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Tabledesmatieres
Introduction1
Tabledesmatieres
3Fonctionsanalytiques25
Ex.3.3:Simplicationdep
z2...................................39 uides...............434SeriesdeLaurent-Residus45
4.3.1IntegralesdutypeZ
+1 1 f(x)dx..............................494.3.2IntegralesdutypeZ
+1 14.3.3IntegralesdutypeZ
2 0F(cos;sin)d..........................53
Tabledesmatieres
AProblemescorriges61
Bibliographie67
Introduction
pagecourantmars.2Introduction
liorercedocument.Nancy,le27fevrier2008.
EmmanuelPlaut.
Chapitre1
Derivabilitecomplexe
-Applicationsconformes1.1Rappelsgenerauxsurlesnombrescomplexes
L'ensembledesnombrescomplexes
C=fx+iyavec(x;y)2R2g
(x+iy)+(x0+iy0)=(x+x0)+i(y+y0)(1.1) etdemultiplication (x+iy)(x0+iy0)=xx0yy0+i(yx0+xy0);(1.2) uninversedonnepar1 x+iy=xiyx2+y2:(1.3) i2=1:(1.4)
z=xiy.Lanormeeuclidiennede R2s'identieaumodulecomplexe
jzj=p zz=px2+y2;(1.5)8z2C;1
z= z jzj2:(1.6) deseparation,8z2C;jzj=0()z=0;(1.8)Onendeduit
8z;z02C;jzz0j
jzjjz0j :(1.10) delasection3.4: z=ei=(cos+isin) ou=jzj;=arg(z)estl'argumentdez:(1.11) argz2];]:(1.12)Unerelationd'ordrexysurCdevrait^etrere
exive,8x2C;xx;
antisymetrique,8x;y2C;[(xy)et(yx)]=)(x=y);
ettransitive8x;y;z2C;[(xy)et(yz)]=)(xz):
8x;y;z2C;xy=)x+zy+z;
etsacompatibiliteaveclamultiplicationque8x;y;z2C;[(xy)et(0z)]=)xzyz:
8x2C;x0=)0x:
8x2C;0x=)0x2:
8x2C;x0=)0x2:
Doncsil'ordreetaittotal,
8x2C;(x0)ou(0x);
1.2.Denitionsetnotations5
1.2Denitionsetnotations
estdenie,nes'annulepas. deR2dansR, f(x+iy)=P(x;y)+iQ(x;y)P(x;y)=Ref(x+iy);
Q(x;y)=Imf(x+iy):
UdeU,c'est-a-diresi
8>0;9r>0telque8z2Ujzj evidemmentondiraque (z)!0quandz!0 f(z)!lquandz!z0 si 3 f(z)l=(zz0): 8>0;9r>0telque8z2Ujzz0j rementavoir f(z(t))!lquandt!t0: Parexemplelafonction
f(z)=f(x+iy)=(x+iy)3 x3+iy3; Eneetf(t)!1quandt!0+
alorsquef(it)!1quandt!0+. 0tit 1.3Derivabilitecomplexe-Holomorphie
f(z)f(z0)=(zz0)(f0(z0)+(zz0))(1.14) P(x;y)P(x0;y0)=axby+r(zz0)xi(zz0)y
enposantz0=x0+iy0;x=xx0;y=yy0. veriant(1.13)telleque @P peutecrireque5 P(x;y)P(x0;y0)=axby+1(zz0)jzz0j;
Q(x;y)Q(x0;y0)=bx+ay+2(zz0)jzz0j;
d'ou Onpeutdoncenoncerla
@P @x=@Q@yet@P@y=@Q@x(1.18) Alors f0(z0)=a+ib=dfdz=@f@x=i@f@y(1.19) ouencoredf 4Lefaire,enre
5QuellenormedeR2at'onutiliseeici?
