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Chapitre 3 :Analyse complexe

Olivier Ley

IRMAR, INSA de Rennes

Annee universitaire 2020-2021

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20211 /45

Introduction

Les fonctionsf:RÑRles plus utiles sont les polyn^omesPpxq N¸ n0a nxn: Ce sont des objets"simples»: il sut des touches` a b cde la calculatrice pour calculer leurs valeurs; Ils sont essentiels dans beaucoup d'applications : optimisation, approximation1, etc. Il est possible et naturel d'etendre les polyn^omes aux n ombresc omplexes c ar: 1Lesp olyn^omesc omplexesPpzq N¸ n0a nznsont des objets tous aussi simples que

les polyn^omes reels, les operations` a b cont cours dansC;2Les polyn^omes complexes sont m^eme plus naturels que les polyn^omes reels :

Theoreme 1 (Theoreme fondamental de l'algebre)

Tout polyn^ome complexePpzqde degreNa exactementNracines (comptees avec leur multiplicite) dansC.Remarque: c'est faux dansR. Par exemple,x21n'a aucune racine dansR; c'est

ce type de probleme qui a motive l'introduction deC.1.P are xemple,le c elebreT heoremed'a pproximationde W eierstrass(m athematicienal lemand

du XIX esiecle) dit qu'on peut ecacement approcher toute fonction continue sur un segment ra;bspar une fonction polyn^ome.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20212 /45

Objectif du cours

Le but de ce cours est d'etudier certaines fonctionsf:CÑCqui"ressemblent» a des polyn^omes.

Parmi ces fonctions, il y a les

p olyn^omes ma isa ussil es s eriesen tieres qu ip euvent ^etre vues comme des"polyn^omes de degre inni»,fpzq 8¸ n0a nzn,anPC. Historiquement, ces series entieres ont permis d'introduire ou de denir rigoureusement de nouvelles fonctions (exp,log,sin,cos, etc.). Toutes ces fonctions font partie d'une classe plus generale qui sont les f onctions holomorphes q uenou sa llonscom mencerpa rd enir.

Nous verrons enn comment cette theorie permet de

c alculerd esin tegrales qu e vous ne savez pas encore calculer.

Remarque:

contrairement aux fonctionsf:RÑR, on ne peut pas facilement tracer2 les

fonctionsf:CÑCcar il faudrait se placer en dimension 4.2.http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/FoncHol/menu.htmlOlivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20213 /45

Introduction

1Rappels sur les nombres complexes, topologie dans le plan complexe

2Fonctions holomorphes

3Series entieres

4Exponentielle complexe et fonctions usuelles associees

5Logarithmes complexes

6Integrale le long d'un chemin

7Theoreme et formule de Cauchy

8Singularites et residus d'une fonction holomorphe

9Calcul d'integrales avec la formule des residus

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20214 /45

1.1. Rappels sur les nombres complexes

3 Representation d'un nombre complexe dans le plan complexe0 xRezyImzzxiyreizxiyreiargzmod2|z|rxiyr eirax 2y2 cosx? x 2y2 siny? x

2y2xrcos

yrsin

Representation cartesienne

Representation trigonometrique

3. R evoirle co ursde 1 erea nneesu rles no mbresc omplexesa ub esoin. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20215 /45

1.2. Topologie dans le plan complexe

Denition 1 (Disques, ouverts, fermes, bornes, compacts)

Dpa;rq tzPC:|za| ruest led isqueou vert

de centreaPCet de rayonr¡0.a r

Dpa;rqa

de centreaPCet de rayonr¡0.Un sous-ensemble

€Cestou vertsi :

@aP ,Dr¡0tel queDpa;rq €

Un sous-ensembleF€Cestfe rmes ison

complementaireF

CCzF tzPC:zRFuest ouvert.Un sous-ensembleA€Cestb ornes i: DR¡0tel queA€Dp0;RqUn sous-ensemble non videK€Cestcom pacts iKest fermeet borne.

