sur tout le pourtour.....- 10.7 - B) Pour les surfaces planes circulaires appuyées sur tout le pourtour......- 10.7 -

10.2.4. Flexion des plaques rectangulaires : Charge uniformément répartie.......- 10.10 -

A) Pour les surfaces planes rectangulaires encastrées sur tout le pourtour .- 10.10 - B) Pour les surfaces planes rectangulaires appuyées sur tout le pourtour . .- 10.10 -

10.3. Remarque concernant les fonds de réservoir..................................- 10.11 -

10.4. Tubes à parois épaisses..................................................- 10.12 -

10.4.1. Cylindre soumis à une pression intérieure............................- 10.13 -

10.4.2. Cylindre soumis à une pression extérieure...........................- 10.14 -

Version du 2 avril 2023 (18h33)

Contraintes de compression au contact de surfaces courbes : formules de Hertz N A indéformables surfacenulle N A N formules de Hertz

Hypothèses

Remarques

E E

EEEEEE

EE (éq. 10.3) E E (1) Hertz Heinrich Rudolf (1857 [Hambourg] - 1894 [Bonn] ) : ingénieur et physicien allemand. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Compléments de Résistance des Matériaux - 10.1 - fig.10.1. - Contact sphère - surface plane. fig.10.2. - Contact cylindre - surface plane. $Sphère sur surface plane a aPr E= (éq. 10.7) PE r (éq. 10.8) N A

Sphère sur sphère

r r r rr rrrr rr (éq. 10.10)

Cylindre de rayon r sur surface plane

l b b bPr EL= (éq. 10.11) PE Lr (éq. 10.12)

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Compléments de Résistance des Matériaux- 10.2 -

fig.10.3. - Contact cylindre - cylindre.

Application 10.1.kN

dmm=lmm= fig.10.4. - Application 10.1. Méthode empirique.

Cylindre sur cylindre

r rr rrrr rr (éq. 10.13) r r fig. 3.3. r r rrr rrrr rr=- (éq. 10.14)

Formule concernant un cylindre sur un plan

rmm=ENmm= PE lrNmm Al r mm rail N A Nmm

La demi-largeur est donnée par la formule

bPr

ELmm==×

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Compléments de Résistance des Matériaux- 10.3 -

Application 10.2.

mm PkN=

EGPa=ν=

MPa p max /DODUJHXUYDXWGRQF largeur==× =bmm largeur r mm==××=θ Nous sommes dans le cas du contact de deux cylindres

Bague intérieure

rrr rrmm=+=× PE LrMPa

Bague extérieure

rrr rrmm=-=× PE LrMPa

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Compléments de Résistance des Matériaux- 10.4 -

Une enveloppe est un corps dont une des dimensions (l'épaisseur) est bien plus petite que les deux autres. Le lieu géométrique des points équidistants des deux surfaces de l'enveloppe est la surface moyenne

Si la surface moyenne

de l'enveloppe est un plan, nous avons alors une plaque

Plaques

barre

Traction - Compression

enveloppe plaque

Hypothèses

Plaquesenveloppesminces

re≥

Notationsp

s e f d r adm E N/mm mm mm mm mm N/mm N/mm

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Compléments de Résistance des Matériaux- 10.5 -

fig.10.6. - Plaque circulaire encastrée : charge répartie. fig.10.7. - Plaque circulaire appuyée : charge répartie. Pour les surfaces planes circulaires encastrées sur tout le pourtour contrainteépaisseurσ pr e s (éq. 10.28) erp s adm (éq. 10.29) flècheépaisseur fpr Ee s (éq. 10.30) Pour les surfaces planes circulaires appuyées sur tout le pourtour contrainteépaisseur pr e s (éq. 10.31) erp s adm (éq. 10.32) flècheépaisseur fpr Ee s (éq. 10.33)

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Compléments de Résistance des Matériaux- 10.6 -

fig.10.8. - Plaque circulaire encastrée : charge ponctuelle. fig.10.9. - Plaque circulaire appuyée : charge ponctuelle.

NotationsF

r 1 N mm Pour les surfaces planes circulaires encastrées sur tout le pourtour contrainteépaisseur() r rF e (éq. 10.34) er rF (éq. 10.35) flècheépaisseur fFr Ee (éq. 10.36) Pour les surfaces planes circulaires appuyées sur tout le pourtour contrainteépaisseur() r rF e (éq. 10.37)

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Application 10.3.

barsm adm Nmm=

Application 10.4.mmm

mmbar N/mm Hg kg dm= plexiglas =ENmm plexiglas

HWGRQF

er rF (éq. 10.38) flècheépaisseur fFr Ee (éq. 10.39)

Formule des surfaces planes encastrées

erpmm s adm

Recherche de la différence de pression

pgh Pa ext

Δpp Pa

s

Formule des surfaces planes encastrées

erpmm s adm

Recherche de la flèche maximale

fpr Ee mm inadmissible s fdmm

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Application 10.5.

mmN/cm fpr Eeepr Ef mm ss adm

Contrainte admissible

adme R S

Nmm== =

Recherche de l'épaisseur minimale

erp mm e mm s adm

Recherche de la flèche correspondante

fpr Ee mm s epdmm mm adm

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Notationsa

b 1, 1 mm mm

Remarque importante

Pour les surfaces planes rectangulaires encastrées sur tout le pourtour contrainteépaisseurσβ pa e s (éq. 10.53) b epa s (éq. 10.54) flècheépaisseur fpa Ee s (éq. 10.55) b/a Pour les surfaces planes rectangulaires appuyées sur tout le pourtour contrainteépaisseurσβ pa e s (éq. 10.56) epa s (éq. 10.57) flècheépaisseur fpa Ee s (éq. 10.58)

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fig.10.10. - Fond de réservoir en anse de panier.

Application 10.6.Application 10.5.

b/a fig 10.10. pR eR (éq. 10.59) pN/mm R RpR e (éq. 10.60)

Détermination du rayon R

emm= mm RpR emm mm

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fig.10.11. - Contraintes dans une paroi épaisse.

Enveloppe mince

er moyen (éq. 10.63) parois épaisses

Plaques

longueurlargeur r contrainte radiale t contrainte tangentielle l contrainte longitudinale lie pa pb ba (éq. 10.64) fig. 10.12.

§ 10.4.

r tie ie pa pb baab rpp ba (éq. 10.65) r t r t

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fig.10.12. - Tubes à parois épaisses. fig.10.13. - Contraintes dans un cylindre soumis à pression inférieure.

Notationsp

i p e a b r N/mm N/mm mm mm mm p e

éq. 10.65.

r ti pa bab r (éq. 10.68) fig.13.

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Compléments de Résistance des Matériaux- 10.13 -

fig.10.14. - Répartition des contraintes.

équi i

pb ba (éq. 10.69) p i

éq. 10.65.

r te pb baa r (éq. 10.71)quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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