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CHAPITRE VI.

THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE.

____ 1. - Intégration par changement de variable.

1.1. Introduction. - Soient nU,VÌ? deux ouverts de n? et

:U Vφ® un homéomorphisme de U sur V. Notons x (resp. y) la variable de U (resp. de V) et dyλ= la mesure de Lebesgue sur V. Le changement de variable y (x)φ= transforme la mesure λ sur V en une mesure borélienne ( )( )1μ φ λ- *= sur U, appelée image de λ par 1φ-, et qui est définie par (B) ( (B))μ λ φ= pour tout borélien B UÌ. En particulier, on a (A) ( (A))1λ μ φ-= pour tout borélien

A VÌ, soit

A AV U(y)dy ( (x))d (x)φ μ=∫ ∫1 1. De cette relation, on déduit facilement que, pour toute fonction λ-mesurable []f :V ,0® +¥, la fonction []f :U ,φ0® +¥? est

μ-mesurable et vérifie :

( )1 V Uf(y)dy f( (x))d (x)φ μ=∫ ∫. Cette dernière formule n"a de réel intérêt que si l"on connaît la mesure ( )( )1μ φ λ- *=. Nous nous proposons ici d"identifier cette mesure lorsque :U Vφ® est un difféomorphisme de classe C1 de U sur V. Plus précisément, si D( )φ désigne le déterminant jaco- bien de n n n nx xx x(x) (x)

D( )(x) det

(x) (x) 1 1 1 1 on montre ci-dessous que d (x) D (x)dxμ φ=. La relation ( )1 four- nit alors la formule de changement de variable : ( )2 V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫.

Cette formule implique que, si

B UÌ est négligeable pour la

mesure de Lebesgue, alors (B) VφÌ est négligeable pour la mesure CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE 2 de Lebesgue. Cette propriété n"est pas vraie pour tout homéomor- phisme, et c"est pourquoi nous supposerons ici que

φ est un difféo-

morphisme de classe C1 (cette hypothèse est un peu forte ; il suffi- rait de supposer que

φ est un homéomorphisme de classe C1).

1.2. Le théorème du changement de variable. -

Le résultat prin-

cipal concerne l"intégration des fonctions Lebesgue-mesurables po- sitives par changement de variable : T HÉORÈME 1. - Soient U,V deux ouverts de n? et :U Vφ® un difféomorphisme de classe

C1 de U sur V. Pour toute fonction Lebesgue-mesurable positive []f :V ,0® +¥, la fonction (f )D( )φ φ? est Lebesgue-mesurable sur U et on a :

V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫, où D( )(x)φ est le déterminant de la matrice jacobienne au point x UÎ. Ce théorème sera démontré au paragraphe suivant. Il implique : T HÉORÈME 2. - Soient U,V deux ouverts de n? et :U Vφ® un difféomorphisme de classe C1 de U sur V. Une fonction f :V®? est intégrable sur V pour la mesure de Lebesgue si et seulement si la fonction (f )D( )φ φ? est intégrable sur U pour la mesure de Lebesgue, et on a : V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫, où D( )(x)φ est le déterminant de la matrice jacobienne au point x UÎ.

Démonstration.

- Le difféomorphisme :U Vφ® échange les boréliens de U et de V et le théorème 1 prouve qu"il échange aussi les ensembles négligeables. Il s"ensuit que :U Vφ® échange les ensembles Lebesgue-mesurables, de sorte que f :V®? est Lebes- gue-mesurable si et seulement si f :Uφ®? ? est Lebesgue- mesurable. Comme l"application x D( )(x)φ® est continue et inversible, l"application f :V®? est Lebesgue-mesurable si et seulement si la fonction (f )D( ) :Uφ φ®? ? est Lebesgue- mesurable. Pour une fonction positive, le théorème 2 résulte alors du théorème 1. On en déduit, en considérant le module de f, que f est Lebesgue-intégrable si et seulement si la fonction (f )D( )φ φ? est Lebesgue-intégrable. En décomposant une fonc- tion f :V®? en parties positive et négative, on montre alors la formule du changement de variable pour les fonctions à valeurs réelles. Le cas des fonctions à valeurs complexes s"obtient enfin en décomposant f :V®? en parties réelle et imaginaire.■

Du théorème 2, on déduit :

T. FACK. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L"INTÉGRATION. 3 THÉORÈME 3. - Une applicationf :2®? ? est intégrable pour la mesure de Lebesgue sur

2? si et seulement si l"application ( , ) f( cos , sin )ρ θ ρ θ ρ θ® est intégrable sur [[[], ,0 0 2π+¥ ´ pour la mesure d dρ ρ θ, et alors :

[ [ [ ], ,f(x,y)dxdy f( cos , sin ) d d20 0 2πρ θ ρ θ ρ ρ θ+¥ ´=∫∫ ∫∫?.

