[PDF] LM256 : Analyse vectorielle intégrales multiples

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LM256 : Analyse vectorielle, int´egrales multiples

Tien-Cuong Dinh

Disponible sur http://www.math.jussieu.fr/≂dinh Cours de 21h donn´e aux ´etudiants de physique en deuxi`eme ann´ee

2007-2008

2

Table des mati`eres

1 Fonctions d"une variable 5

1.1 D´efinitions, repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Limites, continuit´e, d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 D´eveloppements limit´es, diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Primitives, int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Aire d"un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Fonctions de plusieurs variables 19

2.1 D´efinitions, graphe, lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Limites, continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 D´eveloppement limit´e d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Int´egrales curvilignes 35

3.1 Vecteurs, produits de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Champ de vecteurs, champ de gradients . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Courbes, tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Int´egrale curviligne le long d"une courbe . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Circulation d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Propri´et´e de l"int´egrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7 Aire d"un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Int´egrales multiples 53

4.1 Int´egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 2-formes diff´erentielles surR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6 Volume d"un domaine dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7 Aire d"un domaine dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8 Int´egrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3

4TABLE DES MATI`ERES

4.9 Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.10 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.11 2-formes et 3-formes diff´erentielles dansR3. . . . . . . . . . . . . 65

5 Formules de Stokes 73

5.1 Surfaces dansR3, tangent, vecteur normal . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Int´egrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Aire d"une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Flux `a travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5 Formule de Stokes-Amp`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.6 Formule d"Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.7 Volume d"un domaine dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Chapitre 1

Fonctions d"une variable

Ce chapitre contient quelques rappels sur les fonctions d"une variable.

1.1 D´efinitions, repr´esentations

D´efinition 1.1.1.SoitIune partie deR.Une fonction surIest une application deIdansR. Une fonctionfest donc une correspondance qui associe `a tout nombre r´eelx?Iun nombre r´eelf(x). On ´ecrit f:x?→f(x) ou simplementf(x).

Exemples 1.1.2.L"application

x?→axd´efinit une fonction lin´eaire. x?→ax+bd´efinit une fonction affine. x?→ax2+bx+c,a?= 0, d´efinit un polynˆome de degr´e 2. x?→sinxd´efinit la fonction sinus. D´efinition 1.1.3.L"ensemble des pointsxo`u la fonctionfest d´efinie s"appelle le domaine de d´efinition def.

Exemples 1.1.4.

f(x) =1x est d´efinie pourx?= 0. Son domaine de d´efinition estR?=R\{0}. f(x) =⎷x f(x) =⎷1-x2est d´efinie sur [-1,1]. D´efinition 1.1.5.On appellegraphede la fonctionf(x) l"ensemble des points de coordonn´ees (x,f(x)) par rapport `a deux axesOxetOy, lorsquexparcourt le domaine de d´efinition def. Remarque 1.1.6.Soitaun point dans le domaine de d´efinition def. La droite {x=a}coupe le graphe defen un et un seul point. C"est le point (a,f(a)). 5

6CHAPITRE 1. FONCTIONS D"UNE VARIABLE

D´efinition 1.1.7.Soientfetgdeux fonctions. L"applicationx?→f(g(x)) d´efinit une fonction qu"on appellela compos´ee def(x)etg(x). On notef(g(x)) ou (f◦g)(x) cette fonction. Elle est d´efinie aux pointsxdans le domaine de d´efinition degtels queg(x) soit dans le domaine de d´efinition def.

Exemple 1.1.8.Sif(x) =1x

etg(x) =⎷1-x2, on af(g(x)) =1⎷1-x2. Le domaine de d´efinition def(g(x)) est ]-1,1[. En effet,±1 sont dans le domaine de d´efinition degmaisg(±1) = 0; et doncg(±1)n"est pasdans le domaine de d´efinition def.

1.2 Limites, continuit´e, d´eriv´ees

On suppose que la fonctionfest d´efinie au moins sur un intervalle ]a,b[ contenant un pointx0,sauf peut-ˆetre enx0. D´efinition 1.2.1.On dit que la fonctionf(x)tend versL(Lfini) lorsquex tend versx0si quel que soit le nombre r´eel? >0, il existe un nombreα >0tel que la relation0<|x-x0|< αentraˆıne|f(x)-L|< ?. Ceci signifie que pour un?donn´e quelconque on doit trouver unαen fonction de ?tel que quand l"´ecart dex`ax0(avecx?=x0) est inf´erieur `aαl"´ecart def(x) `a

Lest inf´erieur `a?.

