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25 août 2021
Préface
propriétés. L"analyse complexe est un outil extrêmement puissant et nombreuses sont les applications pratiques destinées à la résolution de problèmes physiques. L"intégration de contour, par exemple, fournit une méthode de calcul d"intégrales difficiles. Ce livre est un recueil d"exercices et de problèmes mathématiques d"analyse com- Nous avons privilégier d"exposer l"application des méthodes de calcul (théorèmes, propositions,..) sans énoncer quoi que ce soit. Notre but est d"offrir aux lecteurs des exercices avec des solutions détaillées et quelques exercices supplémentaires donnés sans solutions pour examiner les capacités des lecteurs. Nous les invitons cependant à chercher eux même les résolutions. Dans ce livre, nous fournissons une introduction à l"analyse complexe qui est la théorie des fonctions complexes d"une variable complexe. Le premier chapitre rap- pelle les nombres complexes et les différentes régions du plan complexe telles que le cercle, disque et autres. Le second chapitre initie le lecteur aux fonctions à va- riable complexe en se focalisant principalement sur la notion d"holomorphie (dé- rivabilité) de ces fonctions. Le troisième chapitre est consacré aux int´grales curvi-
lignes et aux formules int ´grales de Cauchy. Le chapitre quatre est reservé aux séries de Laurent, classification des sngularités et théorie des résidus. Le dernier chapitre établie quelques applications sur les résidus sous forme des intégrales impropres.Table des matières
Préface i
1Nombr escomplexes
1 1.1Ex ercicescorrigés
1 1.2Ex ercicessupplémentaires
15 2F onctionscomplexes
212.1
Ex ercicescorrigés
212.2
Ex ercicessupplémentaires
303
Intégration complexe
333.1
Ex ercicescorrigés
333.2
Ex ercicessupplémentaires
594
Séries de Laur entet résidus
634.1
Ex ercicescorrigés
634.2
Ex ercicessupplémentaires
715
A pplicationdes résidus
775.1
Ex ercicescorrigés
775.2
Ex ercicessupplémentaires
89Bibliographie 90
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Chapitre 1
Nombres complexes
Sommaire1.1Exer cicescorrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2Exer cicessupplémentair es
15 1.1Exer cicescorrigés
Exercice1.1.Ecrivez les nombres complexes suivants sous la forme algé- brique (1 +i)9(1i)7et1 +i2+ (21)i; 2R:S o l u t i o n1/ Nous réécrivons la fraction sous cette forme
(1 +i)9(1i)7= (1 +i)21 +i1i 7Ce qui implique que
(1 +i)9(1i)7= (1 +i)2(1 +i)(1 +i)2 7 = 2i(2i)727= 2i8= 2:
2Nombr escomplexes
Par conséquent,
Re (1 +i)9(1i)7 = 2et Img(1 +i)9(1i)7 = 0:2/ Nous avons
1 +i2+ (21)i=i(i+)i(2i+21):
On obtient donc
1 +i2+ (21)i=(i)(i)2=1i:
Par conséquent,
1 +i2+ (21)i=+i+i(i)=
2+ 1+i1
2+ 1:Exercice1.2.Mettre sous la forme trigonométrique les nombres complexes
suivants1ip3;1 +ip3
1i:S o l u t i o n
1/ Soitz= 1ip3. La forme trigonométrique est donnée par
z=rei; avecr:=jzj, ce qui donne r=q12+ (p3)
2= 2; et:=arg(z)vérifiant cos() =Re(z)r =12 etsin() =Img(z)r =p3 2Par conséquent,
z= 2exp 3 i+ 2ki ; k2Z:1.1.Exer cicescorrigés 3
2/ Soit
z=1 +ip3 1i:Nous pouvons raisonner directement comme ça
jzj=j1 +ip3jj1ij=2p2 et arg(z) =arg(1 +ip3)arg(1i) =3 +4 =712 :Exercice1.3.Ecrire sous la forme exponentielle les nombres complexes sui- vants : z1= 1i; z2= 5i; z3=4; z4= sin(x) +icos(x); x2R:S o l u t i o n
Le module dez1est donné par
jz1j=p12+ (1)2=p2:
L"argument satisfait
cos() =1p2 ;sin() =1p2Donc,==4. Ainsi,
z1=p2ei=4:
De la même façon on trouve
z2= 5ei=2;
et z3= 4ei:
Soit maintenantz4= sin(x) +icos(x); x2R. Nous utilisons le fait que sin 2 x = cos(x);4Nombr escomplexes
et cos2 x = sin(x):On obtient donc
z4= exp2
x :Exercice1.4.Déterminer la forme algébrique du nombre complexe suivant p3 +i)6:S o l u t i o n C"est plus pratique de passer par la forme trigonométrique, c"est-à-dire, pourz2 C, z=jzjexp(iarg(z)):Donc, la puissance se traduit comme suit
z =jzjexp(iarg(z)); 2R:Nous avons
