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Étude des plaques circulaires fléchies

d'épaisseur linéairement variable: cas d'une force appliquée au centre

Autor(en):

Favre, Henry / Chabloz, Éric

Objekttyp:

Article

Zeitschrift:

Bulletin technique de la Suisse romande

Band (Jahr):

78 (1952)

Heft 1

Persistenter Link:

https://doi.org/10.5169/seals-58980

PDF erstellt am:

10.06.2023

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78eannée12janvier1952N°1

BULLETINTECHNIQUE

DELASUISSEROMANDE

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Suisse:1an,20francsEtranger:25francs

S.A.,Lausanne

Prixdunuméro:Fr.1.40

Paraissanttouslesquinzejours

fédérale.

Comitédepatronage - Président:R.Neeser,ingénieur,àGenève;Vice-président:G.Epitaux,architecte,

àLausanne;Secrétaire:J.Calame,ingénieur,àGenève - Membres,Fribourg:MM.P.Joye, professeur;E.Lateltin,architecte - Vaud:MM.F.Chenaux,ingénieur;E.d'Okolski,architecte; A.Paris,ingénieur;Ch.Thévenaz,architecte - Genève:MM.L.Archinard,ingénieur;Cl.Grosgurin, architecte;E.Martin,architecte;V.Eochat,ingénieur - Neuchâtel:MM.J.Béguin,architecte; G.Furter,ingénieur;R.Guye,ingénieur - Valais:MM.J.Dubuis,ingénieur;D.Burgener,architecte.

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etEricChabloz. - LedéveloppementactueldesaménagementshydroélectriquesenFrance. - Bibliographie. - LesCongres:Conférence

internationaledel'abrasionetdel'usure;VIIIecongrèsinternationaldemécaniquethéoriqueetappliquée. - ServicedePlacement.

- Nouveautés,Informationsdiverses.

ÉTUDEDESPLAQUESCIRCULAIRESFLÉCHIES

Casd'uneforceappliquéeaucentre

parHENRYFAVRE\etÉRICCHABLOZ2

Introduction

fédérale,Zurich.

2Assistantdemécaniqueàl'E.P.F.

8Noussupposeronsessentiellementqueles

delaplaque.

AppliedMechanics,Vol.15,1948,p.1.

6H.Favre,Suruntypedeplaquecirculaire

etdePh.appl.,vol.1,1950,p.317etsuiv. répartie. cesdeuxsortesd'appuis. l®2tCJCUT

Ç^*-~-J

r^K®i 'bI r~^Z2àL>me± -*P=Tfa'-b"]p Fig.1. - CoupesaxialesdesplaquescirculairesétudiéesparD.Conway.

BULLETINTECHNIQUEDELASUISSEROMANDE

d'épaisseurlinéairementvariable.

Casd'uneforceappliquéeaucentre

négligeables2. d'unpointdufeuilletmoyenet dr(1) secondordre: dr\dr dDfd(i>a¦d-r(£+VrQ,(2) (fig.4)et DEh3

12(1 - v2)(3)

êtrecalculésàl'aidedesformules

MrD*p/acp

\drM,--"<*+*$(4) Mr As/12 moyenfasseunpetitangleavecunplanfixe. dirigéeverslebas.

NewYorkandLondon,1940,p.282etsuiv.

b=crm levyv¦»immia //////^sfmr,r't//\y£$\ ->r* '7j3-X/yJUlL7ymm.--¦¦---- - Fig.2. - CoupesaxialesdesplaquescirculairesétudiéesparH.Favre. h=cr+cfyPOUyy-i\imik4-»v* ->fe

3.Pv}'/////&£?%¦//¦

%i¦m^^^m^^

Fig.3. - CoupesaxialesdesplaquescirculairesétudiéesparH.FavreetE.Chabloz.Lescas1et2ontététraitésprécédemment.Lescas3et4sontl'objetduprésentmémoire.

zh/2delafaceinférieuresont: (o>).6Mr\<*t)i

¦¦6Mt

h*

¦¦(6)

cellesauxpointscorrespondantsz - A/2delaface (1): ill-J9(r)dr+C,(7) auxlimites. centre.Onpeutsupposer,parexemple - commenousl'avons faitdanslesfigures2et3 - ¦quel'unedesdeuxfacesdela feui/lefmoyen h/2•S; "Slii coupeax/a/ej "•••»p/an 77\uZ
surfacecon/"çuexa/? i 'ri- - " - "Wjeuiiletmoyenfsurfaceconique)y,e? coupeax/a/e surfconique?Al.£^^fefe^^|l*

Fig.4.Fie.5a.Fiar.5b.

