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Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que. √. 2 ∈ Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication Τ. Correction Τ.



Les nombres réels

Comme ceci est vrai pour tout entier N ⩾ 1 l'intervalle ouvert ]a



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exercices du chapitre celles qui sont des cas particuliers d'écrasements de ... nombres réels (x



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Ensuite vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes les entiers ainsi que les polynômes. exercices. 1. Résoudre ce système linéaire



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exercices corrigés. Alors n'hésitez plus : manipulez calculez



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Les polynômes X3 −X2 −109X −11 et X10 +X5 +1 ont-ils des racines dans Z? Correction ▽. Vidéo □. [006962]. Exercice 13. Soient a0



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nombre réel plus précisément : z = -3. 2. + 7. 2 i et donc z+z = -3. Correction de l'exercice 2 Α. 1. z1 = 2eiπ. 3 = 2(cos π. 3. +isin π. 3. ) = 2(1. 2. +i. /.



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Exercice 5 *** I. Soit (un)n∈N une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme général un converge. Montrer que un.



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où λ est un paramètre réel. 2. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants



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la suite de nombres réels définie par u0 = 0 et pour tout n positif un+1 = 2un +1. Calculer un en fonction de n. Indication ?. [007014]. Exercice 90.



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Montrer que. ?. 2 ? Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication ?. Correction ?.



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Les rationnels les réels. Exercices de Exercice 8 **I Inégalités de CAUCHY-SCHWARZ et de MINKOWSKI. Soient a1



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Ce tome débute par l'étude des nombres réels puis des suites. site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours



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site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés. Au bout du chemin



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Déterminer p en fonction de n. Correction ?. [005153]. Exercice 9 **I. Soient x un réel. Déterminer limn 



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Comme ceci est vrai pour tout entier N ? 1 l'intervalle ouvert ]a



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Les nombres réels . Cours et exercices de maths ... gauche à droite ainsi la première phrase affirme « Pour tout réel x



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Exercice 4. Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : Remarquons d'abord que pour z ? C zz =





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[002922]. Exercice 2923 Nombres de Catalan. Soient x1



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Exercice 5 Le maximum de deux nombres xy (c'est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(xy) De même on notera min(xy) le plus petit des deux 



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Exercice 1 I Montrer que les nombres suivants sont irrationnels 1 (**) ? 2 et plus généralement n ? m où n est un entier supérieur 



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Quel est le nombre d'éléments de Ep ? Quel est le nombre de parties de Ep ? [000130] Exercice 31 x y z étant des nombres réels résoudre le système :



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Voici une introduction non seulement à ce chapitre sur les nombres réels mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d'analyse



Cours et exercices de mathématiques -- Première année - Exo7

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Exercice 7 Calculer le pgcd des nombres suivants : 1 126 230 2 390 720 450 3 180 606 750



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Correction de l'exercice 1 ? Remarquons d'abord que pour z ? C zz = z2 est un nombre réel ce qui fait qu'en multipliant le dénominateur



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Notre hypothèse de départ est fausse donc 2 /? Exercice 1 Montrer que 10 /? On représente souvent les nombres réels sur une « droite numérique » :



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Montrer que si l = 1 tout est possible Correction ? [005232] Exercice 14 *** 1 Soit u une suite de réels 

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  • Comment déterminer des nombres réels ?

    ????Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q?) .

  • Comment comprendre l'analyse mathématique ?

    L'on présente tout d'abord les propriétés des nombres complexes et l'extension aux variables complexes des fonctions élémentaires d'une variable réelle. On développe ensuite le calcul différentiel et intégral complexe de ces fonctions et on étudie les propriétés supplémentaires qui en découlent.
  • Les nombres réels sont utilisés pour compter les choses, les nombres rationnels sont utilisés pour représenter les fractions, les nombres irrationnels sont utilisés pour calculer la racine carrée d'un nombre, et les nombres entiers sont utilisés pour mesurer la température, etc.

Les nombres réels

?????"?????? ?? ??????? ??Q????R

MotivationVoici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce

cours d"analyse.

Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération était en base60,

c"est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la formea+b60+c60

2+. On peut imaginer que pour les

applications pratiques c"était largement suffisant (par exemple estimer la surface d"un champ, le diviser en deux parties

égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage moderne cela correspond à compter uniquement

avec des nombres rationnelsQ.

Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent quep2n"entre pas ce cadre là. C"est-à-dire quep2ne

peut s"écrire sous la formepqavecpetqdeux entiers. C"est un double saut conceptuel : d"une part concevoir quep2

est de nature différente mais surtout d"en donner une démonstration.

Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombresp10et1,101=12. Le premier représente par

exemple la diagonale d"un rectangle de base3et de hauteur1; le second correspond par exemple au taux d"intérêt

mensuel d"un taux annuel de10%. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre à montrer quep10n"est pas un

nombre rationnel mais aussi à encadrerp10 et 1,10

1=12entre deux entiers consécutifs.

Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons besoin d"outils

beaucoup plus sophistiqués : une construction solide des nombres réels, l"étude des suites et de leur limites, l"étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.

Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en étudiant la

fonctionf(x) =x210que la suite des rationnels(un)définie paru0=3etun+1=12 u n+10u nŠtend très vite versp10. Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de p10 et de certifier qu"elles sont exactes : LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ2

1. L"ensemble des nombres rationnelsQ

1.1. Écriture décimale

Par définition, l"ensemble desnombres rationnelsest

Q=§pq

jp2Z,q2Nª

On a notéN=Nnf0g.

Par exemple :

25
;710 ;36 =12 .Les nombres décimaux, c"est-à-dire les nombres de la formea10 n, aveca2Zetn2N, fournissent d"autres exemples :

1,234=1234103=12341000

0,00345=345105=345100000

.Proposition 1.

Un nombre est rationnel si et seulement s"il admet une écriture décimale périodique ou finie.Par exemple :

35
=0,613 =0,3333... 1,179325 !325 !325 !...

Nous n"allons pas donner la démonstration mais le sens direct (=)) repose sur la division euclidienne. Pour la

réciproque ((=) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quex=12,342021 !2021 !...est un

rationnel.

L"idée est d"abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence deux chiffres

après la virgule, donc on multiplie par 100 :

100x=1234,2021 !2021 !... (1)

Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d"une période, donc ici on multiplie encore par10000

pour décaler de 4 chiffres :

10000100x=12342021,2021 !... (2)

Les parties après la virgule des deux lignes(1)et(2)sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant(2)-(1)alors

les parties décimales s"annulent :

10000100x100x=123420211234

donc 999900x=12340787 donc x=12340787999900

Et donc bien sûrx2Q.

1.2. p2n"est pas un nombre rationnel

Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent naturellement

dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d"un carré de côté1est le nombre irrationnelp2; la

circonférence d"un cercle de rayon12estqui est également un nombre irrationnel. Enfine=exp(1)est aussi

irrationnel.1p2 1 2

Nous allons prouver que

p2 n"est pas un nombre rationnel. LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ3Proposition 2.

p2=2QDémonstration.Par l"absurde supposons quep2 soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiersp2Zetq2Ntels quep2=pq, de plus -ce sera important pour la suite- on suppose quepetqsont premiers entre eux (c"est-à-dire

que la fractionpq est sous une écriture irréductible).

En élevant au carré, l"égalitép2=pqdevient2q2=p2. Cette dernière égalité est une égalité d"entiers. L"entier de

gauche est pair, donc on en déduit quep2est pair; en terme de divisibilité 2 divisep2.

Mais si2divisep2alors2divisep(cela se prouve par facilement l"absurde). Donc il existe un entierp02Ztel que

p=2p0.

Repartons de l"égalité2q2=p2et remplaçonsppar2p0. Cela donne2q2=4p02. Doncq2=2p02. Maintenant cela

entraîne que 2 diviseq2et comme avant alors 2 diviseq.

Nous avons prouvé que2divise à la foispetq. Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsont premiers entre

eux. Notre hypothèse de départ est donc fausse :p2 n"est pas un nombre rationnel.

Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente, mais toujours par l"absurde.

Autre démonstration.Par l"absurde, supposonsp2=pq , doncqp2=p2N. Considérons l"ensemble

N=n2Njnp22N.

Cet ensemble n"est pas vide car on vient de voir queqp2=p2Ndoncq2 N. AinsiNest une partie non vide deN,

elle admet donc un plus petit élémentn0=minN.

Posons

n

1=n0p2n0=n0(p21),

il découle de cette dernière égalité et de 1Montrer quep10=2Q. On représente souvent les nombres réels sur une " droite numérique » :321012345ep2

Il est bon de connaître les premières décimales de certains réelsp2'1,4142...'3,14159265...e'2,718...

Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique.Définition 1.

R=R[f1,1gMini-exercices.

1.

Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est un

rationnel. Montrer que l"inverse d"un rationnel non nul est un rationnel. Qu"en est-il pour les irrationnels?

2. Écrire les nombres suivants sous forme d"une fraction : 0, 1212;0, 1212 !...; 78,33456456 !... 3.

Sachant

p2=2Q, montrer 23p2=2Q, 11p2 =2Q. 4.

NotonsDl"ensemble des nombres de la formea2

naveca2Zetn2N. Montrer que13 =2D. Trouverx2Dtel que 1234Montrer que p2p3 =2Q. 6.

Montrer que log 2=2Q(log2 est le logarithme décimal de 2 : c"est le nombre réel tel que 10log2=2).

LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER4

2. Propriétés deR

2.1. Addition et multiplication

Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées. Poura,b,c2Ron a : a+b=b+a ab=ba

0+a=a1a=asia6=0

a+b=0()a=b ab=1()a=1b (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) a(b+c) =ab+ac ab=0()(a=0 oub=0) On résume toutes ces propriétés en disant que :Propriété(R1).

