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puisque Jordan n'a pas fait la bêtise de ne pas attribuer 1 comme mesure — et comme mesure extérieure! 10. Corrigé de l'examen 5. 67. Par conséquent : ∫ ∞ a.
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Licence. Durée 2 h 08h30–. 10h30. Examen de Mesure et Intégration. Soit (E
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11 нояб. 2014 г. 1. (a +bn)2 où λ désigne la mesure de Lebesgue sur ]0+∞[. Exercice 3 : 10pts. Soit (X
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Licence de mathématiques 3e année. Mesure et intégration. Année –. Exercices b) A2 := {12n + 10−n. 3n + 2. ; n ∈ N. } ; c) A3 := {(. 1 + sin. ( n π. 2. )).
Intégration Exercices et Corrigés
mesure de Lebesgue est 10(b − a)/10 = b − a = λ([a b]). Donc f∗λ = λ ◦ f−1 coıncide avec λ sur le π-syst`eme formé par les intervalles. De plus
Mesure et Intégration
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 7 10. Montrer qu'un ensemble E ⊆ R est mesurable si et seulement si on peut l ...
Exercices corrigés pour le cours de Licence de Mathématiques
INTÉGRATION Feuille d'exercices 2. Exercice 2.1. Montrer que la fonction exercices 4.9-10 et remarquer également que si 1 ≤ p < q ≤ +∞ et χ ∈. C0.
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Soit m la mesure de Lebesgue sur R et soit ? > 0 arbitrairement petit. 10. Corrigé de l'examen 5. Exercice 1. (a) Faisons ? := 1 prenons n := N(1)
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3 Année Licence Mathématiques Mesure et Intégration. Exercices corrigés 1 ? 1=0 si µ(A)=1 ou bien. 1 ? 0=1 si µ(A)=0. . 10 ...
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Licence de mathématiques 3e année. Mesure et intégration. Année –. Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des ensembles
Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
10. CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE. 2.4 Fonctions mesurables et intégrales. 2.4.1 Intégrales des fonctions mesurables positives. Définition 2.4.1.
Mesure et Intégration
Polycopié de cours. Mesure et Intégration. Cours et exercices d'applications. Réalisé par : MENAD Abdallah. Troisième année licence Mathématiques LMD.
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On pourra également consulter l'exercice 2 du 14/11/1998 dans le para- graphe examens corrigés. Exercice 2.10. Soit (XM
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Mesures et Intégration
Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005
30 avril 2008
Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l"EPFL par MarcTroyanov, version 2005-2006.
Table des matières
1 Le problème de Borel-Lebesgue 3
2 Présentation rapide de la mesure de Lebesgue surR5
3 Familles d"ensembles 6
4 Anneaux et algèbres d"ensembles 9
5 Autres types de familles d"ensembles 11
6 Tribu engendrée par une famille d"ensembles 13
7 Espaces Mesurés 14
8 Applications mesurables et mesures images 18
9 Mesure extérieure et théorème de Carathéodory 19
10 Constructions de mesures extérieures 24
11 La mesure de Lebesgue 26
11.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
11.2 Un ensemble non-mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
12 Unicité selon Dynkin 29
13 Unicité de la mesure de Lebesgue 31
14 Régularité des mesures 33
15 La mesure de Hausdorff 34
16 Fonctions et applications mesurables 37
17 Le théorème d"Egorov * 411
18 Sommation des fonctions simples non négatives 43
19 Intégration des fonctions mesurables positives 45
20 Intégration des fonctions à valeurs réelles (et complexes) 50
21 Le théorème de convergence dominée de Lebesgue 53
22 L"intégrale de Riemann 56
23 Les intégrales impropres 59
24 Intégrales dépendant d"un paramètre 60
25 Quelques inégalités importantes 63
25.1 L"inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
25.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
25.3 L"inégalité de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
25.4 L"inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
25.5 L"inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
26 L"espaceLp(X,A,μ)67
26.1 L"espaceL∞(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
26.2 Une application aux séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
27 Mesure produit et théorème de Fubini 71
28 Changement de variables dans les intégrales 74
29 Intégration sur la sphère et intégration polaire surRn77
c?marc.troyanov epfl)2Première partie : Théorie de la mesure
1 Le problème de Borel-Lebesgue
Dans l"introduction de sa thèse intituléeIntégrale, Longueur, Aireet soutenue à Paris en1902, Henri Lebesgue écrit :Dans l"étude des questions relatives à la théorie des fonctions de
variables réelles on reconnaît souvent qu"il serait commode de pouvoir attacher aux ensembles de points des nombres jouissants de certaines des propriétés des longueurs des segments oudes aires des polygones. On a proposé différentes définitions de ces nombres que l"on appelle
les mesures des ensembles; celle qui a été le plus souvent adoptée se trouve exposées dans le
livre de Mr Jordan 1. Dans le premier chapitre je définis, avec Mr Borel2, la mesure d"un ensemble par ses propriétés
essentielles. Après avoir complété les indications un peu rapides que donne Mr Borel, j"indique
quelles relations il y a, entre la mesure ainsi définie et la mesure de Mr Jordan. La définition
que j"adopte s"applique aux espaces à plusieurs dimensions. Puis, au début du premier chapitre, il formule le problème de la façon suivante :Nous nous proposons d"attacher à chaque ensemble borné un nombre positif ou nul que nous appelleronssa mesure et satisfaisant aux conditions suivantes :1.Il existe des ensembles dont la mesure n"est pas nulle.
2.Deux ensembles égaux ont même mesure.
3.La mesure d"une somme d"un nombre fini ou d"une infinité dénombrable d"ensembles, sans
points communs, deux à deux, est la somme des mesures de ces ensembles. Faisons quelques commentaires. Lebesgue ne le dit pas explicitement, mais les ensemblesquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] vecteur gaussien centré
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