BULLETINTECHNIQUEDELASUISSEROMANDE

ducontour. rapportàl'épaisseurh.

Nouspouvonsposer(fig.5aou5b):

h1+X2K,(8) d'où

H(A)r=a(1+A)h0,hx(h)r=0(1 - A)h0

pointsjusqu'aucontouroujusqu'aucentre.

Posonsencore:

m(9)et/>.=Eh0

12(1 - v2(10)

(10)etenremarquantque?=2^: d2a>11\2a21dt^ rfç*3Kid%d$ir ou "116Ç- a»=12p - 12Ç+3, a12=12-Ç) aM36Ç - 24+ agl8§3 - 12Ç2+6Ç - 1, 3 :32e2 - 36Ç+12 - - "18= - 6(1-

023 - 12(1 - 2v)S+12(1 - v)ç-

(12) (1 - 3v)§2+12(1 - 2v)Ç - 6(1- appliquéeaucentre. longducontour. estencastréelelongducontour répartiel. croissantesdeA: 00 plusloin. A0 A2 d(da>0f -9-0 d/drpj g

2-n-A,g'

111d?'

111d?'

d2y0 "21dçt "12dç+"isI "^Pi9i id9o9o\f""-^-+o»Tj, 14) der. sontalors: (élémentaires: aP

4irZ>0ÇLogg.(17)

dÇ\"*gTS 3aP

2-rrDo"f+(1v)Logf+3

aP1

2nDolaulîiarpTDo

BULLETINTECHNIQUEDELASUISSEROMANDE

(ç^ç-o0et((pOç-i0,est (18) - 6§LogÇ - g36v - 25va)f

934-nDn5

+|(15-7v-4v2)c?-24(225-116v-53v2)çl,

WÈ(51+77v+29v2+3v3)¦§*LogÇ

(19) -y(3+4v+v2)LojÇ+20(i+v)Logg- 1 n12 (545 - 116v - 213v2 - 32v3)fj+ (705 - 195v - 233v2 - 53v3)Ç2

¦(20)

- gÔQ(11361 - 5228v - 1781v2 - 1192v*)f/| deuxtermes,etc.delasérie(13): p(D:UNS

9o+9i^

(lreapproximation), (2eapproximation),(21) suffisantepourlesapplications: d»)=9o+9i*+9^^+9s^s:(22)

9o>93ontlesvaleursrespectives(17)(20).

Lesrelations(4)et(7)

variablerpari,: DidD/q><2ç\MtSd% - aJq»(9dÇ+C. (7')

0,00,10,2O.S0,4O.S0,60,70,80,91,04

Q)//~V

0,2/ 0.3 tt fflmm 0,4 Eh aP Fig.6. - Plaquecirculaireencastréedelaligure5oou56. X*00.1 \=-0.2

0.4\*+0.2'

0.3 Eh a2P

Fig.7. - Plaquecirculaireencastréedelafigure5aou5b.Repré-Ij.»sontationgraphiquedeZ0enfonctionde£= - (pourdifférentesavaleursde\(v0,25).

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graphiquedelafonction?o(Ç),P°urlesvaleurs - 0,4, - 0,2, déplacementsÇ0,lorsqueAcroîtde - 0,4à-f0,4.Ilest - 0,2et-f-0,2,(Ç0)ç=oestpratiquementindépendantdece -0,12

O0,10.20,30,4O.S0,60,70,80,91.0

petitesvaleursnégativesdeA. delaformedescourbesÇ0(£)>lorsqueAcroîtde - 0,4à-f0,4. etMtsontdesfonctionsdécroissantesdeA. positivesprèsducentre,commelesmoments.Ellescroissent - maismoinsrégulièrementquelesmoments - àpartirde lorsqueÀ0,4.

