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CHAPITRE 4
La Théorie des Plaques à Paroi Mince
Introduction et hypothèses
Théorie des plaques de Kirchhoff
Plaques rectangulaires
Plaques circulaires
Différents appuis
Différents types de chargement
Hypothèses
Déplacements latéraux et les rotations de la mi-épaisseur sont petits ( w << t et <<1 ) Les dimensions sont grandes par rapport à l'épaisseur a/t > 10 et b/t > 10 Matériau homogène, isotrope et élastique linéaire Lignes droites normales au plan mi-épaisseur demeurent droites après chargement (flexion des poutres) déplacement suivant l'épaisseur seulement Surface à la mi-épaisseur est un plan neutre x y xy = 0 La contrainte normale à la surface de la mi-épaisseur est négligeable z 0Flexion d'une poutre
y z x M M axe neutre RO M MFlexion d"une poutre (suite)
Rz RdRdd)zR( IJIJ'H'G xu
xxx axe neutre RO MM AB D EIJA' B'
D' E'I J z zGH G' H' d x z zy zeffet dePoisson
Relation déplacements-déformations
Plaques minces (Théorie de Kirchhoff)
xv yu= yv= xu= xyyx 000 z v yw= zu xw= zw= yzxzz M x z yx M x M y M yFlexion d'une plaque suivant plan xz
x wz =u w 22x x wz x u = w w H ywz = v 22
y ywzyv = yxwz2xv yu = 2 xy 1 z y b a hxM M
Suivant plan yz
Suivant plan xz
M x plan neutre M w z dx O r x d x z u = z du = z dT = -dw/dx
Relations w, r, ,
221 xw xw xxr x 22
1 yw yw yr y yxw xw yyw xrr yxxy 2 11 xx rz1 yy rz1 xyxy rz12 wwQww
Q QHHQ V
2222
22
11yw xwEzE yxx wwQww
Q QHHQ V
2222
22
11xw ywEzE xyy yxwEzG xyxy 2 1 Rayons de courbures - déplacementsDéformations - rayons de courbure
Contraintes - déplacements
Équilibre d'un élément de la plaque
M x z yx M y M xy Q y dx M xy p dxxMM x x w dxxMM xy xy w dyyMM xy xy w dyyMM y y w dyyQQ y y dxxQQ x x dy dzz = M x2t 2 t-x dzz = M y2t 2 t-y dzz = M xy2t 2 t-xy dz = Q xz2t 2 t-x dz = Q yz2t 2 t-yMoments et contraintes dans une plaque
2222
yw xwDM x wwww 22 22
xw ywDM y yxwDM xy 2 )1( )1(12 23
EtD
D est la rigidité en flexion de la plaque
12 3 EtDPour une poutre en flexion
2max, 6 t M= x x 2max, 6 tM= y y 2max, 6 tM= xy xyContraintes maximales dans la plaque
Expressions des moments
Différence de 1/(1-
210% si = 0.3
Équation de Lagrange (1811)
M x z yx M y M xy Q y dx M xy p dxxMM x x dxxMM xy xy dyyMM xy xy w dyyMM y y w dyyQQ y y dxxQQ x x dy Dp yw yxw xw 44224
44
2 D pw 4
Équilibre des forces suivant z
0 w wwwpxQ xQ yxÉquilibre des moments suivant x
yyxy QyM xMÉquilibre des moments suivant y
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