Chapitre 3 Intégrale double
Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c
Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
3.2 – Intégrales doubles. Dans cette section: ‚ Subdivisions des domaines du plan. ‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables. ‚ Intégrale double.
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
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Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c
Chapitre17 : Intégrale double
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La pile au dessus de (x y) ? ? est de hauteur f(x
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Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l'intégrale. • d'une fonction continue de 2 variables sur une partie fermée bornée du
Chapitre 01 : Intégrales multiples
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LM256 : Analyse vectorielle intégrales multiples
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MPSI Mathématiques Analyse 1 Ismaël Bouya Page 2 II DÉFINITION DE L'INTÉGRALE DOUBLE D'UNE FONCTION CONTINUE ET BORNÉE CHAPITRE 17 INTÉGRALE DOUBLE ‚
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Définition: Intégrale Double • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [cd] (borné connexe de IR2) • f une fonction définie continue sur D
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Cours du Mesures Physiques 2ème semestre Intégrales doubles Calcul d'aires et de volumes Page 49 A Notion d'intégrale double A-I Domaine quarrable
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Les sommes de Riemann Sn(f) convergent vers un nombre réel limite lorsque n tend vers +? On appelle intégrale double de f sur D cette limite et on la note
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18 jan 2023 · On va maintenant définir l'intégrale de f sur le domaine D on va procéder comme en dimension 1 par "découpage et échantillonnage"
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1 1 Qu'est ce qu'une intégrale double ? Soit une fonction réelle f à deux variables x et y Le graphe de f est une surface qui représente les
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Page 1 Les intégrales doubles 1 Définition : On appelle intégrale d'une fonction de deux variables l'intégrale double de la fonction sur le domaine D et
Comment faire une intégrale double ?
Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x, y)dxdy dans l'exemple 3.14 pour la fonction f définie par f(x, y) = x ? y.Comment calculer les intégrales triples ?
L'intégrale triple se résume alors à la quadrature élémentaire sur [-r,r] de la fonction z ? ?(r2 - z2) dont une primitive est z ? ?(r2z -z3/3), fonction impaire de z. Le volume cherché est donc 2?(r3 - r3/3) = 4?r3/3.Comment on calcule une intégrale ?
La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F?(x) = f(x).- L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes. La primitive est la réciproque de la dérivée.
Math S2 PeiP
Chapitre 1
Cours d"intégration
Michel Rumin
Objectifs :
F airequelques rapp elssur l"in tégralede Riemann des fonctions d"une v ariable. Définir la notion d"in tégralem ultiplep ourles fonctions de 2 et 3 v ariables. Donner les tec hniquesde calculs prin cipales: théorème de F ubini,c hangementsde variables classiques (utilisés notamment en physique).1 Rappels en dimension 1
1.1 Sommes de Riemann et intégrale
Soitf:I= [a;b]!Rune fonction continue (éventuellement continue par morceaux sif a un nombre fini de sauts). Étant donné un entiern1, onéchantillonnefrégulièrement, par exemple aux points x k=knqui se trouvent dansI.Définition 1.1.On définit la somme de Riemann defassociée à l"échantillonagefxkg
par S n(f) =1n X fxk=kn2Igf(xk):
Géométriquement,Sn(f)représente l"aire (algébrique) situé entre l"axe des abscisses et
le graphe de la fonction en escalierfnqui est constante égale àf(xk)sur chaque intervalle [xk;xk+1[de largeur1n (et nulle sixk=2I).21 RAPPELS EN DIMENSION 1