0.70,80.9

0,10

0.6',0

0.O6 0,6

0.4£

0,06fO.2\-0,2vs

A-0.2f0.6 s//, *O, \=-0.4

0.12*1,0

0.2

0.14A0H.2

0.2\0

0.160.4

M,

0,18H.6mi\=*0.2

0,20Mr1

It 0.22

0.24fZ.2iI

°-M,

Fig.8. - Plaquecirculaireencastréedelafigure5aou56.Repré-rpourgentationgraphiquedeMretMtenfonctiondeE

différentesvaleursdeX(v0,25). a différente/aiedeX(v0,25)

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0,5 parlesformules:1pri+2viMa{a,)a=ax - ^l-^(*+v)ßj'<23) aucentredelaplaquedelafigure10. moment (Mr)T=buP - 5 - descourbesdelafigure8).

Cemomentengendredansledomaine0 vol.4,1933,p.305.

2VoirS.Timoshenko,loc.cit.,p.77.

momentrelatifàcepointest (Posons,commeprécédemment:

oc

»•=o

(26)exigeque: (9i)5_o0.(£0,1,2,...,co)(27) l'expression(4')dumomentdeflexionMT: et(10): ^9o,9o\d9i,9iDJd^903(2Ç-l)l^-rA+ |°+vf)++[3(2§- +3(2Ç_1)(|.+V|.)+|.+"| +[pt-'K$+'î)+»"-",(f+.t)+

IV////AhiV////T////////////777AB\

->K/--

Fie.10.

=^W -•H (coupeaxiale) planfci± surf,conique\.s'2J feuilieimoyen (surf,conique)

Fig.11a.

[coupeaxialeJ surf.conique'i".-*p

B\surfaceconiqueL^J?

feuiiiefmoyen /"p/an) r*'

Fig.116.

¦->J

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MT,que:

(dtfi(*+vf)=0.(^0,1,2,(28) calculées,nousobtenonssuccessivement: aP~4tta90J^-SLogf; aP

4TTi>02(l+v)?Log§ -

5 - 6v - 8v2/

3(1+v)^J

ÇLogÇ(l-2v)P-

4-rrDn-2(3+4v+v2)fLogÇ+8(i+v)?Logfj-

6{jLog{; - ~(49 - 48v - 25v2)Ç3+

3"(11 - Hv - 4v2)C2

203 - 19v - 275v2-53v3

aP

4^Â,

24(1
g(51+77v+29v2+3v3)Ç*LogÇ- -y(3+4v+v2)^Log^+20(l+v)Ç2LogÇ-

¦"12

11059+3789v-13107v2-6549v3-1192v*

(619S7v - 339v2 - 53v3)Ç2

600(14

(29) deAcomprisesentre - 0,4et-f0,4(quisontcellesintervenant série(13)estcertainementsuffisantIs

9(99(4J9o+9i*+9ü*2+93A3

93ontmaintenantlesvaleurs(29).

(30) etdestensionsdanslecasdelaplaqueposée yAxffdelap/aqueO.6/1\£-x^"0

V±4f

1.04 -0.4

0.60\0

0.4 th a2P Fig.12. - Plaquecirculaireposéedelafigure11oou116. valeursde\(v0,25). pourdifférentes

0,00,10.20.30,4O.S0,60,70,30.91,0*~T0,0i

0.02 0,04 0,06 0,08 0,10 0.12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,23 0,30 3"- V>\&

7.^\Jf/7[.ffg

1sS\XA^<>.')s~1_

£âm

'T'/ï,Ui'**

¦^1VaïX££j£ij3i

3jS /1/f".&¦'*Tl' - |l/v/Xr/\#/.¥7/fA-+oJSsH/r/tf/'/

Ivnï/fII

Imfi* //fii)11//ll~~- "~-AO "~X=-0,2 ~^~A=-0,47f'/i

1l/**4

1 //iinIp'" P7

11n0,32

0,34 0,36 0,38 0,40 1 1m pfitiii 1 it 'p Fig.13. - Plaquecirculaireposéedelafigure11aou116.quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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