Il vous sura de comprendre au sens intuitif suivant : un ensemble ferme possede

toute sa frontiere et un ensemble ouvert ne possede aucun point de sa frontiere.AfermeAouvertAni ferme, ni ouvertOlivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20216 /45

exoRepresenter les ensembles et prouver les proprietes1Dpa;rqest un ouvert borne.2Dpa;rqest ferme et borne (donc compact).3HetCsont a la fois ouverts et fermes.4tzPC: Impzq ¡0uest un ouvert non borne.5tzPC: Impzq ¥0uest un ferme non borne.6treiPC:12

2. Fonctions holomorphes

Denition 2 (Fonctions holomorphes)

Soitf:CÑCetaPC. On dit quefesth olomorphee nasi : festC-derivable enaô fpahq fpaq hophq fadmet un DL a l'ordre 1 enaô lim zÑafpzq fpaqza existe dansC et vautDans ce cas on notef1paq. Si est un ouvert deC, on dit quefest holomorphe sur sifest holomorphe en tous lesaP , on notefPHp q.Exemples (a traiter en exoet en TD)Tout polyn^omefpzq N¸ n0a nznest holomorphe surC.afpzq 1z

est holomorphe surCzt0u.fpzq zn'est holomorphe nulle part.a.Un ef onctionh olomorphes urCtout entier est appelee fonction entiere.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20218 /45

3. Series entieres

On a vu que les polyn^omes etaient holomorphes. Il existe une classe de fonctions fondamentale qui generalise les polyn^omes et dont on verra qu'elles sont holomorphes : les series entieres.Denition 3 (Serie entiere) Pour toute suitepanqnPNde nombres complexes, on denit las erieen tiere associeefpzq 8¸ n0a nzn.Remarques: Sipanqest nulle a partir d'un certain rang (s'il existeNtel quean0pour

tousn¥N1) alorsfpzqest un polyn^ome (de degreN).z0est toujours dans l'ensemble de denition defcarfp0q a0mais0

peut dans certains cas ^etre le seulztel que la serie entiere converge.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20219 /45

3.1. Lemme d'Abel

5, rayon de convergenceTheoreme 2 (Lemme d'Abel)

Soitfpzq 8¸

n0a nznune serie entiere associee apanq. Alors il existe un nombre

R(ouRfouRa)P r0;8sappelera yond econ vergencec aracterisepa r: si|z| Ralors la serie converge absolument :¸|anzn|converge;si|z| ¡Ralors|anzn|est non-borne et¸|anzn|diverge grossierement.SiDfest l'ensemble de denition defpzq °anzn

on a donc :Dp0;Rqlooomooon

Disque de convergence

(Disque ouvert)€Df€Dp0;Rqlooomooon

Disque ferme?

?0

RCV absolue

DV RR

Sur le

b ord d eDp0;Rq, tout peut arriver et l'etude peut ^etre tres delicate.

44.Le com portementd e

°anznsur le bord du disque de convergence ne sera pas aborde ici.5.Ni elsHen rikA bel(18 02{1829)m athematicienn orvegien;so nn omest d onne aun p rixq ui

correspond au prix nobel de mathematiques. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202110 /45

3.2. Calcul du rayon de convergence

Pour determiner le rayon de convergence, on peut utiliser la denition/Lemme d'Abel ou les criteres de d'Alembert

6et de Cauchy7que nous rappelons (revoir le cours de 2A).Theoreme 3

(Critere de d'Alembert) SilimnÑ8 an1a nP r0;8salorsR1 (Critere de Cauchy) SilimnÑ8|an|1{nP r0;8salorsR1 .Remarques:

"Si les limites n'existent pas, on ne peut pas utiliser ces criteres.Dans chacun des cas, si0alorsR 8et si 8alorsR0.Rappel : pour tout reela¡0etzPC, on denitaz:ezlna8

exoLa serie geometrique°zna un rayonR1et@|z| 1,8¸ n0zn11z

Calculer le rayon de convergence de

¸p2 p1qnqzn,¸znn!,¸nnzn,¸5nn

3zn.6.J eanLe Ron dd'A lembert(17 17{1783)est u nm athematicien,ph ysicien,ph ilosophee t

encyclopediste francais. Son critere est un des plus utilises.7.A ugustinLo uisC auchy( 1789{1857),p rofesseur al'

Ecole polytechnique, un des plus

proliques mathematiciens francais de l'histoire, contributions majeures en analyse complexe.8.La f onctionex ponentiellecom plexes erad eniep age14.

