Exercices corrigés pour lanalyse complexe
4 juin 2022 Donc. (. √. 3 + i)6 = 26eiπ = −64. Exercice 1.5. Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants i
Analyse complexe
Analyse complexe. Cours et exercices corrigés. André Giroux. Département de mathématiques et statistique. Université de Montréal. 2013. Page 2. Page 3
Exercices corrigés pour lanalyse complexe
25 août 2021 Donc. (. √. 3 + i)6 = 26eiπ = −64. Exercice 1.5. Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants i
examens-corriges-analyse-complexe.pdf
Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ω ⊂ C soit z0 ∈ ω
Analyse complexe
Exercice 1.7 Montrer que les racines non réelles dVune équation polynomiale à coeffi $ cients réels se présentent par paires de nombres complexes conjugués.
MOURAD CHOULLI - Analyse complexe
Chaque chapitre se termine avec une liste d'exercices corrigés. Cet ouvrage constitue seulement une introduction concise à l'analyse com- plexe. Le lecteur
Analyse Complexe (Math 4)
1. 6 et représenter les résultats dans le plan complexe. Exercice 0.6. Solution. i = cos. (π. 2. + 2kπ. ).
Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés
Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d'une ou plusieurs va- riables complexes sont très nombreux car c'est une théorie
Chapitre 3 : Analyse complexe - Rennes
Chapitre 3 : Analyse complexe. 2020-2021. 16/45. Page 17. 5. Logarithmes complexes Exercices corrigés. 1. 0 est une singularité artificielle de f pzq “ sin z.
EXERCICES DANALYSE COMPLEXE ET ÉQUATIONS
i i. TABLE DES MATIÈRES. Avant-Propos v. I. Nombres complexes. 1. I.1. Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. I.2. Exercices
Analyse complexe
Cours et exercices corrigés nombres complexes et l'extension aux fonctions de ces nombres des fonctions ... 1.3 L'infini en analyse complexe .
Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés
Cours et exercices corrigés. SCIENCES SUP. ANALYSE COMPLEXE riables complexes sont très nombreux car c'est une théorie relativement ancienne (et.
Exercices corrigés pour lanalyse complexe
???/???/???? Exercices corrigés pour l'analyse complexe ... théorie des fonctions complexes d'une variable complexe. ... 1.1 Exercices corrigés .
examens-corriges-analyse-complexe.pdf
Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ? ? C soit z0 ? ?
Analyse complexe
Exercice 1.7 Montrer que les racines non réelles dVune équation polynomiale à coeffi $ cients réels se présentent par paires de nombres complexes conjugués.
Chapitre 3 : Analyse complexe - Rennes
Chapitre 3 : Analyse complexe Exponentielle complexe et fonctions usuelles associées ... Exercice corrigé : En utilisant le contour ?rR calculer.
Analyse Complexe (Math 4)
Manuel des solutions aux exercices de Analyse Complexe (Math 4) ... Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique x + iy ...
4402Analyse complexe.indd
Exercices corrigés. MOURAD CHOULLI. MOURAD CHOULLI. Analyse complexe. • Cours complet. • Plus de 70 exercices. • Tous les corrigés détaillés.
Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe
Une fonction de variable complexe `a valeurs réelles peut-elle être holomorphe ? Exercice 1.7 « Conjuguées » de fonctions holomorphes. Soit z ?? f(z) une
Exercices dAnalyse Complexe - MaPC41
Exercices d'Analyse Complexe - MaPC41. 1. Le plan complexe. Exercice 1.1. Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants :.
