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Int´egration et probabilit´es
(cours + exercices corrig´es)L3 MASS, Universit´e de Nice-Sophia Antipolis
Sylvain Rubenthaler
Table des mati`eres
Introduction iii
1 D´enombrement (rappels) 1
1.1 Ensembles d´enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Th´eorie de la mesure 5
2.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Int´egrales des fonctions ´etag´ees mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Fonctions mesurables et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Int´egrales des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Int´egrales des fonctions mesurables de signe quelconque. . . . . . . . . 11
2.5 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Ensembles n´egligeables 17
4 Th´eor`emes limites 19
4.1 Stabilit´e de la mesurabilit´e par passage `a la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Th´eor`emes de convergence pour les int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Int´egrales d´ependant d"un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Mesure produit et th´eor`emes de Fubini 29
5.1 Th´eor`emes de Fubini et Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Fondements de la th´eorie des probabilit´es 37
6.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Esp´erance d"une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4.1 Lois discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.6 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
i6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.7.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.7.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Variables ind´ependantes 53
7.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.1.1´Ev´enements et variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.1.2 Densit´es de variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3 Somme de deux variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Convergence de variables al´eatoires 61
8.1 Les diff´erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.3 Th´eor`eme central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9 Conditionnement 71
9.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3.1´Enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3.2 Corrig´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10 Variables gaussiennes 77
10.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.2 Gaussiennes et esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A Table de la loi normale 81
Introduction
Le but de ce cours est d"introduire les notions de th´eorie de la mesure qui seront utilesen calcul des probabilit´es et en analyse. Il est destin´e aux ´etudiants qui veulent poursuivre
leurs ´etudes dans un master `a composante math´ematique. Pour un cours plus complet, se reporter `a la bibliographie. Informations utiles (partiels, barˆemes, annales, corrig´es, ...) : http ://math.unice.fr/≂rubentha/cours.html.PR´EREQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l"´etudiant doit connaˆıtre, entre autres, les
d´eveloppements limit´es, les ´equivalents, les ´etudes de fonction, le d´enombrement, les nombre
complexes, la th´eorie des ensembles., les int´egrales et primitives usuelles, la trigonom´etrie
...etc ... iiiChapitre 1
D´enombrement (rappels)
1.1 Ensembles d´enombrables
D´efinition 1.1.1.Injection.
SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une injection si?x,y?E,f(x) =f(y)?x=y.D´efinition 1.1.2.Surjection.
SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une surjection si?z?F,?x?Etel quef(x) =z.D´efinition 1.1.3.Bijection.
SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une bijection sifest une injection et une surjection. Proposition 1.1.4.SoientE,F,Gdes ensembles. Soientf:E→F,g:F→G. Alors [f etginjectives]?[g◦finjective]. D´emonstration.Soientx,ytels queg◦f(x) =g◦f(y). L"applicationgest injective doncf(x) =f(y). L"applicationfest injective doncx=y.D´efinition 1.1.5.On dit qu"un ensembleEest d´enombrable s"il existe une injection deE
dansN. Dans le cas o`uFest infini, on d´emontrer qu"il existe alors une bijection deEdans N. (Cela revient `a dire que l"on peut compter un `a un les ´el´ements deE.) Exemple 1.1.6.Tout ensemble fini est d´enombrable. Exemple 1.1.7.Zest d´enombrable car l"application f:Z→N k?→?2nsin≥0
-2n-1sin <0 est bijective (donc injective).01 23-1-2-30 2 413Fig.1.1 -´Enum´eration des ´el´ements deZ.
12CHAPITRE 1. D´ENOMBREMENT (RAPPELS)
Exemple 1.1.8.N×Nest d´enombrable car l"application f:N×N→N (p,q)?→(p+q)(p+q+ 1)2 +q est bijective (donc injective).0 129 5874
3 6Fig.1.2 -´Enum´eration des ´el´ements deN×N.
Exemple 1.1.9.L"ensembleQest d´enombrable. L"ensembleRn"est pas d´enombrable. Proposition 1.1.10.Si on aE0,E1, ...,En, ...des ensembles d´enombrables alorsE= E0?E1?E2? ···=?n≥0Enest un ensemble d´enombrable.
(En d"autres termes, une r´eunion d´enombrable d"ensembles d´enombrables est d´enombrable.)
D´emonstration.S Pour touti≥0,Eiest d´enombrable donc?fi:Ei→Ninjective. SoitF:?n≥0En→N×N
x?→(i,fi(x)) six?Eiquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] vecteur gaussien centré
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