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puisque Jordan n'a pas fait la bêtise de ne pas attribuer 1 comme mesure — et comme mesure extérieure! 10. Corrigé de l'examen 5. 67. Par conséquent : ∫ ∞ a.
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Licence. Durée 2 h 08h30–. 10h30. Examen de Mesure et Intégration. Soit (E
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11 нояб. 2014 г. 1. (a +bn)2 où λ désigne la mesure de Lebesgue sur ]0+∞[. Exercice 3 : 10pts. Soit (X
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Mesure et Intégration
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Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
Le but de ce cours est d'introduire les notions de théorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilités et en analyse.
Exercices corrigés
Licence de mathématiques 3e année. Mesure et intégration. Année –. Exercices b) A2 := {12n + 10−n. 3n + 2. ; n ∈ N. } ; c) A3 := {(. 1 + sin. ( n π. 2. )).
Intégration Exercices et Corrigés
mesure de Lebesgue est 10(b − a)/10 = b − a = λ([a b]). Donc f∗λ = λ ◦ f−1 coıncide avec λ sur le π-syst`eme formé par les intervalles. De plus
Exercices corrigés pour le cours de Licence de Mathématiques
INTÉGRATION Feuille d'exercices 2. Exercice 2.1. Montrer que la fonction exercices 4.9-10 et remarquer également que si 1 ≤ p < q ≤ +∞ et χ ∈. C0.
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Soit m la mesure de Lebesgue sur R et soit ? > 0 arbitrairement petit. 10. Corrigé de l'examen 5. Exercice 1. (a) Faisons ? := 1 prenons n := N(1)
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3 Année Licence Mathématiques Mesure et Intégration. Exercices corrigés 1 ? 1=0 si µ(A)=1 ou bien. 1 ? 0=1 si µ(A)=0. . 10 ...
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Licence de mathématiques 3e année. Mesure et intégration. Année –. Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des ensembles
Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
10. CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE. 2.4 Fonctions mesurables et intégrales. 2.4.1 Intégrales des fonctions mesurables positives. Définition 2.4.1.
Mesure et Intégration
Polycopié de cours. Mesure et Intégration. Cours et exercices d'applications. Réalisé par : MENAD Abdallah. Troisième année licence Mathématiques LMD.
Exercices corrigés pour le cours de Licence de Mathématiques
On pourra également consulter l'exercice 2 du 14/11/1998 dans le para- graphe examens corrigés. Exercice 2.10. Soit (XM
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Examens corrigés François DE MARÇAY Département de Mathématiques d'Orsay Université Paris-Sud France 1 Examen 1 Exercice 1 [Inégalité de Tchebychev]
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Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps 2020 Section de Mathématiques Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020)
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MESURE ET INT´EGRATION
EN UNE DIMENSION
Notes de cours
Andr´e Giroux
D´epartement de Math´ematiques et StatistiqueUniversit´e de Montr´eal
Mai 2004
Table des mati`eres1 INTRODUCTION21.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 ENSEMBLES MESURABLES52.1 Mesure ext´erieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.2 Ensembles mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.3 Mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 FONCTIONS MESURABLES173.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214 INT´EGRATION234.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355 ESPACES DE LEBESGUE395.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496 D´ERIVATION536.1 Fonctions `a variation born´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . .536.2 Fonctions absolument continues. . . . . . . . . . . . . . . . .626.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .677 INT´EGRATION ABSTRAITE707.0.1 Le mod`ele probabiliste. . . . . . . . . . . . . . . . . .767.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .798 INT´EGRALES IT´ER´EES818.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .899 APPLICATIONS919.1 S´erie de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .919.2 Transform´ee de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1009.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1101
1 INTRODUCTION
L"aire d"un rectangleRde cˆot´esaetbestab, par d´efinition. Lorsque aetbsont des entiers, cette aire est ´egale au nombre de carr´es de cˆot´e unit´e n´ecessaires pour recouvrirR. L"aire du triangle rectangle de baseaet de hauteurbest bien ´evidemmentab/2. On en d´eduit l"aire d"un triangle quelconque puis, par triangulation, celle d"un polygone arbitraire. Le calcul de l"aire d"un domaineDd´elimit´e par des courbes plus com- plexes, par exemple des arcs de cercle ou des segments de parabole, n´ecessite un passage `a la limite. Dans le cas o`uDest d´etermin´e par le graphe d"une fonctionfcontinue et positive sur un intervalle compact [a,b]1,D={(x,y)|a≤x≤b ,0≤y≤f(x)},
consid´erons avec Riemann une partitionPde l"intervalle [a,b] : P={x0,x1,x2,...,xn}o`ua=x0< x1< x2<···< xn=b.Alors la somme sup´erieure
S(f,P) =n?
k=1sup{f(x)|xk-1≤x≤xk}(xk-xk-1) fournit une borne sup´erieure pour l"aire requise et la somme inf´erieure s(f,P) =n? k=1inf{f(x)|xk-1≤x≤xk}(xk-xk-1) en fournit une borne inf´erieure. En utilisant les propri´et´es des fonctions continues sur les intervalles compacts, on montre que inf{S(f,P)| P}= sup{s(f,P)| P} et c"est cette valeur commune que l"on prend pour mesure de l"aire du do- maineD. On exprime ceci en disant que la fonctionfest int´egrable au sens de Riemann sur l"intervalle [a,b], d"int´egrale b af(x)dx= inf{S(f,P)| P}= sup{s(f,P)| P}.1[a,b] d´esigne un intervalle contenant ses extr´emit´es, ]a,b[ d´esigne un intervalle ne
contenant pas ses extr´emit´es et (a,b) d´esigne un intervalle contenant peut-ˆetre ses extr´emit´es.2 Lorsque la fonctionfn"est pas continue, il n"est plus certain qu"elle soit int´egrable au sens de Riemann, mˆeme si elle est positive et born´ee. Un exemple d"une telle fonction est fourni par la fonction indicatrice des nombres rationnelsf=IQ, d´efinie par IQ(x) =?1 six?Q
0 sinon,
qui n"est int´egrable sur aucun intervalle [a,b] puisque l"on a toujoursS(IQ,P) =b-a , s(IQ,P) = 0.
On peut essayer d"´elargir la classe des fonctions int´egrables, et ceci est l"objet de notre cours, en consid´erant avec Lebesgue des partitions de l"axe des ordonn´ees plutˆot que des partitions de l"axe des abscisses. Nous ´etendrons d"abord la notion de longueur d"un intervalle,λ([a,b]) =b-a,
`a une classe plus vaste d"ensembles (nous les nommerons : ensembles me- surables et la longueur g´en´eralis´ee : mesure). Nous consid´ererons alors la somme m(f) =m? k=0kmλ(Ek) o`u E k=? x|km≤f(x)[PDF] vecteur gaussien centré
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