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Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que. √. 2 ∈ Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication Τ. Correction Τ.



Les nombres réels

Comme ceci est vrai pour tout entier N ⩾ 1 l'intervalle ouvert ]a



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exercices du chapitre celles qui sont des cas particuliers d'écrasements de ... nombres réels (x



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Ensuite vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes les entiers ainsi que les polynômes. exercices. 1. Résoudre ce système linéaire



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Exercice 8 **I Inégalités de CAUCHY-SCHWARZ et de MINKOWSKI. Soient a1



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exercices corrigés. Alors n'hésitez plus : manipulez calculez



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Les polynômes X3 −X2 −109X −11 et X10 +X5 +1 ont-ils des racines dans Z? Correction ▽. Vidéo □. [006962]. Exercice 13. Soient a0



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nombre réel plus précisément : z = -3. 2. + 7. 2 i et donc z+z = -3. Correction de l'exercice 2 Α. 1. z1 = 2eiπ. 3 = 2(cos π. 3. +isin π. 3. ) = 2(1. 2. +i. /.



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Exercice 5 *** I. Soit (un)n∈N une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme général un converge. Montrer que un.



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où λ est un paramètre réel. 2. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants



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la suite de nombres réels définie par u0 = 0 et pour tout n positif un+1 = 2un +1. Calculer un en fonction de n. Indication ?. [007014]. Exercice 90.



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Montrer que. ?. 2 ? Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication ?. Correction ?.



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Les rationnels les réels. Exercices de Exercice 8 **I Inégalités de CAUCHY-SCHWARZ et de MINKOWSKI. Soient a1



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Ce tome débute par l'étude des nombres réels puis des suites. site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours



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Déterminer p en fonction de n. Correction ?. [005153]. Exercice 9 **I. Soient x un réel. Déterminer limn 



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Comme ceci est vrai pour tout entier N ? 1 l'intervalle ouvert ]a



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Les nombres réels . Cours et exercices de maths ... gauche à droite ainsi la première phrase affirme « Pour tout réel x



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[002922]. Exercice 2923 Nombres de Catalan. Soient x1



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Exercice 5 Le maximum de deux nombres xy (c'est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(xy) De même on notera min(xy) le plus petit des deux 



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Exercice 1 I Montrer que les nombres suivants sont irrationnels 1 (**) ? 2 et plus généralement n ? m où n est un entier supérieur 



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Quel est le nombre d'éléments de Ep ? Quel est le nombre de parties de Ep ? [000130] Exercice 31 x y z étant des nombres réels résoudre le système :



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Voici une introduction non seulement à ce chapitre sur les nombres réels mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d'analyse



Cours et exercices de mathématiques -- Première année - Exo7

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Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés (1+a)n ? 1+na Correction ? [005147] Exercice 3 ***



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Exercice 7 Calculer le pgcd des nombres suivants : 1 126 230 2 390 720 450 3 180 606 750



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Correction de l'exercice 1 ? Remarquons d'abord que pour z ? C zz = z2 est un nombre réel ce qui fait qu'en multipliant le dénominateur



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Notre hypothèse de départ est fausse donc 2 /? Exercice 1 Montrer que 10 /? On représente souvent les nombres réels sur une « droite numérique » :



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Montrer que si l = 1 tout est possible Correction ? [005232] Exercice 14 *** 1 Soit u une suite de réels 

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  • Comment déterminer des nombres réels ?

    ????Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q?) .

  • Comment comprendre l'analyse mathématique ?

    L'on présente tout d'abord les propriétés des nombres complexes et l'extension aux variables complexes des fonctions élémentaires d'une variable réelle. On développe ensuite le calcul différentiel et intégral complexe de ces fonctions et on étudie les propriétés supplémentaires qui en découlent.
  • Les nombres réels sont utilisés pour compter les choses, les nombres rationnels sont utilisés pour représenter les fractions, les nombres irrationnels sont utilisés pour calculer la racine carrée d'un nombre, et les nombres entiers sont utilisés pour mesurer la température, etc.
Exo7

Les rationnels, les réels

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1IMontrer que les nombres suivants sont irrationnels. 1. p2 et plus généralement npmoùnest un entier supérieur ou égal à 2 etmest un entier naturel supérieur ou égal à 2, qui n"est pas une puissancen-ième parfaite. 2. (**) log 2. 3. (****) p(LAMBERTa montré en 1761 quepest irrationnel, LEGENDREa démontré en 1794 quep2est irrationnel, LINDEMANNa démontré en 1882 quepest transcendant).

