[PDF] [PDF] Intégration Exercices et Corrigés - ceremade

View - Download [PDF] Intégration Exercices et Corrigés - ceremade

Previous PDF

Next PDF

Universit´e Pierre et Marie Curie2004-2005

Licence de math

ematiques T el´e-enseignement Int egration

Exercices et Corrig

es en compl´ement du Cours de Gilles Pag`es

Jacques F´ejoz

fejoz@math.jussieu.fr Il est n´ecessaire de chercher longtemps soi-mˆeme les exercices, avant de s"aider du corrig´e. Je vous encourage `a choisir unexercice par chapitre, parmi ceux qui ne sont pas les plus ´el´ementaires, `a r´ediger sa solution et `a m"envoyer votre travail pour que je le cor- rige.Adopter une r´edaction concise et v´erifier scrupuleusement ses d´emonstrations: ceux qui suivront ces deux conseils seront r´ecompens´es.

Table des mati`eres

Chapitre 1. Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures 2

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles 4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus 5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables 9

10. Tribu image r´eciproque 10

11. Tribu image directe11

13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12

15. Mesure invariante par une application * 12

16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14

17. Entropie d"une partition 16

18. Pourquoi la tribu bor´elienne ? 17

20. Une mesure diffuse purement atomique 18

24. L"ensemble de Cantor * 19

Chapitre 2. L"int´egration par rapport `a une mesure 22

1. Exemples ´el´ementaires 22

2. Un exemple bˆete23

3. In´egalit´e de Fatou stricte 25

4. Un crit`ere d"int´egrabilit´e 25

5. Une application du th´eor`eme de convergence monotone 27

6. Une application du th´eor`eme de convergence domin´ee 28

7. Int´egration par rapport `a une mesure image 28

8. Centre de masse31

9. Noyaux probabilistes32

Chapitre 3. Interversion de limites et d"int´egrales 36

1. Int´egrales et primitives 36

2. Passages `a la limite dans une int´egrale 38

3. Interversions d"une somme de s´erie et d"une int´egrale 39

4. D´erivation sous le signe somme 41

5. Calcul d"un ´equivalent par la m´ethode de Laplace 42

2

TABLE DES MATI`ERES3

6. Formule de Stirling par la m´ethode de Laplace 43

8. Partie finie de Hadamard 45

9. D´erivation sous le signe somme - un cas pathologique simple 47

11. Des questions de sommabilit´e 48

12. Le th´eor`eme ergodique de Birkhoff (1931) 50

13. In´egalit´e de Jensen et entropie d"une partition 54

Chapitre 4. Produits de mesures 57

1. Questions ´el´ementaires 57

2. Carr´e de la mesure de comptage 57

3. Un contre-exemple au th´eor`eme de Fubini 58

4. Mesure d"un graphe58

5. Applications du th´eor`eme de Fubini 59

6. Calculs de volumes de solides 63

7. Int´egrale curviligne65

8. Int´egrale de surface67

10. Action lagrangienne et g´eod´esiques 69

11. Calcul d"une int´egrale multiple 73

12. Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions Γ etBet application `a une formule sommatoire

13. Variables al´eatoires ind´ependantes * 77

14. Exemples de produits de convolution 79

15. Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80

Chapitre 5. Les espaces de fonctions int´egrables 82

1. Application de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 82

2. Convergence simple et convergence dansLp82

3. NormesLp83

4. S´eries de Fourier dansL2* 84

5. Esp´erance conditionnelle et th´eor`eme ergodique de Birkhoff * 88

Chapitre 6. La transform´ee de Fourier 92

1. Calculs et propri´et´es ´el´ementaires 92

2. R´egularit´e de la transform´ee de Fourier 93

4. Non surjectivit´e de la transformation de Fourier 94

5.´Equation de propagation 95

6.´Equation de diffusion de la chaleur 96

8.´Equivalent d"une int´egrale de Fresnel 100

9. Rotations irrationnelles et s´eries de Fourier 102

10. Th´eor`eme central limite 103

CHAPITRE 1

Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures

Sommaire

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables9

10. Tribu image r´eciproque10

11. Tribu image directe11

13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12

15. Mesure invariante par une application * 12

16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14

17. Entropie d"une partition16

18. Pourquoi la tribu bor´elienne ?17

20. Une mesure diffuse purement atomique 18

24. L"ensemble de Cantor *19

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann.Soient

a < bdeux r´eels etEun espace de Banach r´eel. NotonsBl"espace des fonctions born´ees deIdansE, muni de la norme?f?∞= sup t?I?f(t)?. Notons aussiEle sous-espace deBdes fonctions en escalier. a.Montrer que l"ensemble des subdivisions deIest muni d"une re- lation d"ordre naturelle. Siαetβsont deux subdivisions deI, on noteraα?βleur borne inf´erieure pour cette relation d"ordre. b.Rappeler la d´efinition de l"int´egrale de Riemann d"une fonction en escalierf?E. c.Interpr´etercette d´efinition g´eom´etriquementdans le cas o`uE=R. d.Montrer que l"application ainsi d´efinieI= (E,?·?∞)→(E,?·?) est lin´eaire et uniform´ement continue. NotonsRl"espace desfonctions r´egl´eesdeIdansE; par d´efinition, c"est l"adh´erence deEdans (B,??∞). e.Montrer qu"il existe un unique prolongementcontinu de l"application I`aR. 4

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 5

NotonsE(I,R) l"espace des fonctions en escalier deIdansR.

Quelle que soitf?B, notons

E={p?E(I,R),?f(t)? ≤p(t)?t?I} ?=∅

et

N(f) = infI(f),I(f) =?

?bquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] mesure et intégration examens corrigés

[PDF] vecteur gaussien centré

[PDF] matrice de variance et covariance exercice corrigé

[PDF] exercice microéconomie consommateur

[PDF] exercice aire et périmètre 3eme

[PDF] exercices corrigés arithmétique 3eme

[PDF] relations interspécifiques exercices

[PDF] relations interspécifiques exemples

[PDF] exercice sur les facteurs biotiques

[PDF] démontrer que deux triangles sont isométriques

[PDF] triangles isométriques démonstrations

[PDF] triangles isométriques exercices corrigés

[PDF] figures isométriques et semblables exercices

[PDF] triangles isométriques exercices corrigés 4ème

[PDF] figures isométriques exercices