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Changement de variables dans les intégrales

en théorie de Borel-Lebesgue

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1. Motivation et énoncé du théorème

En dimension1, à savoir sur la droite numériqueR, la formule de changement de va- riable dans une intégrale riemannienne s"exprime le plus souvent dans une circonstance différentiable bijective. Théorème 1.1.Soit un intervalle[a;b]Ravec1< a < b <1, soit': [a;b]!R une applicationC1avec'0(x)>0pour toutx2[a;b], d"où le difféomorphisme : '[a;b]='(a); '(b); avec1< '(a)< '(b)<1. Alors pour toute fonction Riemann-intégrable f: ['(a);'(b)]!C, la composéef'est aussi Riemann-intégrable et : Z '(b) '(a)f(t)dt=Z b a f'(x)'0(x)dx: Lorsque'0<0, cette formule est tout aussi satisfaite. En prenantf1, on retrouve la formule fondatrice du calcul intégral : '(b)'(a) =Z b a '0(x)dx: Question 1.2.Comment généraliser cette formule àRden dimension quelconqued>1, dans le cadre de la théorie de l"intégration de Borel et Lebesgue? Soit doncd>1, soient deux ouvertsURdetVRd, et soit : ':U!V un difféomorphisme de classeC1. Six= (x1;:::;xd)sont les coordonnées canoniques sur l"espace-sourceRdU, et siy= (y1;:::;yd)sont les coordonnées sur l"espace-but R dV, un tel difféomorphisme s"écrit : y

1='1(x1;:::;xd); :::::::::; yd='d(x1;:::;xd);

1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sudoù les fonctions'1;:::;'d:U!Rsont de classeC1, et le fait que'= ('1;:::;'d)

est un difféomorphisme s"exprime alors par l"hypothèse que'est bijectif ainsi que par la non-annulation de sondéterminant jacobien :

Jac'(x) :=

1@x

1@'1@x

d......... d@x

1@'d@x

d (x); en tout pointx2U. Le Théorème d"inversion locale montre que l"inverse'1:V!Uest aussi un dif-

féomorphisme de classeC1. L"énoncé principal de ce chapitre, qui requérera une démons-

tration longue et endurante, révèle comment changer les variables dans les intégrables en dimensiond>1.

Théorème 1.3.

[Changement de v ariables]Soit':U!Vun difféomorphismeC1 entre deux ouvertsURdetVRd. Alors pour toute fonction mesurablef:V!C, la composéef': U '!Vf!C est aussi mesurable, et sifest de plus Lebesgue-intégrable,f'est aussi Lebesgue- intégrable avec la formule : Z V f(y)dy=Z U f'(x)Jac'(x)dx: La présence d"une valeur absolue dans cette formule de changement de variables en di- mension quelconqued>1provient du fait que les mesures de Lebesguedx=dx1dxd sur leRd-source etdy=dy1dydsur leRd-but ont étéab initiodéfinies comme positives (à la physicienne), contrairement audxriemannien surRen dimension1, lequel possède un signe; d"ailleurs, même en dimensiond= 1, la théorie de Lebesgue requiert une valeur absolue :Z J f=Z I f''0; puisque si la fonction'2C1du Théorème 1.1 a une dérivée négative'0<0, donc décroît, siI:= [a;b], siJ:= ['(b);'(a)]- noter l"inversion -, il faut effectivement

voir en théorie de Lebesgue à travers le miroir de la théorie de Riemann que l"on est forcé

d"insérer une valeur absolue : Z J f=Z '(a) '(b)f(t)dt =Z '(b) '(a)f(t)dt [Théorème 1.1]=Z b a f'(x)'0(x)dx Z I f''0:

2.Transferts de mesurabilité 3PourpouvoirparlerdemesuresdeLebesgueorientéesdx1^^dxdquigénéraliseraient

ledxriemannien orienté surRil faudrait entrer dans la théorie des formes différentielles extérieures, ce que nous ne pourrons pas faire dans ce cours. La formule de changement de variables peut être appliquée de manière "mécanique» en différentiant : y='(x) =)dy=Jac'(x)dx; puis en remplaçant :Z '(U)f(y)dy=Z U f'(x))Jac'(x)dx: D"ailleurs, en remplaçant à nouveaux='1(y), une ré-application du même théorème au difféomorphisme inverse'1montre comment on se déplace dans l"autre sens :Z U f'(x)Jac'(x)dx=Z V f''1 |{z} =Id(y)Jac'(x)Jac'1(y) |{z}

Jac(''1)=1dy

Z V f(y)dy; pour revenir 'bêtement" au même endroit.