Pour cela, supposer par l"absurde quep=pq

avecpetqentiers naturels non nuls et premiers entre eux.

Considérer alorsIn=Rp=q

0xn(pqx)nn!sinx dx,n2Net montrer queInvérifie

(a)Inest un entier relatif ; (b)In>0 ; (c) lim n!+¥In=0 (voir devoir). 4. (***) e(HERMITEadémontréen1873queeesttranscendant. C"esthistoriquementlepremier vrai nombre dont on a réussi à démontrer la transcendance). Pour cela, établir que pour tout entier natureln,e=ånk=01k!+R1

0(1t)nn!etdt, puis quepour toutentier

naturel non nuln, 0). Pour cela trouver une équation du troisième degré à coefficients entiers dont les solutions

sont cos(2p7 ), cos(4p7 )et cos(6p7 ), puis vérifier que cette équation n"a pas de racine rationnelle (supposer par l"absurde qu"il y a une racine rationnelle pq avecp2Z,q2Net PGCD(p;q) =1 et montrer quep

divise 1 etqdivise 8). (On rappelle le théorème de GAUSS: soienta,betctrois entiers relatifs tous non

nuls. Siadivisebcetaetbsont premiers entre eux, alorsadivisec). 6. p2+p3+p5. inf(A+B)existent et que l"on a sup(A+B) =supA+supBet inf(A+B) =infA+infB. (A+Bdésigne l"ensemble des sommes d"un élément deAet d"un élément deB). +(1)n;n2N. Déterminer supAet infA. 1 Exercice 4**ITSoitAune partie non vide et bornée deR. Montrer que supfjxyj;(x;y)2A2g=supAinfA.

sup(AB)? (A+B(resp.AB) désigne l"ensemble des sommes (resp. des produits) d"un élément deAet d"un

élément deB).

que le nombre 0;ukuk+1uk+2:::est rationnel. 1. En considérant la fonction f:x7!ånk=1(ak+xbk)2, montrer quejånk=1akbkj6qå nk=1a2kqå nk=1b2k (inégalité de CAUCHY-SCHWARZ). 2. En déduire l"inég alitéde M INKOWSKI:på nk=1(ak+bk)26qå nk=1a2k+qå nk=1b2k.

(l"inégalité de CAUCHY-SCHWARZaffirme que le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur ou égal

au produit de leurs normes et l"inégalité de MINKOWSKIest l"inégalité triangulaire). R.

Indication : pourGsous-groupe donné de(R;+), non réduit àf0g, considérera=Inf(G\]0;+¥[)puis

envisager les deux casa=0 eta>0. (Definition :Gest dense dansRsi et seulement si :(8x2R;8e>0;9y2G=jyxj2. Supposons alors queaetbsoient des entiers supérieurs à 2 (et quean=mbn). L"exposant

de tout facteur premier deanou debnest un multiple denet par unicité de la décomposition en facteurs

premiers, il en est de même de tout facteur premier dem. Ceci montre que, sinpmest rationnel,mest une

puissancen-ième parfaite. Réciproquement, simest une puissancen-ième parfaite,npmest un entier et

en particulier un rationnel. En résumé :

8(m;n)2(Nnf0;1g)2;npm2Q,npm2N,mest une puissancen-ième parfaite:Par suite, simn"est pas une puissancen-ième parfaite,npmest irrationnel.

2. log22Q) 9(a;b)2(N)2=log2=ab ) 9(a;b)2(N)2=10a=b=2) 9(a;b)2(N)2=10a=2b ) 9(a;b)2(N)2=5a=2ba:

Puisque 5

a>1, ceci imposeba2N. Mais alors, l"égalité ci-dessus est impossible poura6=0 et

b6=0 par unicité de la décomposition en facteurs premiers d"un entier naturel supérieur ou égal à 2. On

a montré par l"absurde que

log2 est irrationnel.3.Supposons par l"absurde que psoit rationnel. Il existe alors deux entiers naturels non nulspetqtels que

p=pq . Pournentier naturel non nul donné, posons I n=1n!Z p

0xn(pqx)nsinx dx=1n!Z

p=q

0xn(pqx)nsinx dx:

• Tout d"abord, pour 06x6pq , on a 06x(pqx)=p2q pp2qq =p24q, et donc (puisque 06sinx61 pourx2[0;p]),

06In61n!Z

p=q 0 p24q n dx=pn! p24q n D"après le résultat admis par l"énoncé, pn! p24q ntend vers 0 quandntend vers+¥, et donc d"après le

théorème de la limite par encadrement, la suite(In)converge et limn!+¥In=0. • Ensuite, puisque pour

xélément de[0;p], on axn(pqx)nsinx>0, pournentier naturel non nul donné, on a I n=1n!Z p

0xn(pqx)nsinx dx>1n!Z

3p=4 p=4xn(pqx)nsinx dx>1n! 3p4 p4 p4q pp4qq n1p2 p2 p2n!

