CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis Changements
Exercice 2 : Démontrez que pour tout entier naturel n ? N et en développant le second membre
sommes-doubles-finies.pdf
On appelle somme double finie toute somme de la forme. . j n. i l. i j Calculer
sommes.pdf
Remarque. J'éviterai de dé nir une somme S = i. ? k=j xk où on aurait i<j car ce serait ambigu à cause de deux interprétations incompatibles suivantes : 2
Sommes et produits
somme partielle jusqu'à k. 0 q0 = 1. 1. 1 q1 = q. 1 + q. 2 On utilise souvent une des lettres i j ou k comme indice. ... La somme double.
Calculs algébriques
Une somme double dont le domaine de sommation porte sur des indices entiers i et j vérifiant une inégalité du type i ? j ou i<j est dite triangulaire.
Sommes Doubles 1 Sommes finies
uij est un réel appelé terme d'indice (i
Sommes et séries
1?i<j?n aij = n?1. ? i=1 n. ? j=i+1 aij = n. ? j=2 j?1. ? i=1 aij. Propriété 9 (Somme double indexée par un triangle). Preuve.
CPGE Brizeux
(k p. ) = (n + 1 p + 1. ) . Exercice 2. Une somme double. 1. Soit (n q) ? N × C. •
[PDF] 02 doubles sommationspdf
Dans de tels cas on dit que la somme double est "sommée d'abord sur k" Une somme qui dépend de plus d'un indice peut être sommée d'abord sur n'importe lequel
[PDF] Calculs de sommes doubles
Nous pouvons réécrire la somme S sous la forme : n ? i=1 n ? j=1 min(i j) par définition même du min(i j) nous choisissons d'écrire S :
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
et en développant le second membre retrouvez la valeur de la somme S1 = n ? k=0 k 2 Utilisez une méthode analogue pour retrouver les valeurs des sommes
[PDF] Sommes doubles - Anthony Mansuy
On les réorganise en ”commençant” par j: 2 ? j ? n et 1 ? i ? j ? 1 On en déduit que la somme double s'écrit : n ? j=2
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
10i + 2 lorsque l'indice i prend toute les valeurs entières entre 4 et 8 ces deux valeurs On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme)
[PDF] Sommes doubles
But: Calculer cette somme double ? 1?ij?n 2 Calcul de sommes doubles Dans ce paragraphe A est de la forme: A = {(i j) ? [1n]2 /i = j}
[PDF] Sommes doubles finies - WordPresscom
On appelle somme double finie toute somme de la forme j n i l i j Calculer pourn etm deux entiers naturels non nuls les sommes suivantes :
[PDF] Calcul Algébrique
Une double somme est une somme de sommes et on peut toujours intervertir les deux Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances
[PDF] Sommes doubles - WordPresscom
Il y a globalement deux cas à savoir maîtriser : les sommes doubles sur un 7 2 SOMME DOUBLE SUR UN TRIANGLE i \ j 1 2 j p 1 a11 a12
Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits
Soit $(a_{ij})_{(ij)\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels Intervertir les sommes doubles suivantes : $S_1
Comment calculer la somme double ?
On commence par se mettre sur la rangée correspondante à j = 1 et on somme toutes les cases de cette rangée en commen?nt par la case de gauche correspondante à i = 1. Une fois les éléments de la colonne j = 1 sommés, on passe à la rangée j = 2 et on somme les cases à partir de la case i = 1.Qu'est-ce qu'une double somme ?
Observez que la borne peut être une des variables de la quantité à sommer. Une double somme est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux.Comment calculer la somme de K ?
k = n (n + 1) 2 . La variable k est appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre i comme variable d'indice.- un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé. un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l. Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé
BCPST1Sommes et produits
" Jeune homme, en mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s"y habitue. »J. von Neumann (1903-1957)
Ce chapitre est purement calculatoire. Il vise à introduire trois notations et à les manipuler.1 Le symbole somme Pourq6= 1fixé, la somme des puissances deqa été vue au lycée : q0+q1+q2+q3++qn=1qn+11q
L"utilisation des points de suspension pour écrire cette somme rend l"écriture assez lourde et potentiellement ambigüe. Ce chapitre introduit une notation plus ramassée n X k=0q k=q0+q1+q2+q3++qn Cette notation se lit comme une boucleforen informatique : kva prendre toutes les valeurs successives de0(borne du bas) jusqu"àn(borne du haut) Pour chaque valeur dekon rajoute le nombreqk(à droite du signe somme) au résultat précédent.kq ksomme partielle jusqu"àk0q 0= 11 1q1=q1 +q2q
21 +q+q2:
::nq n1 +q+q2++qn=1qn+11qOn peut ensuite varier les plaisirs :Exemple
n X k=01 = 1 + 1 ++ 1|{z} n+1fois=n+ 1 Si on veut sommer lesqkà partir de5et jusqu"àn1pourq6= 0, on écrit : n1X k=5q k=q5+q4++q0+q1++qn1 BCPSThttps://molin-mathematiques.frSoientm2Zetn2Z, avecmn,Soit(am;am+1;;an)une liste de nombres1.