p3 +i= 2ei=6: Donc, (p3 +i)6= 26ei=64:Exercice1.5.Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants i;5 + 12i:S o l u t i o n1/ Soitz=a+ib(dans notre cas,aetbsont supposés êtrea= 0etb= 1). On
posew=x+iyavecx;y2Rqui désigne les racines dez. Nous avons la relation1.1.Exer cicescorrigés 5
suivante w 2=z:Ce qui implique que
(x+iy)2=a+ib:Ceci, nous ramène au système suivant
8>< :x2y2=a;
x2+y2=pa
2+b2;2xy=b:
Après calcul, les racines carrées deisont
p2 2 +ip2 2 etp2 2 ip2 22/ De la même façon, en appliquant le même raisonnement, nous obtenons
3 + 2iet32i:
comme racines carrées de5 + 12i.Exercice1.6.On considère la fonctionfdeCdansCdéfinie par8z2C; z6=i; f(z) =z2z+i:
Déterminer l"ensemble des points tels quef(z)2Rpuis déterminer l"en- semble des points tels quef(z)2iR:S o l u t i o n Nous allons essayer d"écrirefsous sa forme algébrique. Pour cela, on posez= x+iyavecx;y2R. Ainsi, nous obtenons, pourz6=i, f(z) =z2z+i=x+iy2x+iy+i=x2 +iyx+i(y+ 1): En multipliant par le conjugué du dénominateur, on obtient f(z) =(x2 +iy)(xi(y+ 1))x2+ (y+ 1)2:
6Nombr escomplexes
Après calcul, nous aurons
Re(f(z)) =x22x+y2+yx
2+ (y+ 1)2et Img(f(z)) =2yx+ 2x
2+ (y+ 1)2:
Dans ce cas, l"ensemble des points vérifiantf(z)2Rimplique forcement2yx+ 2 = 0:
Par conséquent, l"ensemble des points est la droitey=12 x1privée du point (0;1).L"ensemble des points tel quef(z)2iRvérifie
x22x+y2+y= 0:
Cette équation doit être réécrite comme suite x22x+ 1 +y2+y+14
= 1 +14 et du rayon 14 (x1)2+ y+12 2 =54 :Exercice1.7.Résoudre l"équation z2z+ 1i= 0:S o l u t i o n
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant =b24ac= (1)241(1i) = (1 + 2i)2: Automatiquement les solutions sont données par la formule z1;2=b+p
2a:1.1.Exer cicescorrigés 7
A noter qu"ici
preflète deux valeurs. Nous obtenons donc z1=1(1 + 2i)2
=i; et z2=1 + (1 + 2i)2
= 1 +i:Exercice1.8.Montrer que (jzj= 1etz6= 1))iz+ 1z12R:S o l u t i o n
Posant, pourz6= 1,
w:=iz+ 1z1 Nous allons vérifier quew=wet dans ce cas forcémentw2R. On aw=iz+ 1z1En utilisant le fait quejzj= 1, on obtientw=i0
B @1z + 11 z 11 CA=iz+ 1z1
=w:Donc,w=w:
Ceci implique que, pourjzj= 1etz6= 1,
i z+ 1z1 2R:8Nombr escomplexes
Exercice1.9.Soit2Ret considérons un nombre complexe z= cos2() +isin()cos():1) Déterminertel quez= 0:
2) Siz6= 0;calculerz1en fonction de.S o l u t i o n
1/ Déterminonstel quez= 0, c"est-à-dire,
cos2() +isin()cos() = 0:
Autrement dit,
cos()[cos() +isin()] = 0:Puisquecos() +isin() =ei6= 0, alors
cos() = 0)=2 + 2k; k2Z:2/ Siz6= 0;calculantz1. On a
z1= [cos()ei]1=eicos()= 1itan():Exercice1.10.Soitzun nombre complexe vérifiantjzj= 1:Montrer que
Arg z1z+ 1 =8 :2 ;si Img(z)>0; 2 ;si Img(z)<0:S o l u t i o nOn posez=x+iypourx;y2R. On a
z1z+ 1=x1 +iyx+ 1 +iy=(x1 +iy)(x+ 1iy)(x+ 1 +iy)(x+ 1iy):1.1.Exer cicescorrigés 9
Après calcul, on trouve
z1z+ 1=x2+y21(x+ 1)2+y2+i2y(x+ 1)2+y2:En utilisant le fait quejzj= 1, alors
x2+y2= 1:
Par conséquent,
z1z+ 1=i2y(x+ 1)2+y2: Ainsi, ce complexe est purement imaginaire. Il est donc clair que Arg z1z+ 1 =8 :2 ;si Img(z) =y >0; 2 ;si Img(z) =y <0:Exercice1.11.Monter que, pour toutz2C, 1z =1z :S o l u t i o nPour toutz2C, on a
1z =z zzPuisquezz=jzj2, alors
1z =z jzj2 =1jzj2(z) =1jzj2z:Par conséquent,
1z =1zz z=1z10Nombr escomplexes
Exercice1.12.1) Résoudre dansC, l"équation suivante2z+iz= 3:
2) En utilisant le logarithme complexe, résoudre dansC, l"équation suivante
e z1=ie3:S o l u t i o n1) Soientz=x+iyetz=xiy;alors l"équation2z+iz= 3devient
2x+ 2iy+ix+y= 3;
)2x+y+i(2y+x) = 3:Par identification, on a
8< :2x+y= 3;2y+x= 0;)8
:x= 2; y=1:2) On a
e z1=ie3:En utilisant le logarithme complexe, nous avons
ln(ez1) = ln(ie3); qui implique que z1 = ln(i) + ln(e3):Sachant que
ln(z) = ln(jzj) +iArg(z); alors nous obtenonsln(i) = ln(1)i2 :Ainsi, z1 =i2 + 3)z=i2quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] fonction ? variable complexe exercices corrigés pdf
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