D´efinition 1.2.2.La constanteLest appel´eelimite def(x)quandxtend vers x

0oulimite def(x)enx0et on note

L= limx→x0f(x).

Th´eor`eme 1.2.3.Soientf(x)etg(x)deux fonctions telles quef(x)tende vers

Letg(x)tende versMquandxtend versx0. Alors

lim x→x0f(x)±g(x) =L±M,limx→x0f(x)g(x) =LM.

SiL?= 0, on a

lim x→x01f(x)=1L ,limx→x0g(x)f(x)=ML D´emonstration.(premi`ere partie) Soit? >0. Commef(x) tend versLquand x→x0, il existeα1>0 tel que si 0<|x-x0|< α1on ait|f(x)-L|< ?/2. De la mˆeme mani`ere, on montre qu"il existeα2>0 tel que si 0<|x-x0|< α2on ait|g(x)-M|< ?/2. Posonsα= min(α1,α2). On aα >0 et si 0<|x-x0|< α on a 0<|x-x0|< α1et 0<|x-x0|< α2, donc < ?/2 +?/2 =?.

1.2. LIMITES, CONTINUIT

´E, D´ERIV´EES7

On a montr´e que pour tout? >0 il existeα >0 de sorte que 0<|x-x0|< α entraˆıne|f(x) +g(x)-L-M|< ?. Donc lim |a±b| ≥ |a| - |b|. D´efinition 1.2.4.On suppose quefest aussi d´efinie enx0. Lorsque la limite de f(x) enx0est ´egale `a la valeurf(x0) def(x) enx0, on dit quefest continue en x

0. On dira quefestcontinue sur l"intervalle]a,b[ si elle est continue en tout

pointx0de ]a,b[. Sif(x) est continue sur ]a,b[ son graphe au-dessus de ]a,b[ est une courbe continue. Exemples 1.2.5.Les fonctionsex, logx, sinx, cosx, tanx, les polynˆomes, leurs compositions, sommes, produits, quotients, valeurs absolues sont continusl`a o`u elles sont d´efinies. Proposition 1.2.6.Sifest continue enx0elle est born´ee au voisinage dex0. Plus pr´ecis´ement, il existeα >0etA >0tels que |f(x)|< Apourx?]x0-α,x0+α[. D´emonstration.Commefest continue enx0, on a limx→x0=f(x0). Par cons´equent, pour tout? >0 il existeα >0 tel que

0<|x-x0|< α=? |f(x)-f(x0)|< ?.

Ceci est aussi vrai pourx=x0car|f(x0)-f(x0)|= 0< ?. Donc pour tout? >0, il existeα >0 tel que |x-x0|< α=? |f(x)-f(x0)|< ?. En particulier, pour?= 1, il existeα >0 tel que |x-x0|< α=? |f(x)-f(x0)|<1. PosonsA=|f(x0)|+ 1. En utilisant l"in´egalit´e triangulaire, on obtient pour |x-x0|< αque

C"est qu"il faut d´emontrer.

8CHAPITRE 1. FONCTIONS D"UNE VARIABLE

D´efinition 1.2.7.On appelled´eriv´ee def(x)au pointx0la limite lim x→x0f(x)-f(x0)x-x0 si celle-ci existe et est finie. On note f ?(x0) = limx→x0f(x)-f(x0)x-x0. Si cette d´eriv´ee existe, on dit quefestd´erivableenx0. La d´eriv´ee def(x) enx0est ´egale `a la pente de la droite tangente au graphe defau point (x,f(x)). Proposition 1.2.8.Sifest d´erivable enx0elle est continue enx0.

D´emonstration.On a

lim x→x0f(x)-f(x0) = limx→x0f(x)-f(x0)x-x0(x-x0) =f?(x0).0 = 0.

