CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis Changements
Exercice 2 : Démontrez que pour tout entier naturel n ? N et en développant le second membre
sommes-doubles-finies.pdf
On appelle somme double finie toute somme de la forme. . j n. i l. i j Calculer
sommes.pdf
Remarque. J'éviterai de dé nir une somme S = i. ? k=j xk où on aurait i<j car ce serait ambigu à cause de deux interprétations incompatibles suivantes : 2
Sommes et produits
somme partielle jusqu'à k. 0 q0 = 1. 1. 1 q1 = q. 1 + q. 2 On utilise souvent une des lettres i j ou k comme indice. ... La somme double.
Calculs algébriques
Une somme double dont le domaine de sommation porte sur des indices entiers i et j vérifiant une inégalité du type i ? j ou i<j est dite triangulaire.
Sommes Doubles 1 Sommes finies
uij est un réel appelé terme d'indice (i
Sommes et séries
1?i<j?n aij = n?1. ? i=1 n. ? j=i+1 aij = n. ? j=2 j?1. ? i=1 aij. Propriété 9 (Somme double indexée par un triangle). Preuve.
CPGE Brizeux
(k p. ) = (n + 1 p + 1. ) . Exercice 2. Une somme double. 1. Soit (n q) ? N × C. •
[PDF] 02 doubles sommationspdf
Dans de tels cas on dit que la somme double est "sommée d'abord sur k" Une somme qui dépend de plus d'un indice peut être sommée d'abord sur n'importe lequel
[PDF] Calculs de sommes doubles
Nous pouvons réécrire la somme S sous la forme : n ? i=1 n ? j=1 min(i j) par définition même du min(i j) nous choisissons d'écrire S :
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
et en développant le second membre retrouvez la valeur de la somme S1 = n ? k=0 k 2 Utilisez une méthode analogue pour retrouver les valeurs des sommes
[PDF] Sommes doubles - Anthony Mansuy
On les réorganise en ”commençant” par j: 2 ? j ? n et 1 ? i ? j ? 1 On en déduit que la somme double s'écrit : n ? j=2
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
10i + 2 lorsque l'indice i prend toute les valeurs entières entre 4 et 8 ces deux valeurs On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme)
[PDF] Sommes doubles
But: Calculer cette somme double ? 1?ij?n 2 Calcul de sommes doubles Dans ce paragraphe A est de la forme: A = {(i j) ? [1n]2 /i = j}
[PDF] Sommes doubles finies - WordPresscom
On appelle somme double finie toute somme de la forme j n i l i j Calculer pourn etm deux entiers naturels non nuls les sommes suivantes :
[PDF] Calcul Algébrique
Une double somme est une somme de sommes et on peut toujours intervertir les deux Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances
[PDF] Sommes doubles - WordPresscom
Il y a globalement deux cas à savoir maîtriser : les sommes doubles sur un 7 2 SOMME DOUBLE SUR UN TRIANGLE i \ j 1 2 j p 1 a11 a12
Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits
Soit $(a_{ij})_{(ij)\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels Intervertir les sommes doubles suivantes : $S_1
Comment calculer la somme double ?
On commence par se mettre sur la rangée correspondante à j = 1 et on somme toutes les cases de cette rangée en commen?nt par la case de gauche correspondante à i = 1. Une fois les éléments de la colonne j = 1 sommés, on passe à la rangée j = 2 et on somme les cases à partir de la case i = 1.Qu'est-ce qu'une double somme ?
Observez que la borne peut être une des variables de la quantité à sommer. Une double somme est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux.Comment calculer la somme de K ?
