CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis Changements
Exercice 2 : Démontrez que pour tout entier naturel n ? N et en développant le second membre
sommes-doubles-finies.pdf
On appelle somme double finie toute somme de la forme. . j n. i l. i j Calculer
sommes.pdf
Remarque. J'éviterai de dé nir une somme S = i. ? k=j xk où on aurait i<j car ce serait ambigu à cause de deux interprétations incompatibles suivantes : 2
Sommes et produits
somme partielle jusqu'à k. 0 q0 = 1. 1. 1 q1 = q. 1 + q. 2 On utilise souvent une des lettres i j ou k comme indice. ... La somme double.
Calculs algébriques
Une somme double dont le domaine de sommation porte sur des indices entiers i et j vérifiant une inégalité du type i ? j ou i<j est dite triangulaire.
Sommes Doubles 1 Sommes finies
uij est un réel appelé terme d'indice (i
Sommes et séries
1?i<j?n aij = n?1. ? i=1 n. ? j=i+1 aij = n. ? j=2 j?1. ? i=1 aij. Propriété 9 (Somme double indexée par un triangle). Preuve.
CPGE Brizeux
(k p. ) = (n + 1 p + 1. ) . Exercice 2. Une somme double. 1. Soit (n q) ? N × C. •
[PDF] 02 doubles sommationspdf
Dans de tels cas on dit que la somme double est "sommée d'abord sur k" Une somme qui dépend de plus d'un indice peut être sommée d'abord sur n'importe lequel
[PDF] Calculs de sommes doubles
Nous pouvons réécrire la somme S sous la forme : n ? i=1 n ? j=1 min(i j) par définition même du min(i j) nous choisissons d'écrire S :
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
et en développant le second membre retrouvez la valeur de la somme S1 = n ? k=0 k 2 Utilisez une méthode analogue pour retrouver les valeurs des sommes
[PDF] Sommes doubles - Anthony Mansuy
On les réorganise en ”commençant” par j: 2 ? j ? n et 1 ? i ? j ? 1 On en déduit que la somme double s'écrit : n ? j=2
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
10i + 2 lorsque l'indice i prend toute les valeurs entières entre 4 et 8 ces deux valeurs On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme)
[PDF] Sommes doubles
But: Calculer cette somme double ? 1?ij?n 2 Calcul de sommes doubles Dans ce paragraphe A est de la forme: A = {(i j) ? [1n]2 /i = j}
[PDF] Sommes doubles finies - WordPresscom
On appelle somme double finie toute somme de la forme j n i l i j Calculer pourn etm deux entiers naturels non nuls les sommes suivantes :
[PDF] Calcul Algébrique
Une double somme est une somme de sommes et on peut toujours intervertir les deux Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances
[PDF] Sommes doubles - WordPresscom
Il y a globalement deux cas à savoir maîtriser : les sommes doubles sur un 7 2 SOMME DOUBLE SUR UN TRIANGLE i \ j 1 2 j p 1 a11 a12
Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits
Soit $(a_{ij})_{(ij)\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels Intervertir les sommes doubles suivantes : $S_1
Comment calculer la somme double ?
On commence par se mettre sur la rangée correspondante à j = 1 et on somme toutes les cases de cette rangée en commen?nt par la case de gauche correspondante à i = 1. Une fois les éléments de la colonne j = 1 sommés, on passe à la rangée j = 2 et on somme les cases à partir de la case i = 1.Qu'est-ce qu'une double somme ?
Observez que la borne peut être une des variables de la quantité à sommer. Une double somme est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux.Comment calculer la somme de K ?
k = n (n + 1) 2 . La variable k est appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre i comme variable d'indice.- un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé. un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l. Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé
ECE1Lycee Clemenceau, Reims
Sommes doublesTP11
1 Sommes doubles a indices independants
On considere des reelsxi;javeci2[[1;n]] etj2[[1;m]]. On range ces valeurs dans un tableau : x1;1x1;2x1;jx1;m
x2;1x2;2x2;jx2;m............
