[PDF] Sommaire Figures 1. Intégrales doubles





Previous PDF Next PDF



Chapitre 3 Intégrale double

Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c



Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

3.2 – Intégrales doubles. Dans cette section: ‚ Subdivisions des domaines du plan. ‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables. ‚ Intégrale double.



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a



Intégrales doubles et triples - M—

Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c



Chapitre17 : Intégrale double

4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre17 : Intégrale double II Définition de l'intégrale double d'une fonction continue et bornée.



Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration

La pile au dessus de (x y) ? ? est de hauteur f(x



Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l'intégrale. • d'une fonction continue de 2 variables sur une partie fermée bornée du 



Chapitre 01 : Intégrales multiples

Intégrales doubles : 1. Principe de l'intégrale double sur un rectangle : Soit la fonction réelle des deux variables x et y 



Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l'intégrale. • d'une fonction continue de 2 variables sur une partie fermée bornée du 



LM256 : Analyse vectorielle intégrales multiples

Cours de 21h donné aux étudiants de physique en deuxi`eme année. 2007-2008 3.4 Intégrale curviligne le long d'une courbe . ... 4.1 Intégrale double .



[PDF] Chapitre 3 Intégrale double

Intégrale double Nous allons supposer le plan usuel R2 muni d'un repère orthonormé (Oi j ) 3 1 Aperçu de la définition formelle de l'intégrale double



[PDF] Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

3 2 – Intégrales doubles Dans cette section: ‚ Subdivisions des domaines du plan ‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables ‚ Intégrale double



[PDF] Chapitre17 : Intégrale double - Melusine

MPSI Mathématiques Analyse 1 Ismaël Bouya Page 2 II DÉFINITION DE L'INTÉGRALE DOUBLE D'UNE FONCTION CONTINUE ET BORNÉE CHAPITRE 17 INTÉGRALE DOUBLE ‚ 



[PDF] Intégrales doubles et triples - M—

Définition: Intégrale Double • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [cd] (borné connexe de IR2) • f une fonction définie continue sur D 



[PDF] Intégrales de fonctions de plusieurs variables - Mathématiques

Théoreme 9 2 1 (Intégrale double et volume sous le graphe) Soit f une fonction de deux variables et D une région bornée du plan R2 délimitée par une 



[PDF] Intégrales doubles Calcul daires et de volumes

Cours du Mesures Physiques 2ème semestre Intégrales doubles Calcul d'aires et de volumes Page 49 A Notion d'intégrale double A-I Domaine quarrable



[PDF] Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration

Les sommes de Riemann Sn(f) convergent vers un nombre réel limite lorsque n tend vers +? On appelle intégrale double de f sur D cette limite et on la note



[PDF] Intégrale double

18 jan 2023 · On va maintenant définir l'intégrale de f sur le domaine D on va procéder comme en dimension 1 par "découpage et échantillonnage"



[PDF] Chapitre 1 Intégrales doubles et probabilités

1 1 Qu'est ce qu'une intégrale double ? Soit une fonction réelle f à deux variables x et y Le graphe de f est une surface qui représente les



[PDF] Résumé sur les intégrales doubles - opsuniv-batna2dz

Page 1 Les intégrales doubles 1 Définition : On appelle intégrale d'une fonction de deux variables l'intégrale double de la fonction sur le domaine D et 

  • Comment faire une intégrale double ?

    Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x, y)dxdy dans l'exemple 3.14 pour la fonction f définie par f(x, y) = x ? y.

  • Comment calculer les intégrales triples ?

    L'intégrale triple se résume alors à la quadrature élémentaire sur [-r,r] de la fonction z ? ?(r2 - z2) dont une primitive est z ? ?(r2z -z3/3), fonction impaire de z. Le volume cherché est donc 2?(r3 - r3/3) = 4?r3/3.

  • Comment on calcule une intégrale ?

    La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F?(x) = f(x).
  • L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes. La primitive est la réciproque de la dérivée.

Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire

1. Intégrales doubles1

1.1. Description hiérarchisée du domaine.

. . 1

1.2. Intégrale double

. . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Théorème de Fubini

. . . . . . . . . . . . 2

1.4. Un cas particulier

. . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6. Changement de variables

. . . . . . . . . 4

1.7. Coordonnées polaires

. . . . . . . . . . . 4

2. Intégrales triples6

2.1. Description hiérarchisée du domaine

. . 62.2. Changement de variables. . . . . . . . . 6

2.3. Coordonnées cylindriques

. . . . . . . . . 6

2.4. Coordonnées sphériques

. . . . . . . . . 6

3. Calculs divers8

3.1. Aire ou volume

. . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Masse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3. Centre d"inertie

. . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4. Moments d"inertie

. . . . . . . . . . . . . 10

3.5. Colbert, lycée numérique

. . . . . . . . . 10Figures

1 Intégrale double

. . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Théorème de Fubini

. . . . . . . . . . . . . 3

3 Coordonnées Polaires

. . . . . . . . . . . 5

4 Intégrale double en polaires

. . . . . . . . 5

5 Intégrale triple

. . . . . . . . . . . . . . . . 76 Coordonnées Cylindriques. . . . . . . . . 8

7 Intégrale triple en cylindriques

. . . . . . 9

8 Coordonnées Sphériques

. . . . . . . . . 10

9 Intégrale triple en sphériques

. . . . . . . 11

10 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale

d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.

1. Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée de‘2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée de‘2:

l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet

8x2[a;b],u(x)6v(x), avec

(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure1 , page suivante.

On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2

variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]

y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 2Intégrales doubles et triplesy

xΔ a b x u(x)v(x)

OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné de‘2Définition :fcontinue sur, un fermé borné de‘2, si on dispose d"une description hiérarchisée

de, on appelle intégrale double defsur:

I =†

f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x)

u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées

Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =124

1.3. Théorème de Fubini : inversion des bornesThéorème :

Si on a par ailleurs : (x;y)2,8

>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0

BBBB@Z

(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure2 , page suivante.

Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 3y

xΔ cd y

(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est différent, mais le résultat est le

même.

1.4. Un cas particulier

On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c (y)dy

Ainsi, dans ce cas :

'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy

1.5. Propriétés

a/ Linéarité

Théorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné de‘2, on dispose d"une description hiérarchisée de

.etdeux réels. Alors :† f(x;y) +g(x;y)dxdy=† f(x;y) dxdy+†

g(x;y) dxdyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 4Intégrales doubles et triplesb/ Positivité

Théorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné de‘2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de. Alors :† f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domaines

Théorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés de‘2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :†

1[2f(x;y) dxdy=†

1f(x;y) dxdy+†

2f(x;y) dxdy

Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :...

Df(x;y) dxdy6...

f(x;y) dxdy

1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts de‘2.

D etdeux fermés bornés de‘2, DU, et,V.

De plus :'(D)=.

On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.

On note :

(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.

Alors :†

f(x;y) dxdy=† D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.

On rappelle que :

D(x;y)D(u;v)=

€x€u

€x€v

€y€u

€y€v

Notons qu"on fait un changement de variable :

pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées. Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.

1.7. Changement de variables en coordonnées polairesThéorème :On pose8

>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy=† g(;)dd=† f(cos;sin)ddCeci est illustré sur la figure3 , page ci-contre.

Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 5y

x M xy OFigure 3 -Coordonnées PolairesDémonstration :En effetD(x;y)D(;)=

€x€€x€

€y€€y€

cossin sin cos =>0La figure4 , ci-dessous, indique le mode de calcul. yquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
[PDF] intégrale multiple exercice corrigé

[PDF] intégrale double changement de variable

[PDF] cours sur les intégrales doubles et triples pdf

[PDF] aire d'un pavé droit

[PDF] aire parallélogramme formule

[PDF] aire pavé droit

[PDF] l'aire d'un rectangle

[PDF] l'aire d'un carré

[PDF] aire d'un triangle trigonométrie

[PDF] aire du triangle rectangle formule

[PDF] formule trigonométrique triangle quelconque

[PDF] formule triangle perimetre

[PDF] formule triangle rectangle

[PDF] aire triangle quelconque sans hauteur

[PDF] formule aire losange