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202111 /45

3.3. Une serie entiere est holomorphe dans le disque de CV

Theoreme 4 (Holomorphie des series entieres)

Soitfpzq °anznunes erieen tiered er ayond econ vergenceR.1fpzqesth olomorphed ansDp0;Rqet @zPDp0;Rq,f1pzq 8¸ n1na nzn18¸ n0pn1qan1zn.2f

1pzqest encore une serie entiere°pn1qan1znde m^emerayon de

convergenceR.3fest donc indenement derivable (C8) surDp0;Rq: @kPN,@zPDp0;Rq,fpkqpzq 8¸ nknpn1qpnk1qanznk 8¸ n0pnkqpnk1qpn1qankzn.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202112 /45

Remarques

Ce resultat signie que, a l'interieur du disque de convergenceDp0;Rq,tou tse passe comme pour un polyn^ome : 1la fonction est tres reguliere : elle estC8et m^eme mieux, on dit qu'elle est analytique .En pa rticulier,fpzqadmet und eveloppementl imitee n0 atou t ordre fpzq N¸ n0a nzn8¸ nN1a nzn looooomooooon opzNq2On derive (ou on integre) une serie entiere mon^ome par mon^ome. Cela a des applications importantes en i nformatique/calculfo rmel ,pu isque,p ourd eriver une fonction qui s'ecrit comme une serie entiere, il sut de calculer la serie derivee a l'aide de l'operationanÑ pn1qan1(decalage d'un rang et multiplication parpn1q) ce qui est beaucoup plus simple que de calculer des limites de taux de variations. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202113 /45

4.1. Exponentielle complexe

Denition 4 (Exponentielle complexe)

exppzq ez:8¸ n0z nn!,@zPC,R 8(cf. page 11),expPHpCq.Theoreme 5 (Proprietes de l'exponentielle)

·(expest sa propre derivee)@zPC,exp1zexpz.

¸(Exponentielle reelle et logarithme neperien) La restriction aRdeexpest la fonction exponentielle que vous connaissez : elle realise une bijection deRsur s0;8r. Sa fonction reciproque, appeleel ogarithmen eperienet n oteelnx,

est denie surs0;8r, a valeurs dansR.On a maintenant une denition rigoureuse deexpsurCtout entier9uniquement

a partir de sommes et de produits , et du logarithme neperien

10surR. La

denition du logarithme complexe demande un peu plus de travail, cf. page 18.9.q uisa tisfaitles p roprietesde expsurRavec lesquelles elle a ete denie au lycee.10.p rovientd um athematicien ecossaisJ ohnNap ier(1 550{1617),fr anciseen Jea nNep er.

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202114 /45

4.2. Fonctions usuellescos,sin,cosh,sinhDenition 5

cosz:eizeiz2 8¸ n0p1qnz2np2nq!1z22! z44! sinz:eizeiz2i8¸ n0p1qnz2n1p2n1q!zz33! z55! Trace surR cosx sinx01coshz:ezez2 8¸ n0z

2np2nq!1z22!

z44! sinhz:ezez2 8¸ n0z

2n1p2n1q!zz33!

z55! coshx sinhx01Theoreme 6 @zxiyPC,ezexiyexeiyexpcosyisinyqexpest2i-periodique (@zPC,ez2iez) etsinetcossont2-periodiquescos

2zsin2z1etcosh2zsinh2z1On a une denition rigoureuse des fonctions usuelles ap artird es ommese td ep roduits.

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202115 /45

Formulaire trigonometrique

On peut en deduire toutes les proprietes et formules trigonometriques. 11 cospxq cosx sinpxq sinx12 cospxnq p1qncosx sinpxnq p1qnsinxcospx2 q sinx sinpx2 q cosx@nPZ,peixqneinx13 êformule de Moivre14pcosxisinxqncospnxqisinpnxqcospabq cospaqcospbq sinpaqsinpbq sinpabq sinpaqcospbq sinpbqcospaq cospabq cospaqcospbq sinpaqsinpbq sinpabq sinpaqcospbq sinpbqcospaqcosppq cospqq 2cosppq2 qcosppq2 q sinppq sinpqq 2sinppq2 qcosppq2 q cosppq cospqq 2sinppq2 qsinppq2 q sinppq sinpqq 2 sinppq2 qcosppq2 qcosp2aq 2cos2paq 1 sinp2aq 2sinpaqcospaqcos

21cosp2q2

11tan2pq

sin

21cosp2q2

tan2pq1tan2pq

exoDemontrer quecos1pxq sinpxqetsin1pxq cospxqa partir de la def. decos,sin.11.On se li miteic i ala tr igonometriecl assique;p ourl 'hyperbolique,v oirli vresou in ternet.

Toutes les formules de cette page sont vraies dansC.12.cosest paire etsinest impaire.13."Cette formule peut ^etre fausse pournnon entier, voir page 21.14.Ab rahamde Moi vre(1 667{1754)m athematicienfr ancais.