Lorsquenest grand, le pas d"échantillonnage1n
est petit, et ces fonctionsfnsont de bonnes approximations deflà oùfest continue, carfoscille peu sur des intervalles de petite longueur. On a le théorème important suivant, qui donne une définition de l"intégrale de Riemann def, ainsi qu"un moyen de l"estimer numériquement (voir cours du S1). Théorème 1.2.Sif: [a;b]!Rest continue par morceaux, alors les sommes de RiemannSn(f)convergent vers un nombre réel limite lorsquentend vers+1. On appelle intégrale defsur[a;b]cette limite, et on la noteZ b a f(x)dx.1.2 Deux interprétations de l"intégraleIntégrale et aire.D"après l"interprétation faite ci-dessus des sommesSn(f), l"intégraleZb
a f(x)dxse "voit» comme l"aire algébrique située entre le graphe defet l"axe des abscisses (comptée+sifest positive,sinon). +y=f(x)abSifest positive, on a : Z b a f(x)dx= Aire(x;y)2R2jaxbet 0yf(x):(1)1.2 Deux interprétations de l"intégrale3Cette propriété est évidement très utile car nous avons une intuition de ce qu"est l"aire
d"un domaine du plan et de ses propriétés principales. Mais cette idée sera beaucoup moins intéressante pour construire et comprendre l"intégrale de fonctions de 2 et 3 variables. En effet, une intégrale d"une fonction de 2 variables s"interprétera à l"aide d"un volume d"un domaine deR3(pas toujours facile à voir!), et pire, l"intégrale d"une fonction de 3 variables sera liée à un " hypervolume » en dimension 4, et là on ne voit plus rien! En résumé, mathématiquement, il faut plutôt considérer (1) comme un moyen de calcul d"un objet2D: l"aire d"un domaine du plan, à l"aide d"un objet1D: l"intégrale d"une fonction sur un intervalle, plutôt que l"inverse. 1 L"intégrale comme mesure, ou " pesée », d"une fonction.L"autre interprétation del"intégrale, qui se généralisera bien en toute dimension, est liée physiquement à la notion de
peséed"une barreI= [a;b]constitué d"un matériau de densité variablef(x). Cela signifie que la massemde d"une petite longueurxautour dexest mf(x)x:(2)Problème.Comment mesurer la masse totale de la barreI= [a;b]?On peut découper la barreIen des tas de petits morceaux de taillex= 1=n, par exemple
suivant les[xk=kn ;xk+1=k+1n [(avec éventuellement 2 morceaux incomplets aux bouts deI). La masse deIdoit être bien sûr2la somme des masses des morceaux, c"est à dire d"après
(2) masse(I) =Xm kX x k2If(xk)n =Sn(f):C"est précisément la définition des sommes de Riemann def, et le théorème 1.2 nous assure
que ce procédé de découpage et d"échantillonage converge vers l"intégrale defpourn!+1:
masse(I) =Z b af(x)dx:Cette idée dedécoupage et d"échantillonagese généralisera bien pour les fonctions
de plusieurs variables. Pour peser une plaque ou un solide de densité variablef, on peut le découper en petit morceaux, estimer la masse de chaque morceau en prenant une valeurdefsur celui-ci, et faire la somme des résultats.1. Cette formule est un cas particulier duthéorème de Fubini, que l"on verra plus loin.
2. Est-ce vraiment clair? Par exemple, la masse du noyau n"estpasla somme des masses de ces protons
et de ces neutrons! :-O41 RAPPELS EN DIMENSION 11.3 Propriétés élémentaires de l"intégrale simple
Il découle directement de la définition par sommes de Riemann et le théorème 1.2, quel"intégrale vérifie les propriétés suivantes (les fonctions sont supposées continues par mor-
ceaux) :Proposition 1.3.1.Croissance.Sifg, alorsRb af(x)dxRb ag(x)dx.2.Additivité par découpage, ou relation de Chasles.
Siabcetf: [a;c]!R, alorsRc
af(x)dx=Rb af(x)dx+Rc bf(x)dx.3.Calibrage.Rb
acdx=c(ba).4.Linéarité.Sifetg: [a;b]!Retk2R, alors
Z b a (f(x) +kg(x))dx=Z b a f(x)dx+kZ b a g(x)dx: Démonstration.Laissée en exercice. Les propriétés 1 et 4 sont satisfaites directement auniveau des sommes de Riemann, tandis que 2 et 3 demandent une petite vérification.Remarques.La propriété 1 est très utile pour estimer les intégrales " incalculables ».
