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puisque Jordan n'a pas fait la bêtise de ne pas attribuer 1 comme mesure — et comme mesure extérieure! 10. Corrigé de l'examen 5. 67. Par conséquent : ∫ ∞ a.
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Licence. Durée 2 h 08h30–. 10h30. Examen de Mesure et Intégration. Soit (E
Recueil des examens Mesures et Intégration
11 нояб. 2014 г. 1. (a +bn)2 où λ désigne la mesure de Lebesgue sur ]0+∞[. Exercice 3 : 10pts. Soit (X
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3 Année Licence Mathématiques Mesure et Intégration. Exercices corrigés Exercice 10. Soit f une fonction mesurable de E vers R+ i. e. f ∈ M(E
Mesure et Intégration
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Le but de ce cours est d'introduire les notions de théorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilités et en analyse.
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Licence de mathématiques 3e année. Mesure et intégration. Année –. Exercices b) A2 := {12n + 10−n. 3n + 2. ; n ∈ N. } ; c) A3 := {(. 1 + sin. ( n π. 2. )).
Intégration Exercices et Corrigés
mesure de Lebesgue est 10(b − a)/10 = b − a = λ([a b]). Donc f∗λ = λ ◦ f−1 coıncide avec λ sur le π-syst`eme formé par les intervalles. De plus
Mesure et Intégration
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 7 10. Montrer qu'un ensemble E ⊆ R est mesurable si et seulement si on peut l ...
Exercices corrigés pour le cours de Licence de Mathématiques
INTÉGRATION Feuille d'exercices 2. Exercice 2.1. Montrer que la fonction exercices 4.9-10 et remarquer également que si 1 ≤ p < q ≤ +∞ et χ ∈. C0.
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Soit m la mesure de Lebesgue sur R et soit ? > 0 arbitrairement petit. 10. Corrigé de l'examen 5. Exercice 1. (a) Faisons ? := 1 prenons n := N(1)
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3 Année Licence Mathématiques Mesure et Intégration. Exercices corrigés 1 ? 1=0 si µ(A)=1 ou bien. 1 ? 0=1 si µ(A)=0. . 10 ...
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Licence de mathématiques 3e année. Mesure et intégration. Année –. Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des ensembles
Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
10. CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE. 2.4 Fonctions mesurables et intégrales. 2.4.1 Intégrales des fonctions mesurables positives. Définition 2.4.1.
Mesure et Intégration
Polycopié de cours. Mesure et Intégration. Cours et exercices d'applications. Réalisé par : MENAD Abdallah. Troisième année licence Mathématiques LMD.
Exercices corrigés pour le cours de Licence de Mathématiques
On pourra également consulter l'exercice 2 du 14/11/1998 dans le para- graphe examens corrigés. Exercice 2.10. Soit (XM
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11 nov. 2014 1. (a +bn)2 où ? désigne la mesure de Lebesgue sur ]0+?[. Exercice 3 : 10pts. Soit (X
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13 janv. 2014 Mesure et Intégration. Examen Final – Corrigé. 13 janvier 2014 — durée 3 h. Notations. (a) ?n est la mesure de Lebesgue dans Rn.
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10. Montrer qu'un ensemble E ? R est mesurable si et seulement si on peut l'écrire comme la réunion disjointe d'un ensemble de mesure nulle.
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Exercices corrigés
Exercice#?.Déterminer les bornessupetinfdes ensembles ci-dessous : a)A1:=n cos n2 ;n2No b)A2:=12n+ 10n3n+ 2;n2N c)A3:=n1 + sin
n2 lnn;n2NoSolution.
a)A1:=n cos n2 ;n2No =f0;+1;1g.A1est fini, doncsupA1= maxA1= +1etinfA1= minA1=1. b)12n+ 10n3n+ 2= 4810n3n+ 2.n=810n3n+ 2est une suite décroissante. La valeur maximale den
estdonc0=72 .Deplus,limnn= 0.Doncinf810n3n+ 2;n2N = 0.Ils"ensuitquesupA2= 4 etinfA2= 472 =12 c) On a1 + sin
4n2 ln(4n) = lnn+ ln4. DoncsupA3supflnn+ ln4;n2Ng= +1, car lnntend vers+1. De plusinfA3= minA3= 0, car1 + sin
n2 lnnest positive pourn1 et0pourn= 1.Exercice#?.Montrer quexnyn,8nn0=)limsupnxnlimsupnyn. Solution.Nous allons utiliser le fait (énoncé en cours) que limsup nxn= maxn limkxnk; (xnk)kest une sous-suite de(xn)nayant une limiteoIci, on autorise les valeurs1pour la limite.