(R,+,)est uncorps commutatif.2.2. Ordre surRNous allons voir que les réels sont ordonnés. La notion d"ordre est générale et nous allons définir cette notion sur un

ensemble quelconque. Cependant gardez à l"esprit que pour nousE=RetR=6.Définition 2.

SoitEun ensemble.

1. UnerelationRsurEest un sous-ensemble de l"ensemble produitEE. Pour(x,y)2EE, on dit quexest en relation avecyet on notexRypour dire que(x,y)2 R. 2.

Une relation Rest unerelation d"ordresi

Restréflexive: pour toutx2E,xRx,

Restantisymétrique: pour toutx,y2E,(xRyetyRx) =)x=y, Resttransitive: pour toutx,y,z2E,(xRyetyRz) =)xRz.Définition 3. Une relation d"ordreRsur un ensembleEesttotalesi pour toutx,y2Eon axRyouyRx. On dit aussi que (E,R)est unensemble totalement ordonné.Propriété(R2). La relation6surRest une relation d"ordre, et de plus, elle est totale.Nous avons donc : pour toutx2R,x6x, pour toutx,y2R, six6yety6xalorsx=y, pour toutx,y,z2Rsix6yety6zalorsx6z.

Remarque.

Pour(x,y)2R2on a par définition :

x6y()yx2R+ xLes opérations deRsont compatibles avec la relation d"ordre6au sens suivant, pour des réelsa,b,c,d:

(a6betc6d) =)a+c6b+d (a6betc>0) =)ac6bc (a6betc60) =)ac>bc.

LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER5

On définit le maximum de deux réelsaetbpar : max(a,b) =¨asia>b bsib>a.

Exercice 2.

Comment définir max(a,b,c), max(a1,a2,...,an)? Et min(a,b)?

2.3. Propriété d"ArchimèdePropriété(R3, Propriété d"Archimède).

Restarchimédien, c"est-à-dire :

8x2R9n2Nn>x

" Pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x. »Cette propriété peut sembler évidente, elle est pourtant essentielle puisque elle permet de définir la partie entière

d"un nombre réel :Proposition 3.

Soit x2R, ilexisteununiqueentier relatif, lapartie entièrenotée E(x), tel que :E(x)6x

E(2,853) =2,E() =3,E(3,5) =4.

E(x) =3()36x<4.

Remarque.

On note aussiE(x) = [x].

Voici le graphe de la fonction partie entièrex7!E(x):xy 1

01y=E(x)2,853E(2,853) =2

Pour la démonstration de la proposition

3 il y a deux choses à établir : d"abord qu"un tel entier E(x)existe et ensuite qu"il est unique.

Démonstration.

Existence.

Supposonsx>0, par la propriété d"Archimède (PropriétéR3) il existen2Ntel quen>x. L"ensemble

K=k2Njk6xest donc fini (car pour toutkdansK, on a06kxcarkmax+1=2K. Donckmax6xUnicité. Siket`sont deux entiers relatifs vérifiantk6xtransitiviték< `+1. En échangeant les rôles de`etk, on a aussi` il n"y a qu"un seul entier compris strictement entre`1 et`+1, c"est`. Ainsik=`.

LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER6

Le casx<0 est similaire.Exemple 2.

Encadronsp10 et 1,1

1=12par deux entiers consécutifs.

•Nous savons32=9<10donc3=p3

210

donc 4=p4

2>p10. Conclusion : 3 =3.

On procède sur le même principe.112<1,10<212donc en passant à la racine12-ième (c"est-à-dire à la puissance

112
) on obtient : 1<1,11=12<2 et doncE1,11=12=1.

2.4. Valeur absolue

Pour un nombre réelx, on définit lavaleur absoluedexpar :jxj=¨xsix>0 xsix<0Voici le graphe de la fonctionx7! jxj:xy 1

01y=jxjProposition 4.

1.jxj>0;jxj=jxj;jxj>0()x6=0

2.px 2=jxj

3.jx yj=jxjjyj

4.Inégalité triangulairejx+yj6jxj+jyj5.Seconde inégalité triangulairejxjjyj6jxyjDémonstration des inégalités triangulaires.

jxj6x6jxjetjyj6y6jyj. En additionnant(jxj+jyj)6x+y6jxj+jyj, doncjx+yj6jxj+jyj.

Puisquex= (xy)+y,on a d"après la première inégalité :jxj=(xy)+y6jxyj+jyj. Doncjxjjyj6jxyj,

et en intervertissant les rôles dexety, on a aussijyj jxj6jyxj. Commejyxj=jxyjon a doncjxjjyj6jxyj.

Sur la droite numérique,jxyjreprésente la distance entre les réelsxety; en particulierjxjreprésente la distance

entre les réelsxet 0.0xyjxjjxyjjjj

De plus on a :

jxajLES NOMBRES RÉELS3. DENSITÉ DEQDANSR7

Exercice 3.

Soita2Rnf0getx2Rtel quejxaj

1.On munit l"ensembleP(R)des parties deRde la relationRdéfinie parARBsiAB. Montrer qu"il s"agit d"une

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