Par exemple, on a pourx0:
Z x 0dte t+ 1Z x 0dte t= 1ex; x 22xZ x 0 (t+ sin(t2))dtx22 +x:
Siba, on pose par conventionRb
af(x)dx=Ra bf(x)dx. Dans ce cas, la relation de Chasles est satisfaite pour tous lesa,betc, quelque soit leur ordre. On peut montrer que l"intégrale estl"uniqueapplication qui satisfait les propriétés 1,2 et 3. Ce sont celles que l"on attend de la mesure d"une quantité comme la masse (ou la
charge) totale d"une barre de densitéf: -croissance: la masse croît avec la densité, -relation de Chasles: la masse totale est préservée par découpage, -calibrage: la masse d"une barreI= [a;b]de densité constantecestc(ba).Les propriétés 2 et 3 déterminent l"intégrale sur les fonctions en escalier, et la propriété 1 per-
met d"encadrer aussi précisément que souhaité l"intégrale d"une fonction continue quelconque
par celles de fonctions en escalier.Ces propriétés élémentaires auront des équivalents directs pour l"intégrale multiple des
fonctions de 2 et 3 variables. Ce n"est pas le cas des propriétés suivantes, spécifiques à la
dimension 1.1.4 Intégrale, primitive et dérivée51.4 Intégrale, primitive et dérivée
En dimension 1, intégration et dérivation sont en quelque sorte des opérations inverses l"une de l"autre. Théorème 1.4." Théorème fondamental de l"analyse ». 1. Soit f:I= [a;b]!R(ouC)une fonction continue. Alors la fonctionF:x2I7!F(x) =Z
x a f(t)dt est dérivable surIet on aF0(x) =f(x). On dit queFest uneprimitivedefsur I. 2. Si G:I!Rest une (autre) primitive defsurI, c"est-à-dire siGest dérivable surIavecG0=f, alorsGFest constante. Plus précisément, on a pourx2I,G(x) =G(a) +Z
x a f(t)dt:Démonstration.Rappels, voir cours S1.1. D"après Chasles, on aF(x+h)F(x) =Rx+h
xf(t)dt. D"où, en écrivanthf(x) =Rx+h xf(x)dt, on aF(x+h)F(x)h
f(x) =1h Z x+h x (f(t)f(x))dt; d"où,F(x+h)F(x)h
f(x)sup jtxjhjf(t)f(x)j !0 pourh!0; par continuité defenx.2. On aF0=G0=f, d"où(GF)0= 0etGFest constante=CsurIpar le théorème
des accroissements finis. Pourx=a, on obtientC=G(a)F(a) =G(a).Cet énoncé permet de calculer les intégrales des fonctions dont on connaît une primitive.
Par exemple :
k1,(xk)0=kxk1=)Z b a xk1dx=1k [xk]ba, sin0= cos =)Z b a cosxdx= [sinx]ba, (lnx)0=1x sur]0;+1[ =)Z b adxx = lnblna, pour0< ab,61 RAPPELS EN DIMENSION 1etc... Voir cours S1.