Donc lim

x→x0f(x) =f(x0) etfest continue enx0.Les fonctions sinx, cosx, tanx,ex, logx, les polynˆomes, leurs compositions,

produits, sommes, quotients sont d´erivablesl`a o`u elles sont d´efinies. Attention :|x|,⎷x,3⎷xne sont pas d´erivables en 0. Sifest d´erivable,|f|n"est pas toujours d´erivable.

Exemples 1.2.9.

(sinx)?= cosx,(cosx)?=-sinx (tanx)?= 1 + tan2x=1cos

2x,(xn)?=nxn-1,(ex)?=ex

(logx)?=1x ,(⎷x)?=12 ⎷x ,?1x =-1x 2. D´efinition 1.2.10.Sif(x) est d´erivable en tout pointx0de ]a,b[, on dit quef est d´erivable sur]a,b[. Dans ce casx?→f?(x) d´efinit une nouvelle fonction. La d´eriv´ee de cette fonctionf?(x) est not´eef??(x), c"estla d´eriv´ee secondedef. La d´eriv´ee d"ordrendefest not´eef(n). Elle est la fonction d´eriv´ee def(n-1). Th´eor`eme 1.2.11.Les d´eriv´ees d"une somme, d"un produit, d"un quotient ... sont donn´ees par les formules : (f±g)?(x0) =f?(x0)±g?(x0) (λf)?(x0) =λf?(x0)pour toute constanteλ (fg)?(x0) =f?(x0)g(x0) +f(x0)g?(x0)?fg (x0) =f?(x0)g(x0)-f(x0)g?(x0)g(x0)2sig(x0)?= 0 (f◦g)?(x0) =f?(g(x0))g?(x0).

1.3. D

´EVELOPPEMENTS LIMIT´ES, DIFF´ERENTIELLES9

D´emonstration.(premi`ere partie) On a

(f+g)?(x0) = limx→x0(f(x) +g(x))-(f(x0) +g(x0))x-x0 = lim x→x0f(x)-f(x0)x-x0+g(x)-g(x0)x-x0 =f?(x0) +g?(x0).1.3 D´eveloppements limit´es, diff´erentielles D´efinition 1.3.1.Soitfune fonction d´efinie au voisinage d"un pointx0?R. On dit quefadmetun d´eveloppement limit´e d"ordrenau voisinage dex0si l"on peut ´ecrire f(x) =a0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)n+ (x-x0)n?(x) o`u?(x) est une fonction qui tend vers 0 quandx→x0. Le polynˆome a

0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)n

est appel´ela partie r´eguli`eredu d´eveloppement limit´e et (x-x0)n?(x) estle reste. On note souvento((x-x0)n) `a la place de (x-x0)n?(x). Ce d´eveloppement, s"il existe, estunique. Lorsquex0= 0 le d´eveloppement limit´e d"ordrendefs"´ecrit simplement f(x) =a0+a1x+···+anxn+o(xn).

Notons DL

n(f,x0) la partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e d"ordrendef enx0. Alors DL n(f±g,x0) = DLn(f,x0)±DLn(g,x0) et DL n(λf,x0) =λDLn(f,x0) pour toute constanteλ.

Pour calculer DL

n(fg,x0), on d´eveloppe le produit DLn(f,x0)DLn(g,x0) et on Th´eor`eme 1.3.2.Supposons que la fonctionfadmet lesnpremi`eres d´eriv´ees qui sont continues au voisinage dex0. Alors il existe un nombrea, compris entre x

0etx, tel que

f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) +···+f(n-1)(x0)(n-1)!(x-x0)n-1+f (n)(a)n!(x-x0)n

10CHAPITRE 1. FONCTIONS D"UNE VARIABLE

(c"est la formule de Mac Laurin). On a aussi f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) +···+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n) et six0= 0 f(x) =f(0) +f?(0)x+···+f(n)(0)n!xn+o(xn).

Remarque 1.3.3.Le nombread´epend dex,x0,netf.

Exemples 1.3.4.Les DL en 0

11-x= 1 +x+···+xn+o(xn)

sinx=x-x33! +x55! +···+ (-1)px2p+1(2p+ 1)!+o(x2p+2) cosx= 1-x22! +x44! +···+ (-1)px2p(2p)!+o(x2p+1) tanx=x+x33 +o(x4) e x= 1 +x+x22! +···+xnn!+o(xn) log(1 +x) =x-x22 +x33 - ···+ (-1)n-1xnn +o(xn). D´efinition 1.3.5.Soity=f(x) une fonction d´erivable au voisinage dex0. On appellediff´erentielle de la fonctionf(x)au pointx0la fonction lin´eaire

X?→Y=f?(x0)X.