x i;1xi;2xi;jxi;m............ x n;1xn;2xn;jxn;m On souhaite calculer la sommeSde tous ces termes :•Sommation suivant les lignes: On calcule la somme des termes de la premiere ligne, puis on ajoute
les termes de la deuxieme ligne, ... et enn la somme des termes de lan-ieme ligne : S=mX j=1x1;j+mX
j=1x2;j+:::+mX
j=1x i;j+:::+mX j=1x n;j=nX i=10 mX j=1x i;j1 A •Sommation suivant les colonnes: On calcule la somme des termes de la premiere colonne, puis on ajoute les termes de la deuxieme colonne, ... et enn la somme des termes de lam-ieme colonne : S=nX i=1x i;1+nX i=1x i;2+:::+nX i=1x i;j+:::+nX i=1x i;m=mX j=1 nX i=1x i;j!On obtient evidement la m^eme somme avec ces deux methodes d'ou la formule d'interversion suivante :Consideronsnmreelsxi;j, aveci2[[1;n]] etj2[[1;m]]. Alors la sommeSde tous ces termes est :
S=nX i=10 mX j=1x i;j1 A =mX j=1 nX i=1x i;j!On noteraSsous la forme plus conciseX
1in 1jmx i;jouX1i;jnx
i;jlorsquen=m.Propriete 1(Interversion de sommes a indices independants)Exemple.Avecn= 3, on a : X1i;j3x
i;j=3X i=10 3X j=1x i;j1 A 3X j=1 3X i=1x i;j! =x1;1+x2;1+x3;1+x1;2+x2;2+x3;2+x1;3+x2;3+x3;3:Exercice 11.Ecrire sans les symbolesXl'expression :X 1i2 1j4ij 2. Ecrire avec le symboleXl'expression : 112+ 212+ 312+ 122+ 222+ 322. 1 ECE1Lycee Clemenceau, ReimsExercice 2On considere la procedure suivante : n=input( 'Donnerunevaleurden:' ) S=0 fori =1:n do forj =1:n doS=S+i?j ^2
end end disp(S) 1.En trerd ansl' editeurde Scilab cette p rocedure.T esterp ourdi erentesv aleursde n. A quoi correspond
la valeur deSdonnee en sortie ? 2.Calculer S"a la main" et verier le resultat gr^ace aux valeurs obtenues avec Scilab.Exercice 3On considere les sommes suivantes, ounest un entier2 :
S n=X1i;jni; T
n=X1i;jnj2ietUn=X
1i;jnij
1. Construire une pro cedurequi, etantdonn eun en tiern2, calculeSn,TnetUn. 2. Calculer ces sommes " ala main" et v eriera vecles r esultatsobten usa vecScilab.2 Sommes doubles a indices dependants
Considerons maintenant des reelsxi;javec 1ijnranges dans le tableau carre suivant : x1;1x1;2x1;jx1;n
x2;2x2;jx2;n
x j;jxj;n x n;n On souhaite calculer la sommeSde tous ces termes :•Sommation suivant les lignes: On calcule la somme des termes de la premiere ligne, puis on ajoute
les termes de la deuxieme ligne, ... et enn la somme des termes de lan-ieme ligne : S=nX j=1x1;j+nX
j=2x2;j+:::+nX
j=ix i;j+:::+nX j=nx n;j=nX i=10 nX j=ix i;j1 A •Sommation suivant les colonnes: On calcule la somme des termes de la premiere colonne, puis on ajoute les termes de la deuxieme colonne, ... et enn la somme des termes de lan-ieme colonne : S=1X i=1x i;1+2X i=1x i;2+:::+jX i=1x i;j+:::+nX i=1x i;n=nX j=1 jX i=1x i;j!On obtient evidement la m^eme somme avec ces deux methodes d'ou la formule d'interversion suivante :Considerons des reelsxi;javec 1ijn. Alors la sommeSde tous ces termes est :
S=nX i=10 nX j=ix i;j1 A =nX j=1 jX i=1x i;j!On noteraSsous la forme plus conciseX
1ijnx i;j.Propriete 2(Interversion de sommes a indices dependants)2ECE1Lycee Clemenceau, Reims
Exemple.Avecn= 4, on a :
X 1ij4x i;j=4X i=10 4X j=ix i;j1 A 4X j=1 jX i=1x i;j!=x1;1+x1;2+x2;2+x1;3+x2;3+x3;3+x1;4+x2;4+x3;4+x4;4:Exercice 41.Ecrire sans les symbolesXl'expression :X
1ij5(ji).
2.Ecrire avec le symboleXl'expression :11
+12 +13 +14 +22+23
+24
+33
+34
+44
.Methode.
Pour intervertir les symboles
Xdans la sommenX
i=10 nX j=ix i;j1 A , on peut proceder ainsi : •Le systeme d'indices qui decrit la somme est 1inetijn. •On synthetise ces conditions : 1ijn. •On les reorganise en "commencant" parj: 1jnet 1ij.On en deduit que la somme double s'ecrit :
nX j=1 jX i=1x i;j!quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] exercice statique analytique
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