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Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
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Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
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Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c
Chapitre17 : Intégrale double
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La pile au dessus de (x y) ? ? est de hauteur f(x
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Chapitre 01 : Intégrales multiples
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LM256 : Analyse vectorielle intégrales multiples
Cours de 21h donné aux étudiants de physique en deuxi`eme année. 2007-2008 3.4 Intégrale curviligne le long d'une courbe . ... 4.1 Intégrale double .
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MPSI Mathématiques Analyse 1 Ismaël Bouya Page 2 II DÉFINITION DE L'INTÉGRALE DOUBLE D'UNE FONCTION CONTINUE ET BORNÉE CHAPITRE 17 INTÉGRALE DOUBLE ‚
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Définition: Intégrale Double • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [cd] (borné connexe de IR2) • f une fonction définie continue sur D
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Théoreme 9 2 1 (Intégrale double et volume sous le graphe) Soit f une fonction de deux variables et D une région bornée du plan R2 délimitée par une
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Cours du Mesures Physiques 2ème semestre Intégrales doubles Calcul d'aires et de volumes Page 49 A Notion d'intégrale double A-I Domaine quarrable
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Les sommes de Riemann Sn(f) convergent vers un nombre réel limite lorsque n tend vers +? On appelle intégrale double de f sur D cette limite et on la note
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18 jan 2023 · On va maintenant définir l'intégrale de f sur le domaine D on va procéder comme en dimension 1 par "découpage et échantillonnage"
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1 1 Qu'est ce qu'une intégrale double ? Soit une fonction réelle f à deux variables x et y Le graphe de f est une surface qui représente les
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Page 1 Les intégrales doubles 1 Définition : On appelle intégrale d'une fonction de deux variables l'intégrale double de la fonction sur le domaine D et
Comment faire une intégrale double ?
Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x, y)dxdy dans l'exemple 3.14 pour la fonction f définie par f(x, y) = x ? y.Comment calculer les intégrales triples ?
L'intégrale triple se résume alors à la quadrature élémentaire sur [-r,r] de la fonction z ? ?(r2 - z2) dont une primitive est z ? ?(r2z -z3/3), fonction impaire de z. Le volume cherché est donc 2?(r3 - r3/3) = 4?r3/3.Comment on calcule une intégrale ?
La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F?(x) = f(x).- L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes. La primitive est la réciproque de la dérivée.
Michel
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simples1-Intégrale double2-Intégrales triplesIntégrales doubles et triples - M-Michel Fournié
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simplesRappelsApproximation
1-Intégrale
double2-Intégrales triples0- Intégrales simples (rappel)Définition : Intégrale définie
•Soitfdéfinie continue surI= [a,b]telle quef(x)>000.511.522.530.5 1 1.5 2 2.5
x•On peut alorsdélimiter une surfacepar : le graphe def, l"axeOx, les droitesx=a,x=b, puislui associer un nombre réel notéSappelé aire de la surface (l"unité de mesure étant un cube de coté 1). 2/27 M-Michel
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simplesRappelsApproximation
1-Intégrale
double2-Intégrales triplesValeurs approchées - Intégrale définie •Une valeur approchéeIndeSpeut être obtenue en partageantIennparties égales x0=a,···,xk=a+kb-an
,···,xn=b,Δxi=xi+1-xiSubdivision avec n=5
(b-a)/n b a00.511.522.53
0.5 1 1.5 2 2.5
x•et en calculant lasomme des aires des rectangles de base b-an et de hauteurs f(x1),···,f(xn): I n=b-an [f(x1) +···+f(xk) +···+f(xn)] Valeur approchée =5.470628265Valeur exacte =5.44366427300.511.522.53
0.5 1 1.5 2 2.5
xDéfinition (Propriété admise):Sifestcontinuesur[a,b]alors limn→+∞n
i=1f(xi)Δxi=I(f). I(f)sera appeléeintégrale définiede la fonctionfcontinue entre les bornesaetb3/27 M-Michel
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.1- Intégrale DoubleDéfinition:Intégrale Double
•Dun domaine inscrit dans le rectangle[a,b]×[c,d](borné, connexe deIR2),•fune fonction définie continue surD(prolongée par zéro à l"extérieur deD)•on subdivise[a,b]ennparties
{x0=a,x1,...,xi,...,xn=b},Δxi=xi-xi-1•on subdivise[c,d]enmparties?y0=c,y1,...,yj,...,ym=d?,Δyj=yj-yj-1•r
ij= [xi-1,xi]×[yj-1,yj]un rectangle élémentaire ainsi on a subdiviséDenn×mparties(rij)i,j•l"intégrale defsurDest définie parI(f) =??
D i=1m j=1f(xi,yj) ΔxiΔyj4/27 M-Michel
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.2- Interprétation graphique •S fsurface représentative defdans un repère orthonormé•p ij= [xi-1,xi]×[yj-1,yj]×[0,f(xi,yj)]un parallélépipède élémentaire etvij=f(xi,yj) ΔxiΔyjle volume depijI(f) =??
