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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

[Inégalité de Tchebychev]Soitf:Rd!R+une fonction intégrable à valeurs positives qui est Lebesgue-intégrable. Pour >0, on pose : E :=x2Rd:f(x)> :

Montrer que (figure-bonus possible) :

m E61 Z f:

Exercice 2.

En dimensiond>1, soit une fonction mesurablef:Rd!R+à valeurs positives finies. (a)Rappeler la définition initiale de la mesurabilité d"une fonction, puis des caractérisa- tions équivalentes. (b)Montrer que, pour tout entierk2Z, les sous-ensembles : E k:=x2Rd: 2k1< f(x)62k sont mesurables dansRd. (c)Montrer que l"on a la réunion disjointe (figure-bonus possible) : 1[ k=1E k=x2Rd:f(x)>0: (d)Pour tout entiern2N, on introduit la fonction étagée : F n:=k=+nX k=n2 k1Ek; ainsi queF:=limn!1Fn. Montrer que l"on a en tout point : 1 2

F6f6F:

(e)Montrer que la fonction d"originefest Lebesgue-intégrable si et seulement siP1 k=12km(Ek)<1. 1

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

(f)Aveca;b2R, on introduit les deux fonctions : f(x) :=8 :1 jxjapour00autrement;etg(x) :=8 :1 jxjbpourjxj>1;

0autrement:

En utilisant(e), montrer quefest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsquea < d, et aussi, montrer quegest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsqueb > d.

Exercice 3.

Sur un segment compact[a;b]bR, soitf: [a;b]!Rune fonction réelle quelconque, pas forcément bornée. Montrer qu"on peut néanmoins définir sans modifica- tion la notion de Riemann-intégrabilité def, mais montrer alors que si, pour tout" >0, il existe une subdivisionde[a;b]telle que la différence entre les sommes de Darboux supérieure et inférieure defsatisfait(f)(f)6", alors ceci implique en fait que fest nécessairement bornée.

Exercice4.

SoientE1;E2;E3; :::Rduneinfinité dénombrable d"ensemblesmesurables emboîtés de manière décroissante les uns dans les autres : E kEk+1(k>1):

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

mEk0<1:

En utilisant un théorème fondamental énoncé avec soin concernant les réunions dénom-

brables disjointes d"ensembles mesurables, montrer que (figure-bonus possible) : m 1\ k=1E k =limK!1mEK; puis trouver un exemple simple faisant voir que cette conclusion peut être mise en défaut sans l"existence dek0tel quem(Ek0)<1.

Exercice 5.

Le but de cet exercice est de montrer que recouvrir les sous-ensemblesERd par un nombrefinide cubes ne suffit pas à produire un concept réellement satisfaisant de mesure extérieurem(E). On se restreint ici à la dimensiond= 1. En effet, la mesure extérieure de Jordan mJ(E)peut être définie par : m

J(E) =infJX

j=1 Ij; où l"infimum est pris sur les recouvrementsfinis : EJ[quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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