1.3.Derivabilitecomplexe-Holomorphie7
Mat =)r !f (x0;y0)= ab ba! :(1.21) section. considereecommeunefonctionde(z; z).Apartirde x=z+ z 2;y=z z 2i; z): @f @z=@f@x@x@z+@f@y@y@z=12 @f@x+i@f@y =12 a+ib+i(b+ia) =0: Ainsifdoit^etreindependantede
doncserecrire @f @z=0()@f@x+i@f@y=0(1.22) Ilestmaintenanttempsdedonnerla
les (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0:(1.23) surU,dederiveecomplexe f g! 0 =f0gg0fg2:(1.24) composeegfestholomorphesurU,dederivee (gf)0(z)=g0(f(z))f0(z):(1.25) enzeroal'axereel: x y auxlignesQ(z)=constante. !rP !rQ =@P @x@Q@x+@P@y@Q@y=0:(1.26) (i)f0nes'annulepassurU; (iii)saderiveeestdonneepar f10(w)=1 f0(z)aupointw=f(z):(1.27) 1.4Lienentreholomorphieetconformite
Mat =)r !f (x0;y0)= cossin sincos! :(1.28) d'unerotationd'angle,d'oula 6VoirparexempleValiron(1966).
1.4.Lienentreholomorphieetconformite9
PSfragreplacements
OOf xxyy z 1(t)z 2(t) f(z1(t))f(z2(t)) !T 1! T 2 T0 1! T0 2 z T=dz dt(t0)=z0(t0); soitenrepassantenreels T x=x0(t0);Ty=y0(t0): santesreelles T 0x=d dtP(x(t);y(t))=@P@xx0(t)+@P@yy0(t); T 0y=d dtQ(x(t);y(t))=@Q@xx0(t)+@Q@yy0(t); cequitraduitmatriciellement !T0==)r !f !T: compositiondesderivees: T 0=d dtf(z(t0))=f0(z0)z0(t0)=eiT: 1;!T 2;!T0 1;!T0 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T0 1;!T 1 +\!T 1;!T 2 +\!T 2;!T0 2 =+\!T 1;!T 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T 1;!T 2 (1.29) Onpeutdoncenoncerla
avecleursensaupointz0. U. lineairedematriceM= ab cd! a parb2: Onendeduitla
saderiveenes'annulepassurU. (gure1.2): 0x,defoyerOetdedirectrice
x=2x2 0. x=2y20. 1.5.Exercicesetproblemes11
x y 1.5Exercicesetproblemes
problemes3.4et3.5. Exercice1.1Limitesdansleplancomplexe
1Lafonctionf(z)=z3
x2+y4at'elleunelimitequandz!0? 2M^emequestionpourf(z)=xy
x+iy? 3Lafonctionf(z)=arctany
xadmet-elleunelimitequandz!iaoua2R? (1997);Valiron(1966). Exercice1.2Derivabilitecomplexe
1f(z)=x2+y22f(z)=x2+iy23f(z)=x2y2+2ixy
4f(z)=x2+ixy5f(z)=x2+2ixy
Exercice1.3Classedefonctionsholomorphes
Csietseulementsif(z)=az+baveca2R;b2C.
Exercice1.5Reciproquedelaproposition1.5
estveriee: 1Ref(z)estconstante;
2Imf(z)estconstante;
3jf(z)jestconstante;
alorsfestconstantedansU. Soitz7!f(z)unefonctionholomorphesurC.
1lafonctionz7!
f(z)est-elleholomorphe? 2etlafonctionz7!