On définit la somme desakpourkvariant demànpar n X k=ma k=am+am+1++anOn note également :
nX k=ma k=X mkna k=X k2[[m;n]]a kPourm > n, la somme est vide et vaut 0 :nP
k=ma k= 0Notation(Utilisation du symboleP) L"usage des points de suspension pour définir la notation somme n"est pas parfaite- ment satisfaisante. D"un point de vue purement formel, on préfèrerait donc une définition qui s"appuie sur le caractère récursif de la somme. En effet, si on sait définir une somme jusqu"au rangn, alors il suffit de rajouter un seul élément pour avoir une somme jusqu"au rangn+ 1. Ainsi, on peut formuler une définition équivalente de la somme à l"aide du principe de récurrence : Initialisation - somme vide :Pour tout(m;n)2Z2avecm > n,nX k=ma k= 0: Hérédité :Pour tout(m;n)2Z2avecmn+ 1,n+1X k=ma k=nX k=ma k+an+1.Définition 1.1(Définition d"une somme par récurrence)Exemple
Soita2R;calculernX
k=0a.Solution :1:Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative
" somme » a été définie (pour certaines formules, la commutativité est aussi nécessaire). Ce n"est
pas spécifique aux nombres : cette notation sera utilisée plus loin pour sommer des vecteurs par
exemple.Remarques : 1. L"indice ne recule pas: sim > n, c"est-à-dire si la borne du bas est plus grande que celle du haut, alors la somme est vide et vaut0par convention.Exemple :
5X k=72 k= 0:2.kestl"indice de sommation, on dit que l"indice estmuet. Cela veut dire qu"il
ne sert qu"à l"intérieur de la somme et qu"on peut changer son nom sans changer la valeur de la somme.Exemple :nX
k=02 k=nX i=02 i=nX j=02 j On utilise souvent une des lettresi;joukcomme indice. 3. L"indice n"a de sens qu"à l" intérieurde la somme ; en dehors, il n"est plus défini. S"il vous reste un indice dans l"expression après le calcul de la somme, c"est que vous vous êtes trompé 2.Exemple
Chercher l"erreur :
nX n=0q n:Solution :
Pour tout(m;n;p)2Z3avecmpn,nX
k=ma k=pX k=ma k+nX k=p+1a k.Propriété 1.2(Relation de Chasles) Cette relation permet simplement de faire une petite pause au milieu du calcul. At- tention néanmoins à bien recommencer à l"indicep+ 1, et non à l"indiceppour necompter qu"une seule foisap.2:Ce n"est pas le cas en Python où on peut récupérer la valeur du dernier indice d"une boucle
foraprès la fin de la boucle.BCPST32 Méthodes de calcul
A Linéarité
La somme est linéaire, c"est-à-dire que
pour toutes les suites(un)et(vn), et pour toute constante, on a8(m;n)2Z2;nX
k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv kPropriété 2.1(Linéarité de la somme)Preuve
Pour toutm2Z, on prouve le résultat par récurrence surn, à partir de la définition de la somme. Remarque :Dans la récurrence, seul "n» doit varier. on ne fait jamais de récurrence sur un couple de valeurs, mais seulement sur un nombre entier.Rédaction formelle :
Pourm2Zquelconque fixé,
Sin < m, alors le résultat est vrai (toutes les sommes sont vides et donc nulles). On démontrer le résultat pournmpar récurrence surn.Pour toutnm, on définit la propriété
P m(n) :"nX k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv k»Initialisation :pourn=m, le résultat est vrai.
Hérédité :on suppose que le résultat est vrai pour un certainnmquelconque fixé, et on le montre alors pourn+ 1. n+1X k=m(uk+vk) =nX k=m(uk+vk) + (un+1+vn+1) =nX k=mu k+nX k=mv k+un+1+vn+1(par hypothèse de récurrence) nX k=mu k+un+1! +nX k=mv k+vn+1 =n+1X k=mu k+n+1X k=mv kD"où le résultat vrai au rangn+ 1.
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