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202116 /45

5. Logarithmes complexes

On veut denir un logarithme surC. On ne peut plus proceder comme surRen disant quelnest la reciproque d'expreelle carexpn'est pas bijective15dansC:

Le cahier des charges

16naturel pour denir un log surCest a minima

·qu'il soit la reciproque deexpsur son domaine de denition ¸qu'il satisfasse les proprietes de base deln, en particulier qu'il transforme les produits en sommes.

Il faudrait donc que,@z |z|eiargpzqPC,

logpzq logp|z|eiargpzqq loomoon par¸log|z|loomoon ln|z| car|z|PR par·ln|z|iargpzqloomoon

Probleme : n'est pas

deni de facon unique15. exoexpn'est pas injective surCcar@PC, l'equationezpour solution tous leszk, kPZ, denis par#

Repzkqlnpq

Impzkqargpq2k;, ouargpqest un argument xe de.16.

exoune consequence est que ce log sera holomorphe sur son ensemble de denition et ne pourra pas ^etre deni en0.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202117 /45 Pour denir un logarithme, il faut doncf aireun c hoixp ourl 'argumentde z. Pour leLogarithme principal,on con viendrad eme surerl 'argumentd ansr;r. La formule de la page precedente est alors non ambigu e et on remarque que le logarithme qu'elle denit sera discontinu au passage de la demi-droite des reels

holomorphe (donc continue), on doit retirer cette demi-droite. D'ou :Denition 6 (Logarithme principal)

Pour toutzdans lepl anfe nduCzR, on denitl eLoga rithmep rincipal

Logpzq ln|z| iArgpzq

ouArgpzqPs ;rest l'Argumentp rincipal qui est uniquementdetermine dansCzR.0 CzR R plan fenduRemarque: On peut denir d'autres logarithmes en mesurant autrement l'argument et en enlevant d'autres demi-droites.

exoDenir un logarithme complexe surCzpiRq.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202118 /45

Theoreme 7 (Proprietes du Logarithme principal)

·@zPCzR,zeLogpzq.

¸@zPCtel que Impzq ,zLogpezq.

¹@z1;z2PCzR, siz1z2PCzR, alorsDkPZtel que :

Logpz1z2q Logpz1q Logpz2q 2ik.

ºLogest holomorphe sur l'ouvertCzRetLog1pzq 1z

»(Develop. en serie entiere)@zPDp0;1q,Logp1zq8¸ n1p1qn1n zn,R1.Le logarithme permet de denir des fonctions puissances.

Denition 7 (Fonction puissance principale)

@zPCzR,@aPC,zaeaLogpzq. "La puissance est associeeau logarithme considere : si on change de denition de logarithme, la fonction puissance change. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202119 /45

Exercice :Logpei2

ei34 q Logpei2 q Logpei34 q 2i.

Il ne faut donc pas oublier le"2ik»dans le theoreme 7¹.Les expressions en jeu ont du sens carei2

,ei34 etei2 ei34 appartiennent a CzR("il faut verier car on peut avoirz1;z2PCzRet pourtantz1z2RCzR).

Logpei2

ei34 q Logpei54 q ln|ei54 | iArgpei54 q ip34 q car|ei54 | 1et l'argument principal deei54 est34 P s ;r(et non54 qui est aussi un argument mais n'est pas celui danss ;r).

Logpei2

q ln|ei2 | i2 i2 (carArgpei2 q 2 P s ;r).

Logpei34

q ln|ei34 | i34 i34 (carArgpei34 q 34 P s ;r).

D'ouLogpei2

q Logpei34 q i2 i34 i54 .e i2 e i34 e i2 ei34 ei54 2 34
54
34
CzR

FinalementLogpei2

ei34 q

Logpei2

q Logpei34 q maisLogpei2 ei34 q Logpei2 q Logpei34 q

2idonc on retrouve Theoreme 7¹aveck 1dans ce cas.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202120 /45

Remarque

On a vu page 16 que@nPZ,pezqnenzet que cette formule pouvait ^etre faussepournnon entier. En eet, supposons qu'elle soit vraie par exemple pourn12 . On aurait alors pe2iq12 ei 1. Maise2i1doncpe2iq12 112

1ce qui conduirait a

l'absurdite11! L'explication de ce paradoxe apparent est que pournPN, pezqnezezezlooooomooooon alors que ce calcul ne fonctionne plus pournnon entier. Pour calculerpe2iq12 , il faut utiliser une fonction puissance. Par exemple, utilisons la fonction puissance associee au Logarithme principal (possible car2iPCzR). On a par denition : pe2iq12 e12

Loge2ie12

iArgpe2iqe01 carArgpe2iq 0Ps ;r(et non pas2).quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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