2. Transferts de mesurabilité

La toute première chose à faire est de s"assurer que les difféomorphismesC1respectent la mesurabilité. La proposition suivante, appliquée à tout sous-ensemble mesurableCC, d"oùF:=f1(C)est mesurable, va alors garantir quef'est mesurable. Proposition 2.1.Si':U!Vest un difféomorphismeC1entre deux ouvertsURdet

VRd, alors pour tout sous-ensembleFV:

1(F)mesurable(=Fmesurable:

Démonstration.Comme'est un difféomorphismeC1, il revient au même d"établir que pour tout sous-ensembleEU:

Emesurable=)'(E)mesurable:

Rappelons qu"un ensembleEUest mesurable si et seulement si il s"écritE=GnN avecG=\n>1Onintersection dénombrable d"ouvertsOnU, et avecNde mesure m(N) = 0. L"image deEpar'est alors : '(E) ='GnN ='(G)'(N) ='\n>1On '(N):(2.2)

Lemme 2.3.Pour tout sous-ensembleNU:

m(N) = 0 =)m'(N)= 0:

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudDémonstration.On peut supposerU6=;et, quitte à effectuer une translation, que02U.

Sijxj=max16i6djxijest la norme du supremum surRd, la distance 'dist" sera calculée par rapport à cette norme. Pour tout`>1, introduisons alors le sous-ensemble suivantK`Uqui intersecte tout avec la boule ferméefjxj6`gpour demeurer dans un compact, et qui reste à distance1` du complémentaire deUpour ne pas toucher le bord@U: K `:=x2U:jxj6`;distx;RdnU>1` Souvenons-nous en passant que pour tout ouvertURdet toutx2U: distx;RdnU=distx; @U; et si nous n"en avons pas une réminiscence platonicienne, reportons-nous à l"Exercice 1 pour comprendre cela, tout en contemplant les Idées qui se dégagent de la figure.R d K `+1U K ``+1` 0 L"Exercice 2 montre que cesK`sont compacts, qu"ils sont proprement emboîtés : K `IntK`+1(8`>1); et que leur réunion (croissante!) remplit : U=[ `>1K Terminologie 2.4.On dit que la famille(K`)1`=1forme uneexhaustiondeUpar des com- pacts. Comme toute réunion dénombrable d"ensembles de mesure0est encore de mesure0, eu égard à : '(N) ='(N\U)

N\`>1K`

`>1'N\K`; il suffit de montrer que : m'(N\K`)= 0(8`>1):

Fixons donc maintenant un`>1quelconque.

2.Transferts de mesurabilité 5Puisquem(N) = 0, on a aussim(N\K`) = 0, donc pour tout" >0, il existe une

collection dénombrable de cubes fermés(Qn)1n=1recouvrant :

N\K`[n>1Qn;

de mesure totale petite : X n>1 Qn6":

ChaqueQnest centré en un certain pointxn2Rd:

Q n=x2Rd:jxxnj6an (an>0); et l"on a donc : X n>1(2an)d6": Si nécessaire, subdivisons certains desQn- en nombre fini - dont les demi-arêtes a nsont trop grandes de manière à ce que ces dernières soient toutes :

06an6"(8j>1);

et supprimons tous les cubesQnqui n"intersectent pasN\K`, ce qui est naturel. Notons encoreQnces cubes.K `+1U K

Si nous réduisons au besoin à l"avance :

"613 distK`; UnK`+1; alors une manipulation de l"inégalité triangulaire convainc (exercice) que pour toutj>1: ; 6=Qn\K`=)QnIntK`+1: Par conséquent, le Lemme 4.1 appliqué à l"ouvertU:=IntK`+1montre qu"avec la constante finie commune à tous les cubesQn: C `+1:=dmax16i6dmax16j6dmaxx2K`+1 j@x i(x)<1; on a l"inégalité localisée d"accroissements finis :

8j>18x0; x002Qn'(x00)'(x0)6C`+1jx00x0j:

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud'

Q n x nR n '(xn) Si donc nous introduisons pour toutj>1les cubes dans l"espace-image d"arêtes dila- tées par ce facteur de lipschitzianité : R n:=y2Rd:jy'(xn)j6C`+1an; il vient (exercice simple) : '(Qn)Rn; puisque (solution simple) pour toutx2Qn:'(x)'(xn)6C`+1jxxnj

6C`+1an:

