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Changement de Variables dans les Integrales Multiples

Frederic Messine

8 novembre 2010

1 Introduction

Dans cette note de cours, nous aborderons les changements de variables dans les integrales multiples. Le changement de variables est un procede qui consiste a remplacer des variables par de nouvelles. C'est une methode tres utilisee en analyse pour la resolution d'integrales. La premiere partie rappelle les notions de changement de variable dans le cas d'integrales simples et ensuite nous verrons comment l'etendre au cas du changement de variable dans les integrales multiples au moyen de la matrice Jaccobienne introduite au Chapitre 2 du cours sur les fonctions de plusieurs variables. Il faut juste retenir le theoreme fondamental

2, qui vous sera utile par la suite.

2 Changement de Variable-Cas d'Integrales Simples

Soitfune fonctionC1deIRdansIR, si l'on a

Z f

0(x)dx

en posantu=f(x) comme changement de variable l'on obtiendra: Z du= [u] D'ou le si l'on consideref(g(x)) (avecgune fonctionC1deIRdansIR) l'on va avoir que Z f

0ogdg=Z

d(fog) = [fog] Ceci vient du theoreme de la derivation des fonctions composees.

Formalisons les principes enonces ci-dessus:

Theoreme 1Soitfune fonction continue deDIRdansIRet soitune fonction de classeC1de[a;b]dansIR, etIm(f)D, alors Z (b) (a)f(x)dx=Z b a f((t))0(t)dt: 1 On va montrer dans la preuve que c'est base sur la derivation des fonctions composees.

Preuve:

SoitFune primitive defsurD. On a que la fonction composeeFoest derivable et la derivee est: (Fo)0= (fo)0 D'ou Zb a f((t))0(t)dt=Z b a ((fo)0)(t)dt=Z b a (Fo)0(t)dt= [Fo]ba=F((b))F((a))

Et l'on a que

F((b))F((a)) =Z

(b) (a)f(x)dx Ce qui demontre bien notre theoreme de changement de variable. Pour illustrer ce theoreme, considerons l'exemple suivant:

Exemple 1SoitZ2p

p

2xcos(x2)dx

on poseu=x2(attentionuest en fait une fonction dex)et doncdu= 2xdx. Commex varie depa2pon auqui va varier dea4(caru=x2).

Ainsi on obtient que:

Z 2p p

2xcos(x2)dx=Z

4 cos(u)du= [sin]4= sin(4)sin() = 0 On voit ainsi sur cet exemple l'utilite du changement de variable dans le calcul integral. Cette utilite se retrouve egalement dans les changements de variables pour les integrales multiples. Remarque 1Utilisons maintenant notre theoreme dans le cas ouest monotone crois- sante ou decroissante sur[a;b](ce qui est tres souvent le cas): {est croissante sur[a;b], alors(a)(b)et l'on retrouve l'egalite de notre theoreme:Z(b) (a)f(x)dx=Z b a f((t))0(t)dt: {est decroissante sur[a;b], alors(b)(a)et l'on a0(x)0et donc: Z (b) (a)f(x)dx=Z (a) (b)f(x)dx=Z a b f((t))0(t)dt=Z b a f((t))j0(t)jdt:

Et donc dans les deux cas l'on a que

Z (b) (a)f(x)dx=Z b a f((t))j0(t)jdt: C'est cette derniere equation (avec la valeur absolue) qui va ^etre utilisee pour generaliser au cas des integrales multiples. 2

3 Changement de Variable-Cas d'Integrales Multiples

Maintenant, soitfune fonction de plusieurs variables a valeur reelle, donc deDIRn dansIR. Soit une fonction bijective de classeC1ainsi que sa fonction reciproque 1. SoitTIRnle domaine ou est denie et estC1. On doit avoir (T)D, c'est a dire que est une fonction de plusieurs variables deIRndansIRn. Ainsi par notations on a bien queTIRn, mais il peut ne pas ^etre forcement un rectangle (changement en coordonnees polaires ou cf exemple ci-dessous), et de plus l'on a (t) =0 B BB@ 1(t)

2(t)...

n(t)1 C CCA:

Ainsi (T) va denir le domaine d'integration.

Dans le cas particulier, oun= 2, on a le theoreme suivant: Theoreme 2Avec les hypotheses surfet surexplicitees en debut de ce paragraphe, l'on a: Z Z (T)f(x;y)dxdy=Z Z T f((u;v))jdet(J(u;v))jdudv OuJest la matrice Jacobienne de la fonction . Commen= 2, est une fonction de deux variables (iciuetv) et a valeur dansIR2. Ainsi, sa matrice Jacobienne est de dimension 22. En fait, ce qui est nouveau ici est que l'on va prendre la valeur absolue du determinant de cette matrice JacobienneJ.

Remarque 2Dans les cas simples on auraR R

T=Rb1 a 1R b2 a

2etR R

(T)=R1(b1)

1(a1)R

2(b2)

2(a2),

mais cela n'est pas toujours le cas, cf l'exemple suivant. Dans le cas general oun2, on obtient sensiblement le m^eme theoreme: Theoreme 3Avec les hypotheses surfet surexplicitees en debut de ce paragraphe, l'on a: Z Z Z (T)f(x)dx1dxn=Z Z Z T f((u))jdet(J(u))jdu1dun; oux= (x1;;xn) etu= (u1;;un). A part des dierences sur les notations, c'est le m^eme theor^eme que precedemment. On remarque que bijective va remplacerdans les integrales simples et quej0jva devenir la valeur absolue du determinant de la matrice Jacobienne de .

Exemple 2Soit l'integrale double suivante:

I=Z 2 0Z 0 sin(x+y) + cos(x2y)dxdy L'idee est de poseru=x+yetv=x2ydans le but de simplier les calculs; m^eme si l'on verra que ce n'est pas forcement le cas et que le calcul direct suivant est nalement assez 3 facile. Ceci est un exercice pour vous montrer comment cela marche sur un exemple qui a l'air simple mais qui ne l'est pas tant que cela; d'habitude, on vous pose le changement de variable a faire et tout vient assez naturellement et intuitivement car l'exercice est bien fabrique par le professeur mais ce n'est pas toujours le cas dans la "vraie vie". Le but de cet exercice est d'eclairer certaines parties qui sont en general sous entendues: notamment comment l'on passe de(T)connu (ici[0;][0;2 ]) aT.

R esolutiondans le c asdir ect:

I=Z 2 0Z 0 sin(x+y) + cos(x2y)dxdy Z 2

0[cos(x+y)]x=x=0+ [sin(x2y)]x=x=0dy

Z 2

0cos(+y) + cos(y) + sin(2y)sin(2y)dy

Z 2

02cos(y) + 2sin(2y)dy

= [2sin(y)]2

0[cos(2y)]2

0= 2 + 2 = 4

On obtient nalement la valeur4assez facilement.

Changement de variable:

On pose doncu=x+yetv=x2yet l'on a

(T) =[0;] [0;2

On a en fait

(u;v) =1(u;v)

2(u;v)

23
u+13 v uv3 D'ou f((u;v)) =f(23 u+13 v;uv3 ) = sin(u) + cos(v) et l'on retombe bien sur la simplication que l'on voulait avoir. En appliquant le theoreme du changement de variable, l'on obtient: I=Z Z T sin(u) + cos(v)jdetJ(u;v)jdudv

Or on a:

J (u;v) = @1@u 1@v @2@u 2@v 23
13 13 13 D'ou, jdetJ(u;v)j=23quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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