[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que. √. 2 ∈ Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication Τ. Correction Τ.



Les nombres réels

Comme ceci est vrai pour tout entier N ⩾ 1 l'intervalle ouvert ]a



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exercices du chapitre celles qui sont des cas particuliers d'écrasements de ... nombres réels (x



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Ensuite vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes les entiers ainsi que les polynômes. exercices. 1. Résoudre ce système linéaire



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Exercice 8 **I Inégalités de CAUCHY-SCHWARZ et de MINKOWSKI. Soient a1



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exercices corrigés. Alors n'hésitez plus : manipulez calculez



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Les polynômes X3 −X2 −109X −11 et X10 +X5 +1 ont-ils des racines dans Z? Correction ▽. Vidéo □. [006962]. Exercice 13. Soient a0



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nombre réel plus précisément : z = -3. 2. + 7. 2 i et donc z+z = -3. Correction de l'exercice 2 Α. 1. z1 = 2eiπ. 3 = 2(cos π. 3. +isin π. 3. ) = 2(1. 2. +i. /.



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Exercice 5 *** I. Soit (un)n∈N une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme général un converge. Montrer que un.



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où λ est un paramètre réel. 2. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants



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la suite de nombres réels définie par u0 = 0 et pour tout n positif un+1 = 2un +1. Calculer un en fonction de n. Indication ?. [007014]. Exercice 90.



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Montrer que. ?. 2 ? Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication ?. Correction ?.



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Les rationnels les réels. Exercices de Exercice 8 **I Inégalités de CAUCHY-SCHWARZ et de MINKOWSKI. Soient a1



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Ce tome débute par l'étude des nombres réels puis des suites. site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours



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site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés. Au bout du chemin



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Déterminer p en fonction de n. Correction ?. [005153]. Exercice 9 **I. Soient x un réel. Déterminer limn 



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Comme ceci est vrai pour tout entier N ? 1 l'intervalle ouvert ]a



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Les nombres réels . Cours et exercices de maths ... gauche à droite ainsi la première phrase affirme « Pour tout réel x



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Exercice 4. Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : Remarquons d'abord que pour z ? C zz =





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[002922]. Exercice 2923 Nombres de Catalan. Soient x1



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Exercice 5 Le maximum de deux nombres xy (c'est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(xy) De même on notera min(xy) le plus petit des deux 



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Exercice 1 I Montrer que les nombres suivants sont irrationnels 1 (**) ? 2 et plus généralement n ? m où n est un entier supérieur 



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Quel est le nombre d'éléments de Ep ? Quel est le nombre de parties de Ep ? [000130] Exercice 31 x y z étant des nombres réels résoudre le système :



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Voici une introduction non seulement à ce chapitre sur les nombres réels mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d'analyse



Cours et exercices de mathématiques -- Première année - Exo7

Cours de maths exercices avec corrections et vidéos de mathématique avec niveau L1/Math Sup livre-algebre-1 pdf Les nombres réels · ch_reels pdf  



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Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés (1+a)n ? 1+na Correction ? [005147] Exercice 3 ***



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Exercice 7 Calculer le pgcd des nombres suivants : 1 126 230 2 390 720 450 3 180 606 750



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Correction de l'exercice 1 ? Remarquons d'abord que pour z ? C zz = z2 est un nombre réel ce qui fait qu'en multipliant le dénominateur



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Notre hypothèse de départ est fausse donc 2 /? Exercice 1 Montrer que 10 /? On représente souvent les nombres réels sur une « droite numérique » :



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Montrer que si l = 1 tout est possible Correction ? [005232] Exercice 14 *** 1 Soit u une suite de réels 

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  • Comment déterminer des nombres réels ?

    ????Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q?) .

  • Comment comprendre l'analyse mathématique ?