Soitdonc(xnk)kunesous-suitepourlaquellelemaxestatteint.Quitteàpasserencoreunefoisàune sous-suite, on peut supposer que(ynk)ka une limite. Commexnkynkpour tous sauf un nombre fini dek, on a que limsup nxn= limkxnklimkynklimsup nyn:Autresolution.SoientXn:= supknxk,Yn:= supknyk. Pourknn0, nous avonsxkykYn, d"où, en prenant lesupsurk,XnYn. Il s"ensuit que limsup nxn= limnXnlimnYn= limsupyn:Le lemme suivant sera utilisé dans la résolution de l"exercice#?. Lemme.Soit(xn)nune suite de nombres réels et soit(nk)ket(m`)`des suites strictement croissantes d"entiers telles queN=fnk;k2Ng [ fm`;`2Ng
et les deux sous-suites(xnk)ket(xm`)`ont des limites. Alors limsup nxn= max(limkxnk;lim`xm`);liminfnxn= min(limkxnk;lim`xm`): Énoncé analogue pour un nombre, fini mais arbitraire, de sous-suites. Avant de procéder à la preuve du lemme, décrivons un Principedepreuve.Siaetbsont des réels, pour montrer queab, il su?fit de montrer queab+",8" >0. Pour montrer queab, il su?fit de montrer queab",8" >0
Lorsquea;b2R[ f1g, pour montrer queab, il su?fit de montrer queaM,8M > b(avec M2R). De même, sia;b2R[ f1g, pour montrer queab, il su?fit de montrer queaM,8M < b (avecM2R). Démonstrationdulemme.Nous allons faire la preuve uniquement pourlimsupet deux sous-suites, les autres cas étant analogues. Soitz:= max(limkxnk;lim`xm`).L"inégalitélimsupnxnzsuitde(?)ci-dessus.Enparticulier,si z=1, alors nous avons nécessairement égalité. Supposonsz2R[f1g.Pourmontrerquelimsupnxnz,considérons(commedansleprincipe de preuve décrit ci-dessus) un réelMtel queM > z, de sorte queM >limkxnketM >lim`xm`. Par définition de la limite, il existek0;`02Nsatisfaisantxnk< M,8kk0, etxm`< M,8``0. Soit p0:= max(nk0;m`0). Sipp0, alors soitxp=xnkpour unkk0, soitxp=xm`pour un``0. Dans
les deux cas, nous avonsxp< M. Il s"ensuit que X n:= sup pnxpM;8np0; d"où limsup nxn= limnXnM;8M > z:Le principe de preuve permet de conclure.Exercice#?.Calculerlimsupnxnetliminfnxnpourlessuitesdéfinies,pourtoutn2N,respectivement
par les formules : a)xn:= (n+ 1)(1)n. b)xn:=2 + cos
n2 n2n+ 1.Solution.
a) Considérons les sous-suitesx2n= 2n+ 1etx2n+1= 1=(2n+ 2). Nous avonslimnx2n=1et lim nx2n+1= 0; le lemme impliquelimsupnxn=1etliminfnxn= 0.b) La preuve du lemme s"adapte à un nombre fini arbitraire de sous-suites (à la place de deux sous-
suites). Considérons les sous-suitesx4n= (12n)=(8n+ 1),x2n+1= 2(2n+ 1)=(2(2n+ 1) + 1)etx4n+2= (4n+2)=(2(4n+2)+1).Onaquelimnx4n= 3=2,limnx2n+1= 1etlimnx4n+2= 1=2.Onconclut quelimsupnxn= 3=2etliminfnxn= 1=2.Exercice#?.
a) Montrer quex2limsupAnsi et seulement sixappartient à une infinité d"ensemblesAn. b) Montrer quex2liminfAnsi et seulement si il existe unn1(qui peut dépendre dex2X) tel que x2An,8nn1. c) Pour toutx2X, montrer les égalitésquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] vecteur gaussien centré
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