Démonstration. - L"application ( , ) (x,y)ρ θ® définie par x cosρ θ=, y sinρ θ= est un difféomorphisme de classe C¥ de l"ouvert ][][, ,0 0 2π+¥ ´ sur 2? privé du demi axe des réels positifs ou nuls {}D (x,y) x, y20 0= Î £ =?. Comme le Jacobien de cette application est égal à ρ, le théorème 2 implique le résultat si l"on remplace

2? par D2-? et [[[], ,0 0 2π+¥ ´ par ][][, ,0 0 2π+¥ ´.

Comme

D est négligeable pour la mesure de Lebesgue et que [[[]][[[, , , ,0 0 2π0 0 2π+¥ ´ - +¥ ´ est négligeable pour la mesure

d dρ ρ θ, le théorème 3 s"ensuit. ■ E XEMPLE. - Soit à déterminer, en fonction du réel α, la valeur de l"intégrale : x y R dxdyI(x y )

2 2 2α2 2α+ £=+∫∫.

Solution.

- Par passage en coordonnées polaires, la fonction (x,y)(x y )2 2α1®+ est intégrable sur {}RD (x,y) x y R2 2 2 20= Î £ + £? si et seule- ment si la fonction ( , )2α

1 2α1

ρρ θ ρ ρ-® = est intégrable sur [][],R ,0 0 2π´, c"est à dire si et seulement si α1<. Dans ce cas, on

a : R ( )x y R dxdyI d(x y ) ( )R 2 2 2

1 2α

2 2α2α10

π2π ρ ρ1α

Dans les autres cas, on a

Iα= +¥. ■

A

PPLICATION. - Soit à montrer que xe dx

2π

20+¥

Solution.

- Posons xI e dx 2

0+¥

-=∫. On a, en vertu du théorème de Fubini : x y (x y )

DI e dx e dy e dxdy

2 2 2 22

0 0+¥ +¥

où {}D (x,y) x , y20 0= Î ³ ³?. En utilisant les coordonnées po- laires, on obtient alors : CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE 4 (x y ) D u duI e dxdy e d d e d e ,

π2 222

22ρ

0 0

2 2 2 40 0ρ ρ θ

d"où l"on déduit que Iπ

2=. ■

2. - Démonstration du théorème 1.

Établissons tout d"abord que la démonstration du théorème 1 se réduit à prouver que l"on a, pour tout cube compact

Q UÌ :

Q( (Q)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.

L EMME 1. - Supposons que l"on ait, pour tout difféomorphisme :U Vφ® de classe C1 entre deux ouverts

U,V de n? et tout cube compact Q UÌ:

Q( (Q)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.

Alors, pour tout difféomorphisme

:U Vφ® de classe C1 et toute fonction Lebesgue- mesurable positive []f :V ,0® +¥, la fonction (f )D( )φ φ? est Lebesgue-mesurable sur

U et on a :

V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫.

Démonstration.

- PREMIÈRE ÉTAPE. Montrons, sous les hypothè- ses du lemme 1, que l"on a pour tout ouvert

UΩÌ :

( )1 ( ( )) D( )(x)dxΩλ φ Ω φ£∫.

A cet effet, notons que tout ouvert

UΩÌ est réunion d"une

suite croissante de parties nA qui sont chacune réunion d"un nom- bre fini de cubes compacts n,kQ dont les intérieurs sont deux à deux disjoints. De la relation n,kn,kQ( (Q )) D( )(x)dxλ φ φ£∫ on déduit alors : n,k nn k n,k n,kk kQ

A( (A )) ( (Q )) ( (Q )) D( )(x)dx

D( )(x)dx,λ φ λ φ λ φ φ

et donc : T. FACK. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L"INTÉGRATION. 5 nn n nAn n( ( )) ( (A )) lim ( (A )) lim D( )(x)dx

D( )(x)dx.Ω

S ECONDE ÉTAPE. Montrons ensuite que l"on a, pour tout borélien

B UÌ :

( )2 B( (B)) D( )(x)dxλ φ φ£∫. Si BD( )(x)dxφ= +¥∫, il n"y a rien à démontrer. Sinon, en ver- tu de la régularité de la mesure borélienne

D( )(x)dxφ, il existe

pour tout ε0> un ouvert Ω vérifiant B UΩÌ Ìet : BD( )(x)dx ( ) D( )(x)dxΩφ1ε φ£ +∫ ∫.

On en déduit, compte tenu de l"inégalité

( )1 :

B( (B)) ( ( )) D( )(x)dx ( ) D( )(x)dxΩλ φ λ φ Ω φ1ε φ£ £ £ +∫ ∫,

d"où l"inégalité ( )2 en faisant tendre ε vers 0. T ROISIÈME ÉTAPE. Montrons que l"image (E)φ de tout ensemble

Lebesgue-mesurable

E UÌ est Lebesgue-mesurable et vérifie :

( )3 E( (E)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.

Puisque tout ensemble Lebesgue-mesurable

E UÌ est réunion

d"un borélien B UÌ et d"un ensemble négligeable N UÌ, il suffit de montrer que l"image par

φ d"un ensemble négligeable est négli-

geable. Mais tout ensemble négligeable est inclus dans un borélien négligeable, de sorte qu"il suffit de montrer que l"image par

φ d"un

borélien négligeable est négligeable, ce qui résulte immédiatement de ( )2. Q UATRIÈME ÉTAPE. Montrons que, pour toute fonction Lebesgue- mesurable positive []f :V ,0® +¥, la fonction (f )D( )φ φ? est Le- besgue-mesurable sur

U et vérifie :

( )4 V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ£∫ ∫.

Supposons que

[]f :V ,0® +¥ soit Lebesgue-mesurable. Pour tout réel α, l"ensemble {}E y V f(y)αα= Î ³ est alors Lebesgue- mesurable, ainsi donc que {}(E ) x U f( (x))1

αφ φ α-= Î ³ en vertu

de la troisième étape appliquée à

1φ-. La fonction fφ? est donc

Lebesgue-mesurable et, puisque

D( )φ est continue, (f )D( )φ φ?

CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE 6 est Lebesgue mesurable sur U. De l"inégalité ( )3, on déduit alors que : V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ£∫ ∫ pour toute fonction Lebesgue-mesurable positive étagée

[]f :V ,0® +¥. L"inégalité ( )4 pour toute fonction []f :V ,0® +¥ Lebesgue-mesurable positive résulte alors du théo-

rème de convergence monotone pour les intégrales supérieures, puisque f est limite d"une suite croissante de fonctions Lebesgue- mesurables positives étagées. F IN DE LA DÉMONSTRATION DU LEMME 1. Pour terminer, il suf- fit de montrer l"inégalité : V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ³∫ ∫. Or, compte tenu de la relation D( )( (y)) D( )(y)1 1φ φ φ1- -´ =, cette dernière inégalité résulte de la quatrième étape appliquée à :V U1φ-® et à la fonction Lebesgue-mesurable positive x f( (x))D( )(x)φ φ®. ■ Ainsi, pour démontrer le théorème 1, il suffit de prouver que l"on a, pour tout cube compact

Q UÌ :

Q( (Q)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.

Lorsque

φ est un difféomorphisme linéaire, c"est une conséquence immédiate de la théorie des déterminants : L EMME 2. - Soit n n:φ®? ? une application linéaire inversible. Pour tout cube com- pact nQÌ?, on a : ( (Q)) det( ) (Q)λ φ φ λ=.

Démonstration.

- Comme la mesure de Lebesgue est invariante par translation, il suffit d"établir cette formule pour le cube nQ ,h0=. Dans ce cas, on a n(Q) hλ=. Comme (Q)φ est engendré par les vecteurs n(he ),..., (he )1φ φ, on a : n nnnn n( (Q)) det( (he ),..., (he )) h det( (e ),..., (e )) h det( )det(e ,...,e ) h det( ) det( ) (Q), 11

1λ φ φ φ φ φ

d"où le lemme 2. ■ F IN DE LA DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1. - D"après le lemme 1, il suffit de démontrer que l"on a, pour tout cube compact

Q UÌ :

Q( (Q)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.