    L'on présente tout d'abord les propriétés des nombres complexes et l'extension aux variables complexes des fonctions élémentaires d'une variable réelle. On développe ensuite le calcul différentiel et intégral complexe de ces fonctions et on étudie les propriétés supplémentaires qui en découlent.
  • Les nombres réels sont utilisés pour compter les choses, les nombres rationnels sont utilisés pour représenter les fractions, les nombres irrationnels sont utilisés pour calculer la racine carrée d'un nombre, et les nombres entiers sont utilisés pour mesurer la température, etc.
Exo7 Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (moyenne arithmétique),g=pxy(moyenne géométrique) et 1h =12 (1x +1y )(moyenne harmonique). Montrer quex6h6g6m6y. qu"avec les deux opérations+et) que pourn2N,(1+1n )n<3.

Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn

ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12

Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a

1+:::+1a

n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k:

(Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances

décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat

de l"exercice 4 inférieur ou égal à 14 1

2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).

3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap;

oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen

fonction den. 2. 1. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 1 et n? entre 1 etx? 2. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 0 et n? entre 0 etx? 3.

Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0

etx? 4.

Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?

5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7.

(***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle

de couples solutions ? ) =E(nx)(poser la division euclidienne deE(nx)parn). (n+2E(n25 ))) =E(8n+2425 1. Montrer qu"il e xiste(an;bn)2(N)2tel que(2+p3)n=an+bnp3, puis que 3b2n=a2n1. 2. Montrer que E((2+p3)n)est un entier impair (penser à(2p3)n)). 2 ) =E(x).

Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24

(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a déjà x=x+x2 6x+y2 =m6y+y2 =yet doncx6m6y. (on peut aussi écrire :mx=x+y2 x=yx2 >0). 2.

On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.

3.mg=x+y2

pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4.

D"après 1), la mo yennearithmétique de

1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique.

Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C.

On se sert de cette remarque pour construireget la comparer graphiquement àm. Onaccolledeuxsegmentsdelongueursrespectivesxety. Onconstruitalorsuntrianglerectangled"hypothénuse

ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur

(BC)vérifiantBA0=xetCA0=y.x+ym g x y A

B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2

, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA

0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4

Pourn2N,(1+1n

)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12

12n<12

Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612

uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1:

En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,

(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j!

16i;j6na

ia j=nå i=1a ia i+å

16i j+aja i) =n+å

16i j+aja i)

Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x

.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x

2=(x1)(x+1)x

2.f

est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en

1. Par suite,

8x>0;f(x)>f(1) =1+11

=2:

(Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat :

12 (x+1x )>rx:1x =1:)

On en déduit alors que

nå i=1a inå j=11a j>n+å

16i

=n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn

carrés, on obtient, f(x) =nå k=1(b2kx2+2akbkx+a2k) = (nå k=1b2k)x2+2(nå k=1a kbk)x+(nå k=1a2k):

1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est

alors négatif ou nul. Ceci fournit 5

0>D0= (nå

k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k:

2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.

Finalement, dans tous les cas,

j

ånk=1akbkj6qå

nk=1a2kqå

nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les

inégalités intermédiaires.

Retrouvons alors l"inégalité de l"exercice

4 . Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : nå i=1a i! nå i=11a i! nå i=1pa i2! nå i=1r1 a i2 nå i=1pa ir1 a i! 2

=n2:Correction del"exer cice6 NSi l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que 1, alors l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c),

c(1a)est négatif (puisquea,betcsont positifs) et donc inférieur ou égal à14 Sinon, les trois réelsa,betcsont dans[0;1]. Le produit des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)vaut a(1a)b(1b)c(1c): Mais, pourx2[0;1],x(1x)est positif et d"autre part,x(1x) =(x12 )2+14 614
. Par suite, a(1a)b(1b)c(1c)614 3: Il est alors impossible que les trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)soient strictement plus grand que14 , leur produit étant dans ce cas strictement plus grand que 14 3.

On a montré dans tous les cas que l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)est inférieur ou

égal à

14

.Correction del"exer cice7 N1.Soit x2R. Alors,E(x)6x on a bienE(x+1) =E(x)+1. 2.

Soient (x;y)2R2. On aE(x)+E(y)6x+y. Ainsi,E(x)+E(y)est un entier relatif inférieur ou égal à

x+y. CommeE(x+y)est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx+y, on a doncE(x)+E(y)6

E(x+y).

Améliorons.E(x)6x