Chapitre 3 Intégrale double
Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c
Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
3.2 – Intégrales doubles. Dans cette section: ‚ Subdivisions des domaines du plan. ‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables. ‚ Intégrale double.
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
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Chapitre17 : Intégrale double
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La pile au dessus de (x y) ? ? est de hauteur f(x
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Comment faire une intégrale double ?
Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x, y)dxdy dans l'exemple 3.14 pour la fonction f définie par f(x, y) = x ? y.Comment calculer les intégrales triples ?
L'intégrale triple se résume alors à la quadrature élémentaire sur [-r,r] de la fonction z ? ?(r2 - z2) dont une primitive est z ? ?(r2z -z3/3), fonction impaire de z. Le volume cherché est donc 2?(r3 - r3/3) = 4?r3/3.Comment on calcule une intégrale ?
La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F?(x) = f(x).- L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes. La primitive est la réciproque de la dérivée.
Math2 { Chapitre 3
Integrales multiples
3.1 {Int egralesde Riemann (rapp elsde TMB)
3.2 {Int egralesdoubles
3.3 {Int egralestriples
3.4 {Aire, volume, mo yenneet centre de masse
3.1 { Integrales de Riemann (rappels de TMB)
Dans cette section:
Subdivisions, somme de Riemann et integrale de Riemann d'une fonction d'une variableAire sous le graphe d'une fonction
Primitives et techniques d'integration
Subdivision, somme et integrale de Riemann
Rappels {Soitf:ra;bs ÑRune fonction d'une variable: subdivisiondera;bs:Sn taa0 a1 anbuR aa0 a nb a 1|x 1 a 2|x 2 a 3|x 3 a 4|x 4 a 5|x 5 somme de Riemann defaux pointsxiP rai1;ais: R pf;txiuq n¸ i1fpxiq:xfpxq a b integrale de Riemann defsurra;bs: b a fpxqdxlimnÑ8toutxiR pf;txiuqxfpxq a b si la limite existe, est nie, et ne depend pas desxi.L'integrale donne l'aire sous le graphe
Rappels -
b a fpxqdxaire \algebrique" sous le graphe def b a |fpxq|dxaire sous le graphe def(positive) xyfpxq |f|f |f||f|Exemple:L'aire du disque se calcule comme une integrale:AirepDq 2AirepDq 2»
11a1x2dxxy?1x2D
Primitives et techniques d'integration
Pour connaitre l'integral, il sut de connaitre une primitive: Uneprimitive defsurra;bsest une fonctionFderivable telle que F1pxqfpxqpour toutxP ra;bs. On noteFpxq»
fpxqdx.Theoreme fondamental:»b
a fpxqdxFpbqFpaq rFpxqsba:Integration par changement de variable:xhptq»
fpxqdx» fhptqh1ptqdt; ouhest un dieomorphisme(bijection derivable avec reciproqueh1derivable).Integration par parties:»
fpxqg1pxqdxfpxqgpxq » f1pxqgpxqdx:Probleme {Pas d'analogue pour les fonctions de plusieurs variables!
Exemple: aire d'un disque
Aire d'un disque {
AirepDq 2AirepDq 2»
11a1x2dxCalcul par changement de variable:xsintpourtP r2
;2 s, car?1x2cost.Alorsdxcost dtetAirepDq 2»
{2 {2cos2t dt 2» {2 {2cosp2tq 12 dt 12 sinp2tq t {2 {202 023.2 { Integrales doubles
Dans cette section:
Subdivisions des domaines du plan
Sommes de Riemann des fonctions de deux variables
Integrale double
Volume sous le graphe d'une fonction
Theoreme de Fubini
Theoreme du changement de variables
Subdivisions d'un domaine du plan
SoitDR2un ensemble borne, avec bordBDlisse(au moins par morceaux). Denition {Pour tout¡0, on appellesubdivision deD l'ensembleSdes carresKide cotedu plan qui couvrentDdans n'importe quel grillage de pas.En particulier, on considere deux recouvrements: una l'exterieurSext, una l'interieurSint.S intS extD BDPuisqueDest borne, les subdivisions contiennent un nombre ni de carres, et on aSintSext. Les carres dansSextzSintcouvrent exactement le bordBD. Sommes de Riemann d'une fonction de deux variablesSoitf:DÝÑRune fonction de deux variables.