f(z)? considereescommefonctionsderet: e P(r;)=P(rcos;rsin);eQ(r;)=Q(rcos;rsin):
eQ @=r@eP@ret@eP@=r@eQ@r: 1.5.Exercicesetproblemes13
Probleme1.1Transformationshomographiques
z7!f(z)=az+b cz+d(1.30) f 1(z)=a1z+b1
c1z+d1;f2(z)=a2z+b2c2z+d2 4Montrezquel'equation
z z+z+z+ =0(1.31) avec; 2R;2C;jj2>
typesdefonctions: (i)translationsz7!z+tavect2C; (ii)similitudesz7!tzavect2C; (iii)inversionz7!1=z. uncercle. 7VeriezquelatransformationdeCayley
f(z)=zi z+i Probleme1.2TransformationdeJoukovski
Onconsiderel'applicationf(z)=1
2 z+1z E=fz2Ctelsquejzj>1g
surCprivedusegment[1;1]del'axereel. 2Montrezquef=f1f2f1avecf1(z)=z+1
z1;f2(z)=z2. V=n z2Ctelsque z+1 2 >3 2o Chapitre2
Theoremesd'integration
etpremieresconsequences 2.1Integralecurviligne-TheoremedeCauchy
+deC,denisparunensembledeparametrages +,il que(h(t))=z(t).Si +estdeniepar3 Z +f(z)dz=Z t2 t 1f(z(t))z0(t)dt
(2.1) soitquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
8>0;9r>0telque8z2Ujzz0j rementavoir f(z(t))!lquandt!t0: Parexemplelafonction
f(z)=f(x+iy)=(x+iy)3 x3+iy3; Eneetf(t)!1quandt!0+
alorsquef(it)!1quandt!0+. 0tit 1.3Derivabilitecomplexe-Holomorphie
f(z)f(z0)=(zz0)(f0(z0)+(zz0))(1.14) P(x;y)P(x0;y0)=axby+r(zz0)xi(zz0)y
enposantz0=x0+iy0;x=xx0;y=yy0. veriant(1.13)telleque @P peutecrireque5 P(x;y)P(x0;y0)=axby+1(zz0)jzz0j;
Q(x;y)Q(x0;y0)=bx+ay+2(zz0)jzz0j;
d'ou Onpeutdoncenoncerla
@P @x=@Q@yet@P@y=@Q@x(1.18) Alors f0(z0)=a+ib=dfdz=@f@x=i@f@y(1.19) ouencoredf 4Lefaire,enre
5QuellenormedeR2at'onutiliseeici?
1.3.Derivabilitecomplexe-Holomorphie7
Mat =)r !f (x0;y0)= ab ba! :(1.21) section. considereecommeunefonctionde(z; z).Apartirde x=z+ z 2;y=z z 2i; z): @f @z=@f@x@x@z+@f@y@y@z=12 @f@x+i@f@y =12 a+ib+i(b+ia) =0: Ainsifdoit^etreindependantede
doncserecrire @f @z=0()@f@x+i@f@y=0(1.22) Ilestmaintenanttempsdedonnerla
les (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0:(1.23) surU,dederiveecomplexe f g! 0 =f0gg0fg2:(1.24) composeegfestholomorphesurU,dederivee (gf)0(z)=g0(f(z))f0(z):(1.25) enzeroal'axereel: x y auxlignesQ(z)=constante. !rP !rQ =@P @x@Q@x+@P@y@Q@y=0:(1.26) (i)f0nes'annulepassurU; (iii)saderiveeestdonneepar f10(w)=1 f0(z)aupointw=f(z):(1.27) 1.4Lienentreholomorphieetconformite
Mat =)r !f (x0;y0)= cossin sincos! :(1.28) d'unerotationd'angle,d'oula 6VoirparexempleValiron(1966).