k = n (n + 1) 2 . La variable k est appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre i comme variable d'indice.- un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé. un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l. Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé
Pascal ORTIZ
Sommes
Éléments de cours, 61 exercices
Version du 1
eroctobre 2018Licence CC-BY
Table des matières
1 Présentation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Découverte de la notion de somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Dé?nition formelle d"une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Indice muet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Déployer une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La somme1 + 2 + 3 ++n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Extensions de la dé?nition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Sommes remarquables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sommes des termes d"une suite géométrique
. . . . . . . . . . . . . . . 5La factorielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Le coe?cient binomial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Le triangle de Pascal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Formule du binôme de Newton
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Conséquences classiques de la formule du binôme . . . . . . . . . . . . 12Somme des puissances d"entiers consécutifs
. . . . . . . . . . . . . . . . 133 Propriétés des sommes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Découpage d"une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Somme d"une expression constante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Nombre de termes dans une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Linéarité de la sommation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Changement d"indice dans une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Notion de télescopage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Sommes multiples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Sommes emboîtées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Théorème de Fubini
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Interversion plus générale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Sommes et programmation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Calculer des sommes en Python
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Calcul de sommes formelles avec SageMath
. . . . . . . . . . . . . . . . 216 En vrac ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Importance des sommes en mathématiques
. . . . . . . . . . . . . . . . 22Somme vide
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iindice et{complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Indice muet et double somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Télescopage sans déploiement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Homogénéiser par décalage d"indice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Réduction après changement d"indice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Présentation
Découverte de la notion de somme
est une lettre grecque majuscule, équivalente à notre S. Le symboleest une notation utilisée
pour désigner dessommesmathématiques.Soit la quantité suivante
S=8X i=4(10i+ 2) Alors, cette notation doit se comprendre de la manière suivante :Svaut lasommede tous les nombres de la forme10i+ 2
lorsque l"indiceiprend toute les valeurs entières entre 4 et 8, ces deux valeurs étant incluses.
Le calcul donne queS= 310. Le tableau suivant montre comment calculerS:i4567810i+ 24252627282
Somme4294156228310
Dé?nition formelle d"une somme
Soit une suite(xk)kde nombres réels ou complexes dé?nie entre deux indices ?xésietjtels queij.Alors, par dé?nition,
j X k=ix k=xi+xi+1+xi+2++xjVariante de notation :
X ikjx k=xi+xi+1++xjet plus généralement, si on apindices deux à deux distinctsi1;i2;:::;ipdansfi;:::;jget si on
poseK=fi1;i2;:::;ipgalors on peut dé?nir S=X k2Kx k=xi1+xi2++xip et siKest vide, on convient queS= 0.Remarque.J"éviterai de dé?nir une sommeS=iX
k=jx koù on auraiti < jcar ce serait ambigu à cause de deux interprétations incompatibles suivantes : 2 -une somme ne dép endantpas de l" ordredes termes, on aurait S=jX k=ix k les indices de la somme par courraientl" ensemblefk;jkigqui est l"ensemble vide et doncS= 0Indice muet
La somme
S=10X k=1(2k1)est une constante qui NE dépend PAS dek. La lettreksert juste à exprimer la quantité variable
lorsque l"on somme. D"ailleurs, la somme vaut 100 :S= 1 + 3 + 5 ++ 19 = 100
et donc elle ne dépend pas dek. On dit quekest unelettre muetteou unevariable muetteet on peut remplacerkpar n"importe quelle lettre non déjà utilisée, par exemple icij: 10 X k=1k=10X j=1jEn revanche, sin0est un entier donné, la somme
n X k=1k= 1 + 2 ++n dépend de la valeur denpuisqu"on obtient des valeurs di?érentes selon quenvaut par exemple2 ou 5. Donc on peut noter cette sommeSn.
Si au cours d"un calcul, vous vous retrouvez avec une somme qui dépend d"un indice de som- mation, c"est que vous avez fait une erreur quelque part. Par exemple, si vous arrivez à p X n=1n=n(n+ 1)2votre résultat est absurde puisque votre réponse dépend denqui est l"indice de la somme (et qui
n"a pas d"autre existence en dehors de permettre le calcul de la somme).Déployer une somme
Quand je parlerai dedéployer une sommecela signi?era qu"on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma nP k=1x ksous sa forme sans sigma x1+x2++xn
3Lorsque
les te chniquesde transformations de sommes ne sont pas bien comprises, le formalisme de vientinutilement compliqué , il est plus simple ou plus productif de revenir à la dé?nition d"une somme avec des points de suspension.La somme1 + 2 + 3 ++n
Soitn2Nn f0g. On peut considérer la somme
S n=nX k=1k= 1 + 2 + 3 ++n Il s"agit donc de la somme desnpremiers entiers strictement positifs. A priori, il n"est pas acquis queSnpuisse se simpli?er en une formule simple. Pourtant, on peut réduireSnavec la formule suivante : n X k=1=n(n+ 1)2Cette formule peut s"établir de nombreuses façons. Elle a contribué à la légende du mathémati-
cien Gauss qui aurait découvert et appliqué cette formule au casn= 100alors qu"il était encore
à l"école primaire, comme c"est raconté dans sa biographie On peut en établir la preuve par récurrence surnmais cette preuve n"explique pas l"origine dequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] exercice statique analytique
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