On poseY=dy=df(x). En particulier siy=f(x) =x, on obtient la diff´erentielledy=dxqui est la fonction lin´eaire

X?→X.

Ceci permet d"´ecrire pour une fonctionfg´en´erale dy=f?(x0)dx. Par abus de langage, nous confondrons souvent la diff´erentielle defavec sa valeur que nous noteronsdf.11 on a d´ej`a vu que la fonctionx?→sinxest confondue avec sa valeur sinx

1.4. PRIMITIVES, INT

´EGRALES11

Proposition 1.3.6.On a

d(f±g) =df±dgetd(λf) =λdfpour toute constanteλ d(fg) =gdf+fdgetd?fg =gdf-fdgg

2l`a o`ug?= 0.

D´emonstration.(premi`ere partie) On a

d(f+g) = (f+g)?dx= (f?+g?)dx=f?dx+g?dx=df+dg.On a la proposition suivante. Proposition 1.3.7.SiF(x) =f(g(x))et sif,gsont d´erivables alors dF(x) =f?(g(x))g?(x)dx sur le domaine de d´efinition deF.

D´emonstration.On a

dF(x) =F?(x)dx=f?(g(x))g?(x)dx.Remarque 1.3.8.Si une fonctionfest d´efinie sur un intervalle [a,b], on peut

parler de la limite, la continuit´e, la d´erivabilit´e `a droite enaet `a gauche enb.

1.4 Primitives, int´egrales

D´efinition 1.4.1.Soitfune fonction sur un intervalle ]a,b[. On appelleprimitive deftoute fonction d´erivableFsur ]a,b[ telle que F ?(x) =f(x) pour toutx?]a,b[. SiFetGsont deux primitives defsur ]a,b[, la diff´erenceF-Gest toujours une fonction constante. Exemples 1.4.2.La fonction sinxest une primitive de cosxsurRcar (sinx)?= cosx. Les primitives de cosxsont sinx+co`ucest une constante. Les primitives de sinxsont-cosx+c; les primitives deexsontex+c, les primitives dexn sont xn+1n+1+cpourn≥0 et les primitives de1x sont log|x|+c1sur ]0,+∞[ ou log|x|+c2sur ]- ∞,0[.

12CHAPITRE 1. FONCTIONS D"UNE VARIABLE

Consid´erons une fonctionfcontinue sur un intervalleferm´e[a,b]. On partage [a,b] ennintervalles ´egaux au moyen des points de division x

0=a, x1=a+b-an

, ..., xk=a+k(b-a)n , ..., xn=b.

On d´efinit

I n=b-an ?f(x1) +···+f(xn)?=n? k=1b-an f(xk) =n? k=1(xk-xk-1)f(xk).

On admet que la limite suivante existe

I= limn→∞In.

D´efinition 1.4.3.On appelleIl"int´egrale defsur[a,b] et on note I=? b a f(x)dx.

Convention.

?a b f(x)dx=-? b a f(x)dx. Supposons quefestpositive2sur [a,b]. Alors (xk-xk-1)f(xk) est l"aire du rectangle de base [xk-1,xk] et de hauteurf(xk). DoncInest l"aire approch´ee de la surface limit´ee par le graphe def, les droitesx=a,x=bet l"axeOx. L"int´egrale

Iest, dans ce cas, l"aire de la surface3.

Proposition 1.4.4.On a

b a [f(x)±g(x)]dx=? b a f(x)dx±? b a g(x)dx b a

λf(x)dx=λ?

b a f(x)dxpour toute constanteλ b a f(x)dx+? c b f(x)dx=? c a f(x)dx.

SiFest une primitive defalors

b a f(x)dx=F(b)-F(a).2 Ici la positivit´e signifie quef≥0. Quandf >0 on dit quefest strictement positive.

3Lorsquefn"est pas positive, il faut compter l"aire alg´ebrique, i.e. l"aire de la partie au-dessus

deOxmoins celle de la partie en dessous deOx

1.4. PRIMITIVES, INT

´EGRALES13

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