1.4.Lienentreholomorphieetconformite9
PSfragreplacements
OOf xxyy z 1(t)z 2(t) f(z1(t))f(z2(t)) !T 1! T 2 T0 1! T0 2 z T=dz dt(t0)=z0(t0); soitenrepassantenreels T x=x0(t0);Ty=y0(t0): santesreelles T 0x=d dtP(x(t);y(t))=@P@xx0(t)+@P@yy0(t); T 0y=d dtQ(x(t);y(t))=@Q@xx0(t)+@Q@yy0(t); cequitraduitmatriciellement !T0==)r !f !T: compositiondesderivees: T 0=d dtf(z(t0))=f0(z0)z0(t0)=eiT: 1;!T 2;!T0 1;!T0 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T0 1;!T 1 +\!T 1;!T 2 +\!T 2;!T0 2 =+\!T 1;!T 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T 1;!T 2 (1.29) Onpeutdoncenoncerla
avecleursensaupointz0. U. lineairedematriceM= ab cd! a parb2: Onendeduitla
saderiveenes'annulepassurU. (gure1.2): 0x,defoyerOetdedirectrice
x=2x2 0. x=2y20. 1.5.Exercicesetproblemes11
x y 1.5Exercicesetproblemes
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1Lafonctionf(z)=z3
x2+y4at'elleunelimitequandz!0? 2M^emequestionpourf(z)=xy
x+iy? 3Lafonctionf(z)=arctany
xadmet-elleunelimitequandz!iaoua2R? (1997);Valiron(1966). Exercice1.2Derivabilitecomplexe
1f(z)=x2+y22f(z)=x2+iy23f(z)=x2y2+2ixy
4f(z)=x2+ixy5f(z)=x2+2ixy
Exercice1.3Classedefonctionsholomorphes
Csietseulementsif(z)=az+baveca2R;b2C.
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estveriee: 1Ref(z)estconstante;
2Imf(z)estconstante;
3jf(z)jestconstante;
alorsfestconstantedansU. Soitz7!f(z)unefonctionholomorphesurC.
1lafonctionz7!
f(z)est-elleholomorphe? 2etlafonctionz7!
f(z)? considereescommefonctionsderet: e P(r;)=P(rcos;rsin);eQ(r;)=Q(rcos;rsin):
eQ @=r@eP@ret@eP@=r@eQ@r: 1.5.Exercicesetproblemes13
Probleme1.1Transformationshomographiques
z7!f(z)=az+b cz+d(1.30) f 1(z)=a1z+b1
c1z+d1;f2(z)=a2z+b2c2z+d2 4Montrezquel'equation
z z+z+z+ =0(1.31) avec; 2R;2C;jj2>
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f(z)=zi z+i Probleme1.2TransformationdeJoukovski
Onconsiderel'applicationf(z)=1
2 z+1z E=fz2Ctelsquejzj>1g
surCprivedusegment[1;1]del'axereel. 2Montrezquef=f1f2f1avecf1(z)=z+1
z1;f2(z)=z2. V=n z2Ctelsque z+1 2 >3 2o Chapitre2
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+deC,denisparunensembledeparametrages +,il que(h(t))=z(t).Si +estdeniepar3 Z +f(z)dz=Z t2 t 1f(z(t))z0(t)dt
(2.1) soitquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
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alorsquef(it)!1quandt!0+. 0tit1.3Derivabilitecomplexe-Holomorphie
f(z)f(z0)=(zz0)(f0(z0)+(zz0))(1.14)P(x;y)P(x0;y0)=axby+r(zz0)xi(zz0)y
enposantz0=x0+iy0;x=xx0;y=yy0. veriant(1.13)telleque @P peutecrireque5P(x;y)P(x0;y0)=axby+1(zz0)jzz0j;
Q(x;y)Q(x0;y0)=bx+ay+2(zz0)jzz0j;
d'ouOnpeutdoncenoncerla
@P @x=@Q@yet@P@y=@Q@x(1.18) Alors f0(z0)=a+ib=dfdz=@f@x=i@f@y(1.19) ouencoredf4Lefaire,enre
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1.3.Derivabilitecomplexe-Holomorphie7
Mat =)r !f (x0;y0)= ab ba! :(1.21) section. considereecommeunefonctionde(z; z).Apartirde x=z+ z 2;y=z z 2i; z): @f @z=@f@x@x@z+@f@y@y@z=12 @f@x+i@f@y =12 a+ib+i(b+ia) =0:Ainsifdoit^etreindependantede
doncserecrire @f @z=0()@f@x+i@f@y=0(1.22)Ilestmaintenanttempsdedonnerla
les (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0:(1.23) surU,dederiveecomplexe f g! 0 =f0gg0fg2:(1.24) composeegfestholomorphesurU,dederivee (gf)0(z)=g0(f(z))f0(z):(1.25) enzeroal'axereel: x y auxlignesQ(z)=constante. !rP !rQ =@P @x@Q@x+@P@y@Q@y=0:(1.26) (i)f0nes'annulepassurU; (iii)saderiveeestdonneepar f10(w)=1 f0(z)aupointw=f(z):(1.27)1.4Lienentreholomorphieetconformite
Mat =)r !f (x0;y0)= cossin sincos! :(1.28) d'unerotationd'angle,d'oula6VoirparexempleValiron(1966).