Denition {Pour tout choix de pointspxi;yiq PKiXD, on appellesommes de Riemann defassociees aux subdivisions S ext{int et aux pointstpxi;yiqules sommes R ext{int pf;tpxi;yiquq ¸ K iPSext{int fpxi;yiq2; ou chaque termefpxi;yiq2 represente levolume algebrique(=volume) du parallelepipede de base K iet hauteurfpxi;yiq. xyfpx;yqDIntegrale double
Theoreme {Si les limiteslimÑ0Rext{int
pf;tpxi;yiquqexistent et elles sont independantes du choix des pointspxi;yiq PKiXD, alors elles coincident.Denition {Dans ce cas: on appelleintegrale double defsurDcette limite: D fpx;yqdx dylimÑ0Rext{int pf;tpxi;yiquq: on dit quefest integrable surDselon Riemannsi l'integrale¼ D fpx;yqdx dyest nie (= nombre, pas8).Proposition {Toute fonction f continueest integrable selon Riemann sur un ensemble D bornea bord lisse(par morceaux).Signication geometrique de l'integrale double
Corollaire {
D fpx;yqdx dyvolume \algebrique" sous le graphe de f . D |fpx;yq|dx dyvolume sous le graphe de f .yz x positifnegatiff |f||f|fExemple 1: volume d'une boule
Volume d'une boule {Le volume de la boule
est deux fois le volume de la demi-boule B qui se trouve sous le graphe de la fonction za1x2y2: yz xpx;yqzax 2y2BOn a alors
VolpBq 2¼
Da1x2y2dx dy
Proprietes des integrales doubles
Proprietes {1qPour tout;PR, on a
D fgdx dy¼ D f dx dy¼ D g dx dy:2qSi DD1YD2et D1XD2= courbe ou point ouH, alors D fpx;yqdx dy¼ D1fpx;yqdx dy¼
D2fpx;yqdx dy:3q¼
D D D D gpx;yqdx dy:Theoreme de Fubini sur un rectangle
Theoreme de Fubini sur un rectangle {Soit f:DÝÑRune fonction continue et D ra;bs rc;dsun rectangle. Alors on a D fpx;yqdx dy» b a »d c fpx;yqdy dx d c »b a fpx;yqdx dyNotation { b a dx» d c dy fpx;yq » b a »d c fpx;yqdy dxCorollaire { ra;bsrc;dsf1pxqf2pyqdx dy»
b a f1pxqdx»
d c f2pyqdy
Exemple 2: calcul d'integrales doubles
Exemples {
r0;1sr0;{2sxcosy dx dy» 1 0 x dx» {2 0 cosy dy 12 x21 0 siny {2 012 r1;1sr0;1spx2y1qdx dy» 11dx»
1 0 px2y1qdy 1 1dx12 x2y2y y1 y0 1 1 12 x21 dx16 x3x 1 1 53Theoreme de Fubini
Lemme {Soit DR2un ensemble borne quelconque.
Pour toutpx;yq PD
il existe a;bPRPour tout xP ra;bs
il existe cpxq;dpxq PRAu nal:xy
bxacpxqdpxqD px;yq PR2|xP ra;bs;yP rcpxq;dpxqs(Theoreme de Fubini surD{Soit f:DÝÑRune fonction continue, alors D fpx;yqdx dy» b a»dpxq
cpxqfpx;yqdy dxTheoreme de Fubini (suite)
Alternative {
L'ensembleDest decrit parxy
d y c apyqbpyqD px;yq PR2|yP rc;ds;xP rapyq;bpyqs(Theoreme de Fubini surD{ D fpx;yqdx dy» d c»bpyq
apyqfpx;yqdx dyExemple 3: calcul d'integrale double
Exemple {SoitDla partie du planxOydelimitee par l'arc de paraboleyx2en bas, et la droitey1 en haut.xy y1yx21On peut decrireDcomme
D px;yq PR2|xP r1;1s;yP rx2;1s(:Par consequent:
D x2y dx dy»
11x2dx»
1 x 2y dy 1 1x212 y2 1 x 2dx 1 112px2x4qdx 12 13 x315 x5 x1 x1215
Exemple 4: volume de la boule
Exemple {Rappelons que le volume de la boule unitaire estVolpBq 2¼
Da1x2y2dx dy
11D ?1x2?1x2On peut decrireDcomme l'ensemble D! px;yq PR2|xP r1;1s;yPa1x2;a1x2)Voici donc le calcul du volume de la boule:
VolpBq 2»
11dx»
?1x2 ?1x2a1x2y2dy 2» 11dx»
?1x2 ?1x2a1x2d1y21x2dy:On posey?1x2sintpour avoirb1y21x2 |cost|.
Exemple 4: volume de la boule (suite)
y?1x2sint dy?1x2cost dt 2 etb1y21x2costVolpBq 2» 11dx»
?1x2 ?1x2a1x2d1y21x2dy 2»quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] intégrale double changement de variable
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