[PDF] IAE Plaques 22 May 2006 Cinématique

View - Download IAE Plaques

Previous PDF

Next PDF

IAE Plaques

Georges Cailletaud

Centre des Matériaux

Ecole des Mines de Paris/CNRS

Plan

1Cinématique, plaque épaisse de Reissner-Mindlin

2Application du théorème des travaux virtuels

Efforts intérieurs

Efforts extérieurs

Equilibre et conditions aux limites

3Loi de comportement

4Plaque de Kirchhoff-Love

5Exemples

Matériau isotrope

Matériau anisotrope

Calcul des contraintes

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 2 / 46 Plan

1Cinématique, plaque épaisse de Reissner-Mindlin

2Application du théorème des travaux virtuels

Efforts intérieurs

Efforts extérieurs

Equilibre et conditions aux limites

3Loi de comportement

4Plaque de Kirchhoff-Love

5Exemples

Matériau isotrope

Matériau anisotrope

Calcul des contraintes

Cinématique, plaque épaisse de Reissner-Mindlin Cinématique d"une plaque épaisse (Reissner-Mindlin)

Plaque définie dans le plan (x1-x2); normale à la plaquex3, épaisseurh.Déplacement défini par 3 translations,U1,U2,W, et deux angles,q1etq2,qui sont

fonctions de x

1-x2uniquement.1q

2 q 1 x2 x3 xu

1(x1,x2,x3) =U1+q2x3

u

2(x1,x2,x3) =U2-q1x3

u

3(x1,x2,x3) =Wu=U+x3ΦU=U+W e3

(U 1 U 2 0) (0 0 W) 1 2 0) (q 2 -q1 0) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 4 / 46 Cinématique, plaque épaisse de Reissner-Mindlin

Calcul du tenseur de déformation

A partir de :

u

1=U1+q2x3

u

2=U2-q1x3

u 3=W

Il vient :

e

11=U1,1+q2,1x3

e

22=U2,2-q1,2x3

e 33=0

2e12=U1,2+q2,2x3+U2,1-q1,1x3

2e23=-q1+W,2

2e31=q2+W,1Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 5 / 46

Cinématique, plaque épaisse de Reissner-Mindlin

Structure du tenseur de déformation

e

≂=d≂+x3K≂+b≂Tenseurdéformation de membrane(partie symétrique du gradient deU)

d ≂=?U1,1(U1,2+U2,1)/2 (U2,1+U1,2)/2U2,2?Tenseurde courbure(partie symétrique du gradient deΦ) K ≂=?q2,1(q2,2-q1,1)/2 (q2,2-q1,1)/2-q1,2?Cisaillement (vecteur cisaillement) b (0 0q2+W,1

0 0-q1+W,2

q

2+W,1-q1+W,20)

b= Φ+gradW=?q2+W,1 -q1+W,2? Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 6 / 46 Plan

1Cinématique, plaque épaisse de Reissner-Mindlin

2Application du théorème des travaux virtuels

Efforts intérieurs

Efforts extérieurs

Equilibre et conditions aux limites

3Loi de comportement

4Plaque de Kirchhoff-Love

5Exemples

Matériau isotrope

Matériau anisotrope

Calcul des contraintes

Plan

1Cinématique, plaque épaisse de Reissner-Mindlin

2Application du théorème des travaux virtuels

Efforts intérieurs

Efforts extérieurs

Equilibre et conditions aux limites

3Loi de comportement

4Plaque de Kirchhoff-Love

5Exemples

Matériau isotrope

Matériau anisotrope

Calcul des contraintes

Application du théorème des travaux virtuelsEfforts intérieurs

Puissance virtuelle

-dWint=Z V sijeijdV Z

V?sabeab+2sa3ea3?dV

Z S dWhdS avec dWh=U1,1Z h s11dx3+q2,1Z h s11x3dx3+U2,2Z h s22dx3-q1,2Z h s22x3dx3 +(U1,2+U2,1)Z h s12dx3+(q2,2-q1,1)Z h s12x3dx3 +(-q1+W,2)Z h s23dx3+(q2+W,1)Z h s31dx3Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 9 / 46 Application du théorème des travaux virtuelsEfforts intérieurs

Définition des efforts intérieurs

Variable associée définition :

U

1,1N11=Z

h s11dx3 q

2,1M11=Z

h s11x3dx3 U

2,2N22=Z

h s22dx3 -q1,2M22=Z h s22x3dx3 (U1,2+U2,1)/2N12=Z h s12dx3 (q2,2-q1,1)/2M12=Z h s12x3dx3 (-q1+W,2)/2T2=Z h s23dx3 (q2+W,1)/2T1=Z h s31dx3Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 10 / 46 Application du théorème des travaux virtuelsEfforts intérieurs

Définitions

Tenseur des efforts de membrane :

N ≂=?N11N12 N

21N22?

N ab=Z h sabdx3Tenseur des moments : M ≂=?M11M12 M

21M22?

M ab=Z h x3sabdx3Vecteur des cisaillements transverses : T a=Z h sa3dx3Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 11 / 46 Application du théorème des travaux virtuelsEfforts intérieurs

Traitement des efforts intérieurs

-dWint=-dWMint-dWFint-dWSint =Z S

NabUabdS+Z

S

MabKabdS+Z

S

TabadSMembrane :

-dWMint=Z S (N11U1,1+N22U2,2+N12(U1,2+U2,1))dSFlexion : -dWFint=Z S (M11q2,1-M22q1,2+M12(q2,2-q1,1))dSCisaillement : -dWSint=Z S

(T1(q2+W,1)+T2(-q1+W,2))dSGeorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 12 / 46

Application du théorème des travaux virtuelsEfforts intérieurs

Intégration par partie, membrane

Z S

N11U1,1dS=Z

S ((N11U1),1-N11,1U1)dS Z S

N22U2,2dS=Z

S ((N22U2),2-N22,2U2)dS Z S

N12U1,2dS=Z

S ((N12U1),2-N12,2U1)dS Z S

N21U2,1dS=Z

S ((N21U2),1-N21,2U2)dS -dWMint=Z [(N11n1+N12n2)U1+(N21n1+N22n2)U2]ds Z S [(N11,1+N12,2)U1+(N21,1+N22,2)U2]dS Z (N≂.n).Uds-Z Squotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

[PDF] théorie de timoshenko

[PDF] théorie des poutres formulaire

[PDF] gone du chaaba resume

[PDF] théorie des poutres cours

[PDF] theorie des poutres resistance des materiaux

[PDF] théorie des poutres pdf

[PDF] microéconomie 60 exercices corrigés le consommateur le producteur éléments de théorie des marchés

[PDF] exercice de microeconomie producteur

[PDF] kant avec sade lacan

[PDF] éthique de la vertu

[PDF] éthique déontologique définition

[PDF] déontologisme vs conséquentialisme

[PDF] conséquentialisme utilitarisme différence

[PDF] la fonction d'épargne keynésienne

[PDF] math 5eme secondaire belgique