1.4.Lienentreholomorphieetconformite9
PSfragreplacements
OOf xxyy z 1(t)z 2(t) f(z1(t))f(z2(t)) !T 1! T 2 T0 1! T0 2 z T=dz dt(t0)=z0(t0); soitenrepassantenreels T x=x0(t0);Ty=y0(t0): santesreelles T 0x=d dtP(x(t);y(t))=@P@xx0(t)+@P@yy0(t); T 0y=d dtQ(x(t);y(t))=@Q@xx0(t)+@Q@yy0(t); cequitraduitmatriciellement !T0==)r !f !T: compositiondesderivees: T 0=d dtf(z(t0))=f0(z0)z0(t0)=eiT: 1;!T 2;!T0 1;!T0 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T0 1;!T 1 +\!T 1;!T 2 +\!T 2;!T0 2 =+\!T 1;!T 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T 1;!T 2 (1.29)Onpeutdoncenoncerla
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1Lafonctionf(z)=z3
x2+y4at'elleunelimitequandz!0?2M^emequestionpourf(z)=xy
x+iy?3Lafonctionf(z)=arctany
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1f(z)=x2+y22f(z)=x2+iy23f(z)=x2y2+2ixy
4f(z)=x2+ixy5f(z)=x2+2ixy
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Exercice1.5Reciproquedelaproposition1.5
estveriee:1Ref(z)estconstante;
2Imf(z)estconstante;
3jf(z)jestconstante;
alorsfestconstantedansU.Soitz7!f(z)unefonctionholomorphesurC.
1lafonctionz7!
f(z)est-elleholomorphe?2etlafonctionz7!
f(z)? considereescommefonctionsderet: eP(r;)=P(rcos;rsin);eQ(r;)=Q(rcos;rsin):
eQ @=r@eP@ret@eP@=r@eQ@r:1.5.Exercicesetproblemes13
Probleme1.1Transformationshomographiques
z7!f(z)=az+b cz+d(1.30) f1(z)=a1z+b1
c1z+d1;f2(z)=a2z+b2c2z+d24Montrezquel'equation
z z+z+z+ =0(1.31) avec;2R;2C;jj2>
typesdefonctions: (i)translationsz7!z+tavect2C; (ii)similitudesz7!tzavect2C; (iii)inversionz7!1=z. uncercle.7VeriezquelatransformationdeCayley
f(z)=zi z+iProbleme1.2TransformationdeJoukovski
Onconsiderel'applicationf(z)=1
2 z+1zE=fz2Ctelsquejzj>1g
surCprivedusegment[1;1]del'axereel.2Montrezquef=f1f2f1avecf1(z)=z+1
z1;f2(z)=z2. V=n z2Ctelsque z+1 2 >3 2oChapitre2
Theoremesd'integration
etpremieresconsequences2.1Integralecurviligne-TheoremedeCauchy
+deC,denisparunensembledeparametrages +,il que(h(t))=z(t).Si +estdeniepar3 Z +f(z)dz=Z t2 t1f(z(t))z0(t)dt
(2.1) soitquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] fonction ? variable complexe exercices corrigés pdf
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