Observons alors que :

m(Rn) =C`+1an d: Grâce à toutes ces lunettes optiques que nos préparatifs minutieux ont bien voulu faire luire à nos pupilles, nous pouvons enfin voir que : 'N\K`'[n>1Qn =[n>1'(Qn) [n>1Rn; est recouvert par une réunion dénombrable de cubes fermés de mesure totale : m[n>1Rn 6X n>1m(Rn) X n>1

C`+1an

d =Cd`+1X n>1 2an d =Cd`+1"; manifestement arbitrairement petite, ce qui établit la nullité de sa mesure. Comme'est unC1-difféomorphisme, donc en particulier un homéomorphisme, tous sous une forme qui montre qu"il est mesurable.

Un énoncé plus général que le Lemme 2.3, qui sera utile ultérieurement, découle en fait

de la méthode de démonstration, et il est valable sans hypothèse de difféomorphie.

2.Transferts de mesurabilité 7Proposition 2.5.SoitURdun ouvert et soit':U!Rdune application de classe

C

1. Alors pour tout sous-ensemble compactKU, il existe une constante :

C=C';Kavec06C <1;

telle que pour tout sous-ensemble quelconqueEK, on a l"inégalité entre mesures exté- rieures : m '(E)6Cm(E): Démonstration.Rappelons que pour tout entier`>1, nous pouvons introduire les sous- ensembles deU: O `:=x2U:jxj< `;dist(x;RdnU)>1` K `:=x2U:jxj6`;dist(x;RdnU)>1` ouverts et fermés qui satisfont :O `=K`etIntK`=O`: PuisqueKUest compact,i.e.K\@U=;, il existe un entier`1assez grand pour que :

EKK`K`+1:

Par définition de la mesure extérieure, pour tout" >0, il existe une collection dénom- brable(Qn)1n=1de cubes fermés recouvrant : E[ n>1Q n; tels que : m (E)6X n>1m(Qn)6m(E) +": Comme dans la démonstration du Lemme 2.3, on peut supposer après subdivisions et net- toyage qu"ils sont tous d"arêtes assez petites pour être contenus dansK`+1.

Posons :

C `+1:=dmax16i6dmax16j6dmaxx2K`+1 j@x i(x)<1:

Comme :

'(E)[ n>1'(Qn)[ n>1R n; avec les mêmes cubesRnque dans la démonstration du Lemme 2.3, et comme les volumes de ces derniers valent : m(Rn) =Cd`+1m(Qn); on voit que : m '(E)6Cd`+1X n>1m(Qn)

6Cd`+1m(E) +";

d"où le résultat en faisant">!0avec la constante finieC';K:=Cd`+1.

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudSoit maintenantL:Rd!Rdune application linéaire vue en coordonnées carté-

siennes :

L(x1;:::;xd) =

dX j=1L

1;jxj; ::::::;dX

j=1L d;jxj à coefficients réelsLi;j2R. On définit lanormedeLpar (noter le facteurd) : jjLjj:=dmax16i6dmax16j6djLi;jj; de telle sorte que pour toutx2Rdon ait (exercice) :L(x)6jjLjj jxj: Corollaire 2.6.SiERdest un sous-ensemble quelconque : m

L(E)6jjLjjdm(E):

Démonstration.Pour tout" >0, il existe une collection dénombrable de cubes fermésQn recouvrantE [1n=1Qntels que : m (E)61X n=1jQnj6m(E) +": SiQn=fx2Rd:jxxnj6ang, oùxnest le centre etan>0la demi-arête, la même estimation que dans le Lemme 2.3 avec'(x) :=L(x)en tenant compte de : i@x j(x) =@Li@x j(x) =Li;j; montre que l"image parLde chaqueQn:

L(Qn)Rn(8n>1);

est contenue dans le cube fermé : R n:=y2Rd:jyL(xn)j6jjLjj an: Ainsi,L(E)est recouvert par la réunion dénombrable de ces cubesRndont la mesure totale vaut : 1X n=1jRnj=1X n=1 jjLjj an d jjLjjd1X n=1jQnj 6 jjLjjdm(E) +"; et ceci démontre bien (exercice mental) l"inégalité annoncée. Lemme 2.7.Pour tout sous-espace affine strictHRdde dimensiondimH6d1, et pour tout sous-ensemble quelconqueEH: m(E) =m(H) = 0:

2.Transferts de mesurabilité 9Démonstration.Il suffit de faire voir quem(H) = 0. En s"autorisant l"utilisation du théo-

rème de Fubini, un argument assez direct basé sur une induction dimensionnelle existe (exercice). Pour répondre à une exigence de n"employer que des moyens élémentaires, une démons- tration alternative qui utilise un recouvrement deHpar des cubes dont la taille décroît assez vite à l"infini montre (exercice) quem(H) = 0.