D i? jv ij=volume de V •V est le volume intérieur au cylindre droit de sectionD limité par la surfaceSfd"équation z=f(x,y) et le planz=0Cas particulier:Sif(x,y) =1 alors??
Ddxdy=aire deD.
ds=dxdyest l"élément d"aire en coordonnées cartésiennes 5/27 M-Michel
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1) Calcul de l"Intégrale Double1)- Première Décomposition
•Dun domaine borné deIR2de frontièreΓDintersectée au plus en deux points par toute droite d"équationx=cte,(ΓDest continuement différentiable sauf en un nombre fini de points)•(rij)i,june subdivision deDen rectangles élémentaires•si f est une fonction de deux variables définie et continue
surD, l"intégrale double de f surDest définie par:I(f) =??
D f(x,y)dxdy =limr ij?D? i? jf(xi,yj)ΔxiΔyj b a? ?y2(x) y1(x)f(x,y)dy?
dx•[a,b]est la projection orthogonale deDsur(Ox)•[y1(x),y2(x)]est l"intersection deDavec la droitex=cte6/27
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesPremière Décomposition (démo)Partant deI(f) =lim?
i(lim? jf(xi,yj)Δyj)Δxi on remarque que lim? jf(xi,yj)Δyj=? y2(xi) y1(xi)f(xi,y)dy=A(xi)d"où
I(f) =lim?
iA(xi)Δxi=? b aA(x)dx
I(f) =??
D f(x,y)dxdy=? b a? ?y2(x) y1(x)f(x,y)dy?
dx 7/27 M-Michel
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesExempleCalculerI=??
D x dxdyavec D=? I=? 1 0? ?2x 0 x dy? dx=? 1 0 x[y]2x 0dx I=? 1 02x2dx=?2x33
1 0 =23 8/27 M-Michel
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples2) Deuxième Décomposition •Dun domaine borné deIR2de frontièreΓDintersectée au plus en deux points par toute droite d"équationy=cte,(ΓDest continuement différentiable sauf en un nombre fini de points)•(rij)i,june subdivision deDen rectangles élémentaires•si f est une fonction de deux variables définie et continue
surD, l"intégrale double de f surDest définie par:I(f) =??
D f(x,y)dxdy =limr ij?D? i? jf(xi,yj)ΔxiΔyj d c? ?x2(y) x1(y)f(x,y)dx?
dy•[c,d]est la projection orthogonale deDsur(Oy)•[x1(y),x2(y)]est l"intersection deDavec la droitey=cte9/27
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesDeuxième Décomposition (démo)Partant deI(f) =lim?
j? lim? if(xi,yj) Δxi?Δyj
on remarque que lim? if(xi,yj) Δxi=? x2(yj) x1(yj)f(x,yj)dx=B(yj)d"où
I(f) =lim?
jB(yj) Δyj=? d cB(y)dy
I(f) =??
D f(x,y)dxdy=? d c? ?x2(y) x1(y)f(x,y)dx?
dy 10/27 M-Michel
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesExempleCalculerI=? ?
D x dxdyavec D=? ,1? I=? 2 0? ?1 y2 x dx? dy=? 2 0? x22 1 y2 dy I=12? 2 0 (1-y24 )dy=12? y-y312? 2 0 =23 11/27 M-Michel
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simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.4- Propriétés de l"Intégrale Double Elles découlent de celles de l"intégrale simple. Pourfetgintégrables surD.a) Propriétés liées à la fonctionI(f+g) =I(f) +I(g)etI(λf) =λI(f)?λ?IR
sif≥0=?I(f)≥0b) Propriétés liées au domaine si(D1?D2) =Det si l"aire de(D1∩D2)est nulle=??? D f(x,y)dxdy=?? D1f(x,y)dxdy+??
D2f(x,y)dxdy12/27
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graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
l"Intégrale Double2) DeuxièmeDécomposition1.4- Propriétés de
l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.5- Changement de variables dans l"intégrale doublea) Rappel sur l"intégrale simple Soit?une application de[t1,t2]sur[a,b], dérivable etinversible, on posex=?(t) b a f(x)dx=? t2 t1f[?(t)]??(t)dtoù?(t1) =aet?(t2) =b
L"expression suivante est équivalente à celle ci-dessus. b a f(x)dx=? [a,b]f(x)dx=? -1([a,b])f[?(t)]|??(t)|dt Remarque:Suivant le signe de??(t),?-1([a,b]) = [t1,t2] ou[t2,t1], ce qui conduit à??(t)×(t2-t1)>0 pour(aMichelFourniéO- Intégrales
simples1-Intégrale double1.1- Définition1.2-Interprétation
graphique1)- PremièreDécomposition1.3- Calcul de
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