[PDF] Exercices corrigés pour lanalyse complexe
4 jui 2022 · Ce livre est un recueil d'exercices et de problèmes mathématiques d'analyse com- plexe Il est le fruit d'un enseignement de mathématiques à
Exercices et TD corrigés Analyse Complexe PDF S3 SMP3 - SMA
Télécharger 5 Fichier PDF qui contient 3 séries des Exercices corrigés d'Analyse Complexe Et n'oubliez pas de partager cette article et d'inviter vos amis à
[PDF] Analyse complexe - Département de mathématiques et statistique
Analyse complexe Cours et exercices corrigés André Giroux Département de mathématiques et statistique Université de Montréal
[PDF] Examens corrigés - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
Examens corrigés François DE MARÇAY Département de Mathématiques d'Orsay Université Paris-Saclay France 1 Examen 1 Exercice 1
[PDF] Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés
Cours et exercices corrigés SCIENCES SUP ANALYSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3 Patrice Tauvel P TA UVEL Licence 3 • CAPES AN ALYSE COMPLEXE POUR LA
[PDF] Analyse complexe - Ecole Normale Supérieure dOran
Analyse complexe Cours avec exercices résolus destiné aux étudiants de la troisième année PEM et PES Mathématiques des écoles
[PDF] TD dAnalyse Complexe Prépa-Agreg ENS Cachan
Exercice 1 : Théorème de Thron Soit f une fonction entière telle que f ? f = exp 1 Quelle est l'image de f ? En déduire que f admet un logarithme holomorphe
[PDF] Chapitre 3 : Analyse complexe - Olivier LEY
Olivier Ley (INSA Rennes) Chapitre 3 : Analyse complexe 2020-2021 1/45 Exercice corrigé : En utilisant le contour ?rR calculer
(PDF) Analyse complexe Cours et exercices corrigés - Academiaedu
Le cours contient des démonstrations rigoureuses et complètes de tous ses théorèmes (certains calculs sont laissés au lecteurà titre d'exercice) et
[PDF] S2 Analyse complexe - Emmanuel Plaut
Exercice 1 7 « Conjuguées » de fonctions holomorphes Soit z ?? f(z) une fonction holomorphe sur C 1 la fonction z ?? f(z) est-elle holomorphe ? 2 et la
Examens corrigés
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Saclay, France
1. Examen 1
Exercice 1.Soit un ouvert connexe non vide!C, soitz02!, et soit une fonction f2O(!nfz0g)holomorphe en-dehors dez0. On suppose quefest bornée au voisinage de z0, au sens où il existe un rayonr >0assez petit avecD
r(z0)!et il existe une constante06M<1tels que :
sup jzz0j0 =lim"!>0Z
C "(z0)f()z1d: (d)Soient les deux points :1:=z0+rz1z0jz1z0j;
0:=z0rz1z0jz1z0:
Soient aussi deux quantités petites0< < "613
jz1z0j. On construit le contour;" àdeuxtrous de serrure de largeur2qui partent orthogonalement du cercleCr(z0)en les deux points1et0, avec contournement dez1puis dez0le long de cercles de rayon". Dresser une nouvelle figure esthétique dans laquelle tous ces éléments apparaissent clai- rement - couleurs recommandées! (e)Justifier par un théorème du cours que : 0 =Z ;"f()z1d: (f)Montrer que : 0 = 12iZ C r(z0)f()z1d12iZ C "(z1)f()z112iZ C "(z0)f()z1d: 12 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(g)Montrer que :
f(z1) =12iZ C r(z0)f()z1d: (h)Justifier l"holomorphie dansDr(z0)de la fonction : z7!Z C r(z0)f()zd: (i)Montrer qu"il existe une unique fonction holomorpheef2O(!)telle queef!nfz0g=f.(j)Montrer que tout ce qui précède est encore valable en supposant plus généralement qu"il
existe un exposant06 <1et une constante06M<1tels que : f(z)6M1jzz0j(802+a2dxetJ:=Z
10logxx
2+a2dx:
(a)Commencer par justifier l"existence deI. (b)On introduit la fonctionf(z) :=1z2+a2. CalculerResf(ia).
