[PDF] [PDF] fic00009pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques

4.En déduire que Qest dense dansR.

Soitf:R!Rtelle que

8(x;y)2R2f(x+y) =f(x)+f(y):

Montrer que

1.8n2Nf(n) =nf(1).

2.8n2Zf(n) =nf(1).

3.8q2Qf(q) =qf(1).

4.8x2Rf(x) =xf(1)sifest croissante.

Raisonner par l"absurde en écri vant

Considérer r+p2

Indication pour

3 N1.Mutiplier Nnpar une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier.

Utiliser la première question a vecp(x) = (x25)224.Indication pourl"exer cice5 NDistinguer des cas.

Indication pour

6 NinfA=0,An"a pas de borne supérieure.Indication pourl"exer cice8 NIl faut revenir à la définition de la borne supérieure d"un ensemble borné : c"est le plus petit des majorants. En

particulier la borne supérieure est un majorant.Indication pourl"exer cice9 NDeux propositions sont fausses...

Indication pour

10 N1.Rappelez-v ousque la partie entière de xest le plus grand entier, inférieur ou égal àx. Mais il est ici

Encadrer E(kx), pourk=1;:::;n.

Les unne seraient-ils pas des rationnels ?

2.f((n)+n) =.

Si q=ab

Utiliser la densité de QdansR: pourx2Rfixé, prendre une suite de rationnels qui croit versx, et une

Correction del"exer cice1 N1.Soit r=pq

2Qetx=2Q. Par l"absurde supposons quer+x2Qalors il existe deux entiersp0;q0tels que

0. Doncx=p0q

02Qce qui est absurde carx=2Q.

De la même façon sirx2Qalorsrx=p0q

0Et doncx=p0q

2.Méthode "classique".Supposons, par l"absurde, quep22Qalors il existe deux entiersp;qtels quep2=pq

En élevant l"égalité au carré nous obtenonsq22=p2. Doncp2est un nombre pair, cela implique quep

est un nombre pair (si vous n"êtes pas convaincu écrivez la contraposée "pimpair)p2impair"). Donc

0. Comme 0 Bilan : nous avons trouvén12Nstrictement plus petit quen0=minN. Ceci fournit une contradiction.

Conclusion :p2 n"est pas un nombre rationnel.

3.

Soient r;r0deux rationnels avecr 2 (r0r). D"une partx2]r;r0[(car 00;q>0 des entiers. On obtient qln3=pln2. En prenant l"exponentielle nous obtenons : exp(qln3) =exp(pln2)soit 3q=2p. Sip>1 alors

2 divise 3

qdonc 2 divise 3, ce qui est absurde. Doncp=0. Ceci nous conduit à l"égalité 3q=1, doncq=0. La seule solution possible estp=0,q=0. Ce qui contreditq6=0. Doncln3ln2

est irrationnel.Correction del"exer cice3 N1.Soit p=19971997:::1997 etq=100000000:::0000=104n. AlorsNn=pq

2. Remarquons que 10 000M=1997;19971997:::Alors 10000MM=1997 ; donc 9999M=

1997 d"oùM=19979999

3.

0 ;111:::=19

, 0;222:::=29 , etc. D"oùP=19 +29
++99 =1+2++99 =459 =5.Correction del"exer cice4 N6

1.Soit

ab

2Qavec pgcd(a;b) =1. Pourp(ab

) =0, alorsåni=0aiab i=0. Après multiplication parbn nous obtenons l"égalité suivante : a nan+an1an1b++a1abn1+a0bn=0: En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier parb, nous écrivonsanan+bq=0. Ceci entraîne quebdiviseanan, mais commebetansont premier entre eux alors par le lemme de Gauss

bdivisean. De même en factorisant paratous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous

obtenonsaq0+a0bn=0 et par un raisonnement similaireadivisea0. 2.

Notons g=p2+p3. Alorsg2=5+2p2

p3 Et donc g252=423, Nous choisissonsp(x) = (x25)224, qui s"écrit aussip(x) =x410x2+1. Vu notre choix dep, nous avonsp(g) =0. Si nous supposons quegest rationnel, alorsg=ab et d"après la première questionadivise le terme constant de

p, c"est-à-dire 1. Donca=1. De mêmebdivise le coefficient du terme de plus haut degré dep, donc

bdivise 1, soitb=1. Ainsig=1, ce qui est évidemment absurde !Correction del"exer cice5 NExplicitonslaformulepourmax(x;y). Six>y, alorsjxyj=xydonc12

(x+y+jxyj)=12 (x+y+xy)=x.

De même six6y, alorsjxyj=x+ydonc12

(x+y+jxyj) =12 (x+yx+y) =y.

Pourtroiséléments, nousavonsmax(x;y;z)=maxmax(x;y);z, doncd"aprèslesformulespourdeuxéléments

max(x;y;z) =max(x;y)+z+jmax(x;y)zj2 12 (x+y+jxyj)+z+12 (x+y+jxyj)z2

:Correction del"exer cice6 N(u2k)ktend vers+¥et doncAne possède pas de majorant, ainsiAn"a pas de borne supérieure (cependant

certains écrivent alors supA= +¥). D"autre part toutes les valeurs de(un)sont positives et(u2k+1)ktend vers

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