Les corollaires suivants du théorème fondamental 1.4 sont très importants car ils sont àla base des principales méthodes de calcul des intégrales : revoir le cours du S1 et le début
de la feuille 1 de TD pour quelques applications.Corollaires 1.5.1.Intégrale d"une dérivée.Sifest de classeC1sur[a;b], alors
Z b a f0(x)dx=f(b)f(a);2.Intégration par parties.Pourfetgde classeC1sur[a;b]
Z b a f(x)g0(x)dx=Z b a f0(x)g(x)dx+f(b)g(b)f(a)g(a);3.Changement de variables.Si': [a;b]!Rest de classeC1etfest continue sur
l"intervalle'([a;b])alors on a : Z b a f('(x))'0(x)dx=Z '(b) '(a)f(y)dy : Autrement dit, siy='(x)est la nouvelle variable, alors "dy='0(x)dx». Démonstration.1.fest une primitive def0et le théorème 1.4 s"applique.2.(fg)0=f0g+fg0par Leibniz. Alors par 1,
Z b a (fg)0(x)dx=f(b)g(b)f(a)g(a) =Z b a (f(x)g0(x) +f0(x)g(x))dx: 3.On considère la fonction :x2[a;b]7!Z
'(x) '(a)f(y)dy. On a (x) = (F')(x)(F')(a) avecF(x) =Z x a f(t)dt: D"où, 0(x) ='0(x)F0('(x)) ='0(x)f('(x)), et en intégrant Z b a0(x)dx= (b) (a) =Z
'(b) '(a)f(y)dy=Z b a '0(x)f('(x))dx: 72 Fonctions de plusieurs variables et domaines réguliers
On rentre maintenant dans le vif du sujet. On voudrait d"abord décrire et apprendre à représenter les domaines du planR2et de l"espaceR3sur lesquels on va intégrer des fonctions de 2 (resp. 3) variables. Ce problème de domaine ne se posait pas vraiment en dimension 1 : on y intègre les fonctions définies sur des intervalles. Par contre, les domaines deR2etR3peuvent être beaucoup plus compliqués en général!Quelques dessins.
2.1 Domaines réguliers
On va travailler avec des parties (ou domaines)Dqui sont définies par un nombre fini de conditions. Ils se présentent sous la forme : D=f(x;y)2R2tels quef1(x;y)0etf2(x;y)0 etfn(x;y)0gdansR2; D=f(x;y;z)2R2tels quef1(x;y;z)0 etf2(x;y;z)0 etfn(x;y;z)0gdansR3:Les signes des inégalités, ni les constantes, n"ont pas vraiment d"importance (quitte à rem-
placer lesfipargi=cfi, on afic,gi0).Voici quelques exemples dans le plan :
D1=f(x;y)2R2; x+y1g;
D2=f(x;y)2R2;0y ;0x3; x+ 22yg;
D3=f(x;y)2R2; x2+ 2xyx+ 2g;
D4=f(x;y)2R2;1x2+y24; x+y0g:
On constate que ces domaines sont délimités par une collection finie des courbes du type y=f(x)oux=f(y)qui correspondent aux cas d"égalité dans les inégalités.82 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES ET DOMAINES RÉGULIERSEn pratique,pour dessiner un domaine
D=f(x;y)2R2; f1(x;y)0; f2(x;y)0;; fn(x;y)0g;
on procède de la façon suivante. 1. P ourc haqueide1àn, on trace la courbefi(x;y) = 0. Elle délimite 2 parties du planfi(x;y)0etfi(x;y)0. 2. On rep èrela partie fi(x;y)0, par exemple en testant si un point donné y est ou non. On la hachure (par exemple). 3. On prend l"intersectiondes domaines hachurés obtenus. En théorie, ce procédé pourrait ne pas marcher à tous les coups pour des fonctions peu régulières ou présentant certaines dégénérescences3. De plus, les domaines définis ainsi ne
sont pas nécessairement bornés : par exemple le demi-planD1ci-dessus ne l"est pas, et on ne pourra pas définir simplement une intégrale dans un tel cas.Pour éviter ces problèmes, on se restreindra à une catégorie de domaines que l"on appellera
réguliersici. Remarque2.1.Attention, la terminologie qui suit n"est pas du tout universelle. Elle sertseulement à fixer les idées dans ce cours, et à donner des énoncés mathématiquement justes
sans rentrer dans des détails trop techniques!Définition 2.2.On dit qu"un domaineDdeR2estréguliersiDse décompose (se
découpe) en une réunion finie de domainesélémentairesEdu typeE=f(x;y)2R2; axb; f(x)yg(x)g(3)
ouE=f(x;y)2R2; ayb; f(y)xg(y)g;(4) avecfetgcontinues sur[a;b]. Les domaines élémentaires se présentent : soit en pilesau dessus des abscisses pour (3), soit en tranchespour (4).quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31[PDF] intégrale double changement de variable
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