(c)AvecR> a, dessiner le contour orienté fermé consistant en le segment[R;R]suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel. (d)Montrer que :0 =lim
R!1Z0d(Rei)(Rei)2+a2:
(e)Montrer que : I=2a: (f)On choisit la détermination de la fonction logarithme complexe sur : CiR; définie, pourz=reiavecr >0et avec2 < <32 , parlogz:=logr+i. Sur cet ouvertCniR, on considère la fonction holomorphe : g(z) :=logzz 2+a2: Avec0< " < aet avecR> a, dessiner le contour orienté fermé consistant en le segment[R;"], suivi du demi-cercle de rayon"au-dessus de l"axe réel, suivi du segment [";R], suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel. (g)Montrer que :J=2aloga:
Indication:Calculer d"abordResg(ia)en utilisant la valeur delogi, que l"on déterminera auparavant.1.Examen 1 3Exercice 3.Dans un ouvert connexe non vide
C, pour une courbeC1pm(continue)
: [0;1]! fermée (0) = (1)que l"on identifie [0;1]à son image, on définit l"indicede tout pointw2Cn par rapport à par l"intégrale : Ind (w) :=12iZ dzzw: (a)Avec :=C, en utilisant deux couleurs différentes, tracer une courbe qui tourne2 fois autour de0, puis une autre qui tourne+3fois. (b)On introduit, pourt2[0;1], la fonction : (t) :=exp Zt 0 0(s) (s)wdsCalculer la dérivée det7!(t)
(t)wsur[0;1]. (c)Montrer que : (t) = (t)w (0)w(8t2[0;1]): (d)Montrer que : Ind (w)2Z: (e)On suppose dorénavant que l"ouvert connexe est de plussimplement connexe.D"après le cours, siw2
est un point de référence fixé, cela implique que deux courbes0: [0;1]!
et1: [0;1]!
quelconquesC1pm(continues) allant de w=0(0) =
1(0)à un autre point quelconque
0(1) =
1(1) =z2
sont toujours homotopesà travers une famille continuet7! s(t) s2[0;1]de courbesC1pmtoutes conte- nues dansJustifier alors que toute fonction holomorpheg2O(
)possède uneprimitiveG2 O( )avecG0=g. (f)Justifier que pour toute courbeC1pmfermée , on a : 0 =Z g(z)dz(8g2O(Maintenant, soit un ouvert connexe non vide!
, soitw2!et soit un rayon R>0tel queDR(w)!. Toute fonction holomorphef2O!nfwgen-dehors dewse développe alors en série de Laurent : f(z) =1X n=1a nzwn; normalement convergente sur les compacts deDR(w), avec des coefficients donnés par la formule : a n:=12iZ C r(w)f()(w)n+1d(n2Z); indépendamment du choix d"un rayon intermédiaire0< r4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(h)Montrer que :
limsup1 njnjpjanj6r:
(i)Montrer que le rayon de convergence de la série entière : 1X n=1a nZn vaut1. (j)Montrer que la partie singulière : h(z) :=1X n=1a nzwn définit une fonction holomorphe dansCnfwg. (k)Montrer l"holomorphie dans!de la fonction : g:=fh2O(!): (l)On suppose maintenant que l"ouvert connexe et simplement connexeCcontient
un nombre finiL>1de points-singularités distinctsw1;:::;wL2 , et on considère une fonction holomorphe : f2O fw1;:::;wLg en-dehors de ces points, ainsi qu"une courbeC1pmfermée : w1;:::;wL: Enfin, on introduit les parties singulières defdans certains petits voisinages ouverts!`3 w h `(z) :=1X n=1a `;nzw` n(16`6L):Montrer l"holomorphie partout dans
de la fonction : g(z) :=f(z)h1(z) hL(z)2O( (m)Établir laformule des résidus homologique : 12iZ f(z)dz=Ind (w1)Resf(w1) ++Ind (wL)Resf(wL):Exercice 4.
[Sans indications] (a) Pour2R+, montrer que :Z1 1e2ix(1 +x2)2dx=2
1 + 2 e2:
(b)Montrer que :Z11dx(1 +x2)n+1=135(2n1)246(2n):
2.Corrigé de l"examen 1 52. Corrigé de l"examen 1
Exercice 1.
(a) Voici une figure élémentaire.! z 0D r(z0) C "(z0)z 1 (b)Avec0< "612 jz1z0j, pour tout2C"(z0), à savoir pour tout2Cavec jz0j=", on a en effet grâce àjabj>jaj jbj:z1=z1z0(z0) >jz1z0j jz0j =jz1z0j " >jz1z0j 12 jz1z0j 12 jz1z0j: (c)Quand0< "612 jz1z0jtend vers0, on majore en utilisant l"hypothèse quejfj6M surC"(z0), indépendamment de" >0: Z C "(z0)f()z1d6max2C"(z0)1jz1jmax
2C"(z0)f()Z
2 0 "ieid 62jz1z0jM"2!"!00:
(d)Les deux points :1:=z0+rz1z0jz1z0j;
0:=z0rz1z0jz1z0
sont situés sur le diamètre du cercleCr(z0)qui contient le segment[z0;z1]. Le contour;" demandé se représente alors comme suit.6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Francez
1 z 0 0 1 ;"C "(z0)C "(z1) (e)Comme la fonction7!f()est holomorphe dans!nfz0g, la fonction7!f()z1est holomorphe dans un voisinage ouvert de;"[Int;", donc le théorème de Jordan-Cauchy offre effectivement l"annulation : 0 =Z ;"f()z1d; cela, pour toutz12Dr(z0)fz0gfixé. (f)En faisant tendre!0, les intégrales sur les bords des deux tunnels, effectuées surdes paires de segments orientés de manière opposée, s"annihilent, et il ne reste plus, à la
limite, que trois intégrales : 0 = 12iZ C r(z0)f()z1d12iZ C "(z1)f()z112iZ C "(z0)f()z1d: s"évanouit, tandis que la deuxième, sur un cercle centré enz1qui s"effondre surz1, tend, comme le cours l"a plusieurs fois démontré, versf(z1), d"où la formule demandée : 0 = 12iZ C r(z0)f()z1df(z1)0: (h)Un théorème du cours utilisant la continuité de(;z)7!f()zpour(;z)2 C r(z0)Dr(z0), allié au fait quez7!1zest holomorphe pourz2Dr(z0)quel que soit2Cr(z0), garantit l"holomorphie dansDr(z0)de la fonction définie comme intégraleà paramètre holomorphe :
e f(z) :=Z C r(z0)f()zd: (i)Nous venons de voir queef(z) =f(z)en tout pointz2Dr(z0)nfz0g, ce qui fournit un prolongement holomorphe. Mais un tel prolongement est nécessairement unique, car ef(z) =f(z) =bf(z)sur l"ouvert connexe!nfz0gimplique par continuitéef=bfpartout dans!. (j)En supposant plus généralement qu"il existe un exposant06 <1et une constante06M<1tels que :f(z)6M1jzz0j(80 2.Corrigé de l"examen 1 7et en revenant à la question(c), nous constatons à nouveau la nullité de la limite :
Z C 2 0 "ieid 6 2jz1z0jM"
"2 =constante"1!"!00; et ensuite, tous les arguments restants fonctionnent sans modification. Exercice 2.
(a) Poura >0, soient donc les deux intégrales : I:=Z 1 01x 2+a2dxetJ:=Z
1 0logxx
2+a2dx:
Sur le compact[0;1], on a intégrabilité de la fonctionx7!1x 2+a2qui est continue bornée
parce quea >0. Puis sur[1;1[, la majoration1x 2+a2<1x
2garantit, grâce au critère de
Riemann, quelim
R!1R R 11x 2+a2dxexiste.
Ensuite, une primitive delogxétant la fonctionxlogxxqui tend vers0avecx >0, on sait quelim"!0R 1 "logxdxexiste, et sur[0;1], le facteur borné1x 2+a2ne perturbe rien.
Sur[1;1],commelacroissancedelogxquandx! 1estinférieureàtoutepuissance x avec >0quelconque, le critère de Riemann appliqué à1x 2assure la convergence de
lim R!1R R 1logxx
2+a2dx.
(b)Comme la fonctionf(z) :=1z 2+a2=1(zia)(z+ia)a un pôle simple enz=ia, son résidu
y vaut : Res f(ia) =limz!ia(zia)1(zia)(z+ia)=12ia: (c)AvecR> a, voici un dessin du contour orienté fermé consistant en le segment[R;R] suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel.R R0ia (d)Toujours avecR> a, grâce à la minorationj+j=j()j>jj jjqui donne :(Rei)2+a2>R2a2; 8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Franceil est clair que :
Z 0Rieid(Rei)2+a2
6RR 2a2! R!10: (e)Le théorème des résidus donne pour toutR> a: Z 0 Rdxx 2+a2+Z
R 0dxx 2+a2+Z
0d(Rei)(Rei)2+a2= 2i12ia
d"où en faisant tendreR! 1: I+I+ 0 =a
(f)On choisit donc la détermination de la fonction logarithme complexe sur : C iR; définie, pourz=reiavecr >0et avec2 < <32 , parlogz:=logr+i. Sur cet ouvertCniR, on considère la fonction holomorphe : g(z) :=logzz 2+a2: Avec0< " < aet avecR> a, voici un dessin du contour orienté fermé consistant en le segment[R;"], suivi du demi-cercle de rayon"au-dessus de l"axe réel, suivi du segment[";R], suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel.R Ria "0" (g)En utilisant la valeur du logarithme dep1: logi=logei2 =i2 commençons par calculer le résidu de la fonctiong(z) =logzzquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
2.Corrigé de l"examen 1 7et en revenant à la question(c), nous constatons à nouveau la nullité de la limite :
Z C 2 0 "ieid 62jz1z0jM"
"2 =constante"1!"!00; et ensuite, tous les arguments restants fonctionnent sans modification.Exercice 2.
(a) Poura >0, soient donc les deux intégrales : I:=Z 1 01x2+a2dxetJ:=Z
10logxx
2+a2dx:
Sur le compact[0;1], on a intégrabilité de la fonctionx7!1x2+a2qui est continue bornée
parce quea >0. Puis sur[1;1[, la majoration1x2+a2<1x
2garantit, grâce au critère de
Riemann, quelim
R!1R R 11x2+a2dxexiste.
Ensuite, une primitive delogxétant la fonctionxlogxxqui tend vers0avecx >0, on sait quelim"!0R 1 "logxdxexiste, et sur[0;1], le facteur borné1x2+a2ne perturbe rien.
Sur[1;1],commelacroissancedelogxquandx! 1estinférieureàtoutepuissance x avec >0quelconque, le critère de Riemann appliqué à1x2assure la convergence de
lim R!1R R1logxx
2+a2dx.
(b)Comme la fonctionf(z) :=1z2+a2=1(zia)(z+ia)a un pôle simple enz=ia, son résidu
y vaut : Res f(ia) =limz!ia(zia)1(zia)(z+ia)=12ia: (c)AvecR> a, voici un dessin du contour orienté fermé consistant en le segment[R;R] suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel.R R0ia (d)Toujours avecR> a, grâce à la minorationj+j=j()j>jj jjqui donne :(Rei)2+a2>R2a2;8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Franceil est clair que :
Z0Rieid(Rei)2+a2
6RR 2a2! R!10: (e)Le théorème des résidus donne pour toutR> a: Z 0 Rdxx2+a2+Z
R 0dxx2+a2+Z
0d(Rei)(Rei)2+a2= 2i12ia
d"où en faisant tendreR! 1:I+I+ 0 =a
(f)On choisit donc la détermination de la fonction logarithme complexe sur : C iR; définie, pourz=reiavecr >0et avec2 < <32 , parlogz:=logr+i. Sur cet ouvertCniR, on considère la fonction holomorphe : g(z) :=logzz 2+a2: Avec0< " < aet avecR> a, voici un dessin du contour orienté fermé consistant en le segment[R;"], suivi du demi-cercle de rayon"au-dessus de l"axe réel, suivi du segment[";R], suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel.R Ria "0" (g)En utilisant la valeur du logarithme dep1: logi=logei2 =i2 commençons par calculer le résidu de la fonctiong(z) =logzzquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] fonction ? variable complexe exercices corrigés pdf
[PDF] fonction dune variable réelle exercice corrigé
[PDF] fonctions speciales de la physique mathematique
[PDF] fonctions spéciales de la physique mathématique pdf
[PDF] exercices corrigés sur la nomenclature des hétérocycles pdf
[PDF] les hétérocycles nomenclature
[PDF] chimie heterocyclique exercices
[PDF] chimie hétérocyclique cours
[PDF] nomenclature des hétérocycles exercice
[PDF] exercice lunette astronomique prépa
[PDF] exercices corrigés sur latome dhydrogène
[PDF] exercices corrigés sur les emprunts obligataires pdf
[PDF] exercices corrigés sur les obligations en finance
[PDF] exercice oscillateur harmonique mpsi