3p216q

n >0:

Donc,8n2N;In>0. • Vérifions enfin que, pour tout entier naturel non nuln,Inest un entier (relatif).

SoitPn=1n!xn(pqx)n.Pnest un polynôme de degré 2net 0 etpq sont racines d"ordrendePnet donc, 4 pour 06k6n, racines d"ordrenkdeP(k)n. En particulier,P(k)n(0)etP(k)npq sont, pour 06k2n+1,P(k)n>0 et en particulier,P(k)n(0)et Pn (k)pq sont, pourk>2n+1, des entiers relatifs. Soitkun entier tel quen6k62n.

1n!xn(pqx)n=1n!xnnå

i=0Cinpni(1)iqixi=nå i=0C inn!pni(1)iqixn+i=2nå k=nC knnn!p2nk(1)knqknxk:

On sait alors que

P (k)n(0) =k!(coefficient dexk) = (1)knk!n!Cknnp2nkqkn: ce qui montre queP(k)n(0)est entier relatif (puisquen6k62n). Puis, commePnpq x =Pn(x), on a encoreP(k)npq x = (1)kP(k)n(x)et en particulierP(k)npq = (1)kP(k)n(0)2Z. On a montré que pour tout entier naturelk,P(k)n(0)etP(k)npq sont des entiers relatifs. Montrons alors queInest un entier relatif. Une première intégration par parties fournit :In= [Pn(x)cosx]p=q

0+Rp=q

0P0n(x)cosx dx. cos

prend des valeurs entières en 0 et pq =pde même quePn. Par suite, I n2Z,Z p=q

0P0n(x)cosx dx2Z:

Une deuxième intégration par parties fournit : Rp=q

0P0n(x)cosx dx= [P0n(x)sinx]p=q

0Rp=q

0P00n(x)sinx dx.

sin prend des valeurs entières en 0 et pq =p, de même queP0net I n2Z,Z p=q

0P00n(x)sinx dx2Z:

En renouvelant les intégrations par parties et puisque sin et cos prennent des valeurs entières en 0 etpde

même que les dérivées succesives dePn, on en déduit que : I n2Z,Z p=q

0P(2n)n(x)sinx dx2Z:

Mais, Z p=q

0P(2n)n(x)sinx dx=Z

p=q

01n!(q)n(2n)!sinx dx=2(q)n(2n)(2n1):::(n+1)2Z:

Donc pour tout natureln,Inest un entier relatif, strictement positif d"après plus haut. On en déduit que

pour tout natureln,In>1. Cette dernière constatation contredit le fait que la suite(In)converge vers 0.

L"hypothèsepest rationnel est donc absurde et par suite, pest irrationnel.4.Montrons par récurrence que : 8n2N;e=ånk=01k!+R1

0(1t)nn!etdt. • Pourn=0,R1

0(1t)nn!etdt=R1

0etdt=e1 et donc,e=1+R1

0etdt=å0k=01k!+R1

0(1t)00!

etdt. • Soitn>0. Supposons que e=ånk=01k!+R1

0(1t)nn!etdt. Une intégrations par parties fournit :

Z 1

0(1t)nn!etdt=

(1t)n+1(n+1)n!et 1 0 +Z 1

0(1t)n+1(n+1)!etdt=1(n+1)!+Z

1

0(1t)n+1(n+1)!etdt;

et donc, 5 e=nå k=01k!+1(n+1)!+Z 1

0(1t)n+1(n+1)!etdt=n+1å

k=01k!+Z 1

0(1t)n+1(n+1)!etdt:

Le résultat est ainsi démontré par récurrence. Soitnun entier naturel non nul. D"après ce qui précède,

0 k=01k!=Z 1

0(1t)nn!etdt 1

0(1t)nn!dt=e(n+1)!<3(n+1)!:

Supposons alors par l"absurde queesoit rationnel. Alors, il existe(a;b)2(N)2=e=ab . Soitnun entier naturel non nul quelconque. D"après ce qui précède, on a 0ånk=01k!<3(n+1)!, ce qui s"écrit encore

après multiplication des trois membres parbn!

0 En particulier, pourn=3b, on a 0