T. FACK. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L"INTÉGRATION. 7 A cet effet, munissons n? de la norme i n ix sup x1£ £= et notons xT sup Tx1£= la norme associée sur l"espace des applications linéaires

T de n?

dans lui-même. La boule fermée de centre naÎ? et de rayon r0> est donc un cube de côté r2 dont la mesure de Lebesgue est égale à n( r)2. Soit Q UÌ un cube compact fixé et notons dφ la différen- tielle de φ. Comme φ est un difféomorphisme, d (x)φ est une ap- plication linéaire inversible pour tout x UÎ. En outre, puisque φ est un difféomorphisme de classe

C1, les applications x d (x)φ® et

x d (x)1φ-® sont continues sur U. Montrons qu"il existe, pour tout ε0>, un réel δ0> tel que l"on ait pour x,x" QÎ : ( )1 x x" d (x") d (x)1δ φ φ1ε-- £?£ +.

Posons

T(x) d (x)φ=. Comme l"application x T(x)® est continue sur le compact Q, elle est uniformément continue. Par ailleurs, puisque l"application x T(x)1-® est continue sur le compact Q, il existe une constante

C0> telle que l"on ait T(x) C1-£ quel que

soit x QÎ. Pour x,x" QÎ, on a :

T(x") T(x) T(x") (T(x) T(x")) Id

T(x") .T(x) T(x") C T(x) T(x") ,

1 1 1 1 1 et l"uniforme continuité de x T(x)® sur Q implique l"existence d"un réel δ0> tel que l"on ait quels que soient x,x" QÎ : x x" T(x") T(x)1δ1ε-- £?£ +, d"où ( )1. Subdivisons Q en un nombre fini de petits cubes iQ d"intérieurs mutuellement disjoints et de côté c inférieur à δ. La relation ( )1 entraîne : ( )2 ix,x" Q d (x") d (x)1φ φ1ε-Î?£ +.

Puisque

x D( )(x)φ® est continue sur le cube iQ, elle possède un minimum im et un maximum iM et on a : ii ii iQm (Q ) D( )(x)dx m (Q )λ φ λ£ £∫. D"après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un point i ia QÎ tel que l"on ait : ( )3 ii iQD( )(x)dx D( )(a ) (Q )φ φ λ=∫. CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE 8

Montrons que l"on a pour tout i :

( )4 i n iQ( (Q )) ( ) D( )(x)dxλ φ1ε φ£ +∫.

A cet effet, écrivons

i id (a )φ φ ψ=?, où i id (a )1ψ φ φ-=?. Pour tout ix QÎ, on a en vertu de ( )2 : i id (x) d (a ) d (x)1ψ φ φ1ε-= £ +, et le théorème de la moyenne implique alors : i i ix,x" Q (x) (x") ( ) x x"ψ ψ1εÎ?- £ + -.

Il s"ensuit que

i i(Q )ψ est inclus dans le cube iC de côté ( )c1ε+ dont le centre est l"image par iψ du centre de iQ. De la relation : i i i i i i(Q ) d (a )( (Q )) d (a )(C )φ φ ψ φ= Ì, on déduit grâce au lemme 2, sachant que n i i(C ) ( ) (Q )λ1ε λ= + : i i i i in i i( (Q )) (d (a )(C )) detd (a ) (C )

D( )(a )( ) (Q ),λ φ λ φ φ λ

φ1ε λ£ =

et l"inégalité ( )4 résulte alors de ( )3. En sommant sur les petits cubes iQ, on obtient : i n ii iQ n

Q( (Q)) ( (Q )) ( ) D( )(x)dx

( ) D( )(x)dx.λ φ λ φ1ε φ

1ε φ£ £ +

En faisant tendre

ε vers 0, on obtient finalement l"inégalité :

Q( (Q)) D( )(x)dxλ φ φ£∫,

qui achève la démonstration du théorème 1. ■

3. - Exercices.

Exercice 1. - Soit D le disque ouvert du plan défini par x y2 21+ <. Déterminer αÎ? pour que la fonction f (x,y)( x y )α2 2α1 1=- - soit Lebesgue-intégrable sur

D, et calculer alors l"intégrale double

Df (x,y)dxdyα∫∫.

Exercice 2. - Déterminer

αÎ? pour que la fonction

T. FACK. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L"INTÉGRATION. 9 f (x,y)(x y )αα1 1=+ + soit Lebesgue-intégrable sur la partie [[[[D , ,0 0= +¥ ´ +¥ de 2? et calculer alors l"intégrale double

Df (x,y)dxdyα∫∫.

Exercice 3. - Soient

a0>, b0> deux nombres positifs et ,α β tels que

0α β£ <. On se propose de calculer l"intégrale

D b x a yI dxdyx

2 2 2 2

2-=∫∫,

où D est l"ouvert de 2? défini par les inégalités : y yxx , y , , a b xquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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