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Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire

1. Intégrales doubles1

1.1. Description hiérarchisée du domaine.

. . 1

1.2. Intégrale double

. . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Théorème de Fubini

. . . . . . . . . . . . 2

1.4. Un cas particulier

. . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6. Changement de variables

. . . . . . . . . 4

1.7. Coordonnées polaires

. . . . . . . . . . . 4

2. Intégrales triples6

2.1. Description hiérarchisée du domaine

. . 62.2. Changement de variables. . . . . . . . . 6

2.3. Coordonnées cylindriques

. . . . . . . . . 6

2.4. Coordonnées sphériques

. . . . . . . . . 6

3. Calculs divers8

3.1. Aire ou volume

. . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Masse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3. Centre d"inertie

. . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4. Moments d"inertie

. . . . . . . . . . . . . 10

3.5. Colbert, lycée numérique

. . . . . . . . . 10Figures

1 Intégrale double

. . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Théorème de Fubini

. . . . . . . . . . . . . 3

3 Coordonnées Polaires

. . . . . . . . . . . 5

4 Intégrale double en polaires

. . . . . . . . 5

5 Intégrale triple

. . . . . . . . . . . . . . . . 76 Coordonnées Cylindriques. . . . . . . . . 8

7 Intégrale triple en cylindriques

. . . . . . 9

8 Coordonnées Sphériques

. . . . . . . . . 10

9 Intégrale triple en sphériques

. . . . . . . 11

10 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale

d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.

1. Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée de‘2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée de‘2:

l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet

8x2[a;b],u(x)6v(x), avec

(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure1 , page suivante.

On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2

variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]

y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 2Intégrales doubles et triplesy

xΔ a b x u(x)v(x)

OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné de‘2Définition :fcontinue sur, un fermé borné de‘2, si on dispose d"une description hiérarchisée

de, on appelle intégrale double defsur:

I =†

f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x)

u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées

Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =124

1.3. Théorème de Fubini : inversion des bornesThéorème :

Si on a par ailleurs : (x;y)2,8

>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0

BBBB@Z

(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure2 , page suivante.

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Intégrales doubles et triples12 - 3y

xΔ cd y

(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est différent, mais le résultat est le

même.

1.4. Un cas particulier

On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c (y)dy

Ainsi, dans ce cas :

'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy

1.5. Propriétés

a/ Linéarité

Théorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné de‘2, on dispose d"une description hiérarchisée de

.etdeux réels. Alors :† f(x;y) +g(x;y)dxdy=† f(x;y) dxdy+†

g(x;y) dxdyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 4Intégrales doubles et triplesb/ Positivité

Théorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné de‘2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de. Alors :† f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domaines

Théorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés de‘2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :†

1[2f(x;y) dxdy=†

1f(x;y) dxdy+†

2f(x;y) dxdy

Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :...

Df(x;y) dxdy6...

f(x;y) dxdy

1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts de‘2.

D etdeux fermés bornés de‘2, DU, et,V.

De plus :'(D)=.

On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.

On note :

(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.

Alors :†

f(x;y) dxdy=† D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.

On rappelle que :

D(x;y)D(u;v)=

€x€u

€x€v

€y€u

€y€v

Notons qu"on fait un changement de variable :

pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées. Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.

1.7. Changement de variables en coordonnées polairesThéorème :On pose8

>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy=† g(;)dd=† f(cos;sin)ddCeci est illustré sur la figure3 , page ci-contre.

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Intégrales doubles et triples12 - 5y

x M xy OFigure 3 -Coordonnées PolairesDémonstration :En effetD(x;y)D(;)=

€x€€x€

€y€€y€

cossin sin cos =>0La figure4 , ci-dessous, indique le mode de calcul. y x ρρ+dρθθ+dθdρρdθOFigure 4 - D f(x;y)dxdy=† g(;)ddExemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x

2+y261

On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine en polaires :8 >><>>:2[0;=2]

2[0;1];ce quiCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 6Intégrales doubles et triplesdonne, compte tenu quexy=2cossin:

I = D xydxdy=Z =2 0Z 1 0

3cossindd

I = Z =2 0 cossindZ 1 0

3d="sin22

=2 0" 44
1 0 =18

2. Intégrales triples

2.1. Description hiérarchisée de, intégrale triple defcontinue surun fermé borné de

3 un fermé borné de‘3, une description hiérarchisée deest de la forme : (x;y;z)2,8 >>>>><>>>>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)] z2[(x;y);(x;y)] On peut avoir les variables dans un autre ordre, l"important est que les bornes de chacune ne soient définies qu"en fonction des précédentes. On définit alors l"intégrale triple defcontinue surpar :ˆ f(x;y;z) dxdydz=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)0

BBBB@Z

(x;y) (x;y)f(x;y;z) dz1CCCCAdy1CCCCAdx

La figure

5 , page ci-contre, donne une description hiérarchisée du domaine.

2.2. Changement de variables

Sous des hypothèses équivalentes à la dimension 2, (x;y;z) ='(u;v;w), (x;y;z)2D,(u;v;w)2, etf(x;y;z) =g(u;v;w), on a alors :ˆ D f(x;y;z) dxdydz=ˆ g(u;v;w)D(x;y;z)D(u;v;w) dudvdw On notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.

2.3. Coordonnées cylindriques

8>>>>><>>>>>:x=cos

y=sin z=z(x;y;z)2D,(;;z)2, etf(x;y;z) =f(cos;sin)=g(;;z)

On regardera la figure

6 , page 8 D f(x;y;z) dxdydz=ˆ g(;;z)dddz

Le calcul du jacobien est facile

D(x;y;z)D(;;z)=et on a encore>0.

La figure

7 , page 9 , indique le mode de calcul.

2.4. Coordonnées sphériques

On notera sur la figure

8

la définition des coordonnées sphériques. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 7

Figure 5 -Intégrale tripleCette notation est la notation des mathématiciens : les physiciens utilisent l"angle entre Oz

et OM qui appartient donc à [0;]. Dans la formule, au niveau de la valeur absolue du jacobien, ils échangent ainsi sin'et cos'. Attention, parfois, ils changent aussi le nom des angles...

8>>>>><>>>>>:x=coscos'

y=sincos'

z=sin'(x;y;z)2D,(;;')2, etf(x;y;z) =g(;;')Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 8Intégrales doubles et triples

Figure 6 -Coordonnées CylindriquesOn regardera la figure8 , page10 . D f(x;y;z) dxdydz=ˆ g(;;')2cos'ddd'

Le calcul du jacobien est facile :

D(x;y;z)D(;;')=2cos', et on a bien : cos'>0.

La figure

9 , page 11 , indique le mode de calcul. Les coordonnées sphériques du physicien sont illustrées sur la figure 10 , page 12

Dans ce cas, le calcul du jacobien donne :

D(x;y;z)D(;;')=2sin, et on a bien : sin>0.

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