Un dernier préliminaire mérite attention.

Proposition 2.8.Si une transformation affine inversibleRd!Rds"écritx7!v+L(x) avec un vecteurv2Rdet avec une application linéaireinversibleL, alors pour tout sous- ensemble mesurableERd: mv+L(E)=detLm(E): En particulier,m(E)<1si et seulement sim(v+L(E))<1. Démonstration.Rappelons queERdest mesurable avecm(E)<1lorsque et seule- ment lorsque, pour tout" >0, il existe un nombre finiN=N(")1de cubes fermés Q nRdtels que la différence symétrique entreEet la réunion desQnest petite en mesure : m

E[16n6NQn

6": Le Corollaire 2.6 garantit alors que la mesure - égale à la mesure extérieure sur les ensembles mesurables! - de l"image parLde cette différence symétrique demeure éga- lement négligeable : m L

E[16n6NQn

6jjLjjd":

la proposition dans le cas oùE=Qest un cube fermé borné d"intérieur non vide. Qui plus est, comme la mesure de Lebesgue est invariante par translation, et comme elle satisfait pour toute homothétie (dilatation ou contraction) de rapport >0: mE=dm(E); il suffit même de démontrer la proposition dans le cas modèle oùE=Q= [0;1]dest le cube unité. Nous admettrons le résultat d"algèbre linéaire suivant. Lemme 2.9.Toute matrice inversibleL2Rddpeut être représentée comme un produit fini :

L=L1LK;

de matricesLqui sont chacune de l"un des trois types suivants. Matrice associée à unepermutation:f1;:::;dg ! f1;:::;dg: j L =P=0 B @0...0 :::1:::

0...01

C

A i=(j);

le1de laj-ème colonne pourj= 1;:::;dse trouvant à lai=(j)-ème ligne, tous les autres élément valant0.

10 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudMatrice diagonale associée à un unique nombre réel non nul2R:

L =Di:=0 B

BBBBBBBB@1

10 0 1 11 C

CCCCCCCCA i;

se trouvant à lai-ème ligne.

Matrice spéciale :

L =U:=0 B

BBB@1 0

1 10 0 1 11 C CCCA: Grâce à la multiplicativité du déterminant : m

L1LK(E)?=detL1LKm(E) =detL1detLKm(E);

nous sommes donc simplement ramenés à vérifier surE= [0;1]dque pour toute matrice L de l"un de ces trois types : mL ([0;1]d)=detLm([0;1]d)|{z} =1!: Toute matrice de permutationPlaisse invariant le cube unité, et donc on a bien : mP([0;1]d)=m([0;1]d) = 1 =detP=detPm([0;1]d): Toute matriceDidilate (ou contracte) lei-ème axe de coordonnées du facteur2R, donc on a bien : mDi([0;1]d)= 1i1jj1di=jj=detDim([0;1]d):11 x 2 y 2 x 1U 2 1 y 1 0 0 1 La matrice spécialeUagit essentiellement en dimension2comme : y 1=x1; y

2=x1+x2;

3.Démonstration du théorème 11donc elle transforme le cube unité en un produit :

U[0;1]2[0;1]d2= [0;1]d2;

du cube unité dansRd2(qui est invariant parU) avec le triangle : :=(y1;y2)2R2: 06y161;06y16y262; lequel est de mesure égale à1dansR2par un argument de géométrie du carrelage, et donc on a bien : mU([0;1]d)=m()1d2= 11d2= 1 =detUm([0;1]d); ce qui conclut les vérifications.

3. Démonstration du théorème

Démonstration du Théorème 1.3.Soit donc':U!V='(U)un difféomorphismeC1, et soitf:V!Cune fonction mesurable Lebesgue-intégrable. Nous savons déjà via la

Proposition 2.1 quef'est mesurable.

En un pointx02U, pour tout nombre réel :

06a soit le cube fermé de centrex0et de demi-arêtea: Q a(x0) =x2Rd:jxx0j6aU; qui est contenu dans l"ouvert. Puisque l"application tangente à'au point centralx0de ce cube (qui approxime'à l"ordre1dans un voisinage dex0) est linéaire : T x0': (x1;:::;xd)7!0 B 1@x

1